电磁学Textbook:电磁学（赵凯华陈熙谋）1.电磁学（王楚等）Referencebooks:2.电磁学（大学物理通用教程,陈秉乾等）Referencebooks:3.电磁学（赵凯华等）4.电磁学千题解（张志翔）5.电磁学专题研究（陈秉乾等）6.电磁学（张玉民等,科技大学）7.电磁学（贾起民等,复旦大学）8.UniversityPhysics(卢德馨,南京大学）一、学习电磁学的重要性2.研究化学、生物学的重要基础；3.科学技术的理论基石.1.力学、声学、光学、固体物理、半导体物理、光电子学、激光物理、量子物理、地球物理、天体物理……电化学、量子化学、生物电、参量探测……电机、电器、电气、通信、雷达、电脑……主要目标：培养正确分析问题解决问题的能力渗透到物理学的各个领域：二、研究内容电磁学主要研究内容为：1．电场：静止电荷周围存在的一种效应,它主要表现为 对带电体有力的作用,这种效应就是由电场产生的.2.磁场：在运动电荷或电流周围除电场之外存在的另一种场,它表现为对磁铁或载流导体有力的作用.由此可见电场与磁场都是以力的现象表现的,而力是矢量场,因此电场与磁场都是矢量场.静电场：当电荷的电荷量及其位置均不随时间变化时所产生的场.恒定磁场：由恒定电流所产生的磁场.5.电路：电路是电磁学的一个组成部分,电路规律是电磁场规律在电路问题上的具体应用．6．时变电磁场：电荷及电流均随时间改变,它们产生的电场和磁场也是随时间变化的,而且时变的电场和时变的磁场可以相互转换,两者不可分割,它们构成统一的时变电磁场.因为电磁场是矢量场,为了研究电磁场特性,经常应用的基本数学工具是矢量运算及分析.因此我们要掌握矢量分析的主要概念、定理、公式及其应用.三、学科特点及相关知识1.特点：理论性强概念抽象应用数学知识较多2．相关知识：具备大学物理与高等数学的扎实基础.四、如何学好电磁学电磁学的特点：新概念多,公式多,单位多,定理多.办法只有一个：认真学课前认真读书,预习.课上认真听讲,积极思考.课下认真独立完成作业.切实弄清物理概念；弄清每个定理,公式的应用条件；多思考,提出问题,回答问题,多做练习.§1.1静电场基本现象和基本规律§1.2电场、电场强度§1.3静电场的高斯定理§1.5静电场中的导体§1.4电势及其梯度§1.6电容和电容器第一章静电场第一章静电场静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场.本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系,在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法,或者反之.静电场是本课程的基础.由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场.静电场知识结构框图§1静电的基本现象和规律一、电荷1、摩擦起电古代对电荷的研究：古希腊：勒斯的摩擦吸轻物；汉代：磁石引针.物体由于摩擦有了吸引轻小物体的性质,它就带了电,有了电荷,这种带电叫摩擦起电.2、电荷种类实验表明,自然界中只存在两类电荷.正电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒上所带的电荷称为正电荷.负电荷：用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带的电荷称为负电荷.且同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引.物体带电荷数量的多少,称为电量,常用符号Ｑ表示.在国际单位制（SI）中,电量的单位是库仑,符号为Ｃ3、电荷测量（1）电量的测量验电器静电计（金属球）（金属箔）动静(a)验电器：张开情况可定性(b)静电计：弧度刻尺上读数,说明电量多少.可用于测量电位.图1-1电量的测量（2）电荷正负判定已带某种已知电荷张角变大张角变小同性异性图1-2电荷正负的判定二、静电感应电荷守恒定律1、静电感应静电感应实质上为电荷转移的过程.(a)（b)(c)(d)AB粒子的电荷是量子化的(chargequantization)q=nee=1.60210-19Cn=±1、±2、±3…注：在宏观电磁现象中电荷的不连续性表现不出来.1它们的迄今所知,电子是自然界中存在的最小负电荷,质子是最小的正电荷.带电量都是基本电荷e：e=1.60217733×10-19库仑(C)库仑是电量的国际单位.实际物体所带电量只能是电子电量的整数倍.即q=±ne(n=1,2,…).这称为电荷的量子性.2.电荷的量子性3.电荷守恒定律(lawofconservationofcharge)：任何孤立体系的电量,正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变2例：在核裂变中：电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程,是物理学中的普遍基本定律之一.三、物质的电结构导体与绝缘体1、物质组成与原子结构2、起电的物理解释摩擦起电——用原子的玻尔模型说明：摩擦引起核外电子运动速度V变大,克服原子核的束缚而发生转移.感应起电——导体中自由电子在外电场力作用下从物体的一部分转移至另一部分.3、物质按导电性能分类(1)导体价电子—自由电子,晶格,原子实静电感应(2)绝缘体束缚电荷(自由电子很少)(3)半导体多数载流子—电子（n型）,空穴（p型）p-n结四、库仑定律(1)点电荷——理想模型当带电体本身线度比带电体之间的距离小的多时,带电体的形状、大小、体积对相互作用力的影响可以忽略不计,这样的带电体.它是一种理想化的物理模型.(2)库仑定律（1785年,库仑通过扭称实验得到）1785年库仑在大量实验的基础上,总结出了两个静止点电荷相互作用力的规律.库仑定律表述如下：真空中两个静止点电荷q1、q2间的相互作用力的方向沿着它们的连线,同性相斥,异性相吸；作用力大小与电量q1和q2的乘积成正比,与它们之间的距离r的平方成反比.在真空中两个点电荷q1,q2之间的相互作用力为：F称为静电力或库仑力其中表示由施力电荷指向受力电荷的单位矢量.K=9×109（N.m2）/C2比例系数k由实验确定：式中ε0称为真空电容率或真空介电常数.库仑定律是直接从实验总结出来的规律,是静电场理论的基础.库仑定律与牛顿万有引力定律类似,也不是超距作用.按照现代物理学的观点,相互作用是由场以有限速度传播的.注：(1)真空、点电荷间作用力.真空——物理上指没有原子或分子存在的空间,但并非一无所有；点电荷——当带电体的几何尺寸远小于他们之间的距离时,此带电体可视为点电荷.（）,象质点一样是客观的抽象,是理想模型（抓住主要方面）,具相对意义.(2)静止电荷库仑定律中的相对观察者（或实验室）都处于静止状态.可推广之：静止电荷对运动电荷的作用力仍满足库仑定律,反之不然.例：原子核→电子,吸引力.小至的量级是可靠的.静电力是万有引力的倍量级.库仑定律的距离平方反比律精度非常之高.若,则实验测出：(3)库仑力为有心力,且与距离平方成反比.此双层信息包含更深层次的含义：(4)库仑定律是一条实验定律,是静电学的基础.(5)库仑定律的适用范围.(6)库仑力满足牛顿第三定律.即(7)若q1、q2在介质中,介电常数=ro；空气中：o同号,排斥力q1、q2q1、q2异号,吸引力q1q2q1q2五、静电力的叠加原理对于多个点电荷同时存在时,作用在任一个点电荷上的总静电力等于其它各点电荷单独存在时作用在该点电荷的静电力的矢量和.称为静电力的叠加原理.对于由n个点电荷q1、q2、…、qn,根据叠加原理,它们作用在另一点电荷q0上的静电力的合力为：：为由qi点电荷指向q0点电荷的单位矢量.１．电荷分立分布6例如：边长为的正方形顶点置四个等量异号的点电荷,如图1-5所示,求任一点电荷q所受的合力.经分析可知,q所受合力为图示中三力之矢量和.-qqaa-qq图１－５2、电荷连续分布其中各量含义参见图1-6.若电荷连续分布于带电体中,可将带电体分成若干电荷元dq,则dq与q0间的静电力：则整个带电体对q0的作用力为：其中Ω指整个带电体３、体密度、面密度和线密度当电荷连续分布于一定体积内时,在带电体中某点周围取一小体元dv,带有电量dq,定义电荷的体密度为：(为标量点函数)若某区域中各点的体密度相等,就说电荷在该区域是均匀分布的.图１－６dqq0⑵、面密度若电荷连续分布于一定的曲面积上,在曲面上某点周围取一小面元ds所含电量为dq定义电荷的面密度为：(为标量点函数)若某区域中各点的面密度相等,就说电荷在该区域是均匀分布的.⑶、线密度若电荷连续分布于一棒上,而棒的横截面的线度远小于棒上任一点到所研究的场点的距离时,可将棒看成一理想的带电线,仿照电荷的体密度定义方法,定义电荷线密度：(为标量点函数)若某区域中各点的面密度相等,就说电荷在该区域是均匀分布的.小结（1）电荷是物质的一种属性：同性相斥,异性相吸,电荷守恒,量子化.（2）库仑定律电力叠加原理是静止电荷相互作用的基本定律§2静电场、电场强度一、电场库仑定律给出了两点电荷之间的相互作用力,但并未说明作用的传递途径,下面给予分析.库仑力如何传递？两种观点近距作用:认为电荷周围存在一种特殊的物质称为电场.认为凡是有电荷的地方,电荷就在其周围激发电场,而处于电场中的电荷都会受到电场给它的作用力.这种观点被证明是正确的.即：超距作用:静电力的传递既不需要中间媒质,也不需要时间,从一个带电体可直达另一个带电体.后被证明是错误的.近代物理学的发展证明,近距作用观点是正确的,这个传递电力的中间媒介不是“以太”,而是靠电场以有限速度传递（磁力通过磁场）,这个有限速度在真空中即光速：.2、场的概念在力学中已学过万有引力场、重力场、弹性力场等,这里谈电场.凡是有电荷的地方,围绕电荷周围空间即存在电场,即电荷在其周围空间激发电场,且电场对处在其中的其它电荷施加力的作用.该作用仅由该电荷所在处的电场决定,与其它地方的电场无关,表明电力作用方式：电荷q1F21电场电荷q2F12[说明]库仑力不是超距力场是物质存在的一种形式物质性表现为具有能量、动量和质量等静电场对外表现有以下重要性质：引入电场的任何带电体都受电场作用力——电场力；带电体在电场中移动时,电场力对带电体做功.二、电场强度运用电场的重要性质——对置于其中的电荷施力作用来定义场强,且用该电荷作为研究和检测电场的工具,此电荷称为试探电荷,而激发电场的电荷称为场源电荷.rq0PQ图１－７如图1-７,场点置试探电荷q0,检测由场源区Q在场点P处d电场的强弱（大小,方向）.1、试探电荷满足条件：(1)电荷q0的电量应足够小,以致对场源电荷影响小；(2)电荷q0的尺度应尽可能小,以致精确定位于场点处.2、场强用库仑力描述场是不合适的,但用力定义场是恰当的,分析如下：场内任一确定点,试探电荷q0所受的电力与q0的大小有关,即电力由电场与试探电荷q0双方共同决定,反映了两方面因素,用此力描述场不能确切地反映场本身的属性.３．电场强度将试探电荷q0放在静电场中,它所受到的电场力,则与试探电荷电量之比称为该点的电场强度.注意：①电场强度反映了电场本身的性质与有无试探电荷无关.②电场强度是一个矢量,它的大小等于单位电荷在该点所受电场力的大小,它的方向规定为正电荷在该点所受电场力的方向.且为矢量点函数.③电场强度的单位是伏每米,符号为V/m,也可用牛每库,符号为N/C,而且１V/m=1N/C④点电荷的电场强度：在真空中,将点电荷Ｑ置于空间某点,将试探电荷q0置于场中一点Ｐ,则Ｐ点的电场强度为？(2)E的计算：1)带电粒子的电场+xyzqqoP求一带电位于原点处的粒子的电场E.q在任意点P放入一点电荷qo根据库仑定律受力：qoP点处的场强：>0q<0q电场分布特点：1º的方向,处处是以q为中心的矢径方向（或反方向）.E+qz+xyqqoP2ºq一定时,的大小只与r有关.在相同r的球面上大小相等.EE3ºrE4º电场中每一点都对应有一个矢量E,这些矢量的总体构成一个矢量场因此在研究电场时,不是只着眼于个别地方的场强,而是求它与空间坐标的函数.P点处的场强：6º强调指出：并非与q0成反比,而是无关；此外不要受q0符号书写上的影响,不能见到q0即认定为试探电荷；场的概念至关重要,应牢固建立,它是电磁学整体知识之基础.5º点电荷之场表明：点电荷的电场在空间上具有球对称性分布.④点电荷的电场强度：在真空中,将点电荷Ｑ置于空间某点,将试探电荷q0置于场中一点Ｐ,则Ｐ点的电场强度为E的大小只与距离r有关,所以在以Q为中心的每个球面上场强的大小相等.通常说,这样的电场是球对称的.⑤若电场中各点场强大小、方向都相同的电场称为均匀电场.三、场强叠加原理1、叠加原理内容设n个点电荷共同在P点产生的电场为,P点置检验电荷q0,据电场力叠加原理：由场强定义式可得合成电场为:即,一组点电荷在某点产生的合场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强之矢量和.注意：若电荷连续分布则其中Ω指整个带电体下面对dq及几何元的取法给予说明：(1)电荷元dq的取法电荷连续分布,引用电荷密度描述（均以体分布为基础）：均是标量点函数.带电面、带电线均为理想模型,注意其满足的适用条件.则体电荷,面电荷和线电荷分布产生的电场强度分别为：四.场强的计算场强的定义；库仑定律；场强叠加原理.依据：电荷系的场：点电荷的场：连续带电体的场：(2)几何元的取法：在解决实际问题的计算中,要注意选用合适的坐标系,会给计算带来方便.例如：①球坐标系——（）（为立体角）②柱坐标系——（）③直角坐标系——（）实用特例：如图1-9中常见带电体dq的取法：(a)带电直线：(b)带电圆环：(c)带电圆盘或面：对于均匀带电或分布,可取圆环带上带电.(d)带电球体：对于均匀带电或分布,可取球壳带电元为：带电球面：Zz0dq=λdzdq=RdθλR0xdθ⌒(a)带电直线(b)带电圆环环带dq=2πrdrσ0xrR(c)带电圆盘（面）(d)带电球体、球面例1.求点电荷系在空间任一点P处的电场.q1、q2、…qkq1q2qk.Pqo解：设P点放一点电荷qo由电力叠加原理：P点的电场即：电场中一点的场强=各点电荷在该点各自产生的场强的矢量和qo受合力：场强叠加原理例2.求电偶极子中垂线上任一点的电场强度.电偶极子：相隔一定距离的等量异号点电荷结构.:表示负电荷到正电荷的矢量线段.——电偶极矩pE-E+xyE解：p点的场强在p点取坐标系：则：E=Ex显然Ey=0E=r+q-q=–2E+cosE与r3成反比,比点电荷电场递减的快.EE在远处不变.是描述电偶极子属性的物理量.pE-E+xyEr+q-q讨论当12同理,可得电偶极子轴线的延长线上的电场：2)任意带电体的电场E的计算P.r所有产生的电场：在任意点P处产生的电场为：对连续分布的带电体,可将其无限划分成许多电荷元组成.例3.求均匀带电细棒中垂面上电场分布..P已知：棒长L,线电荷密度解：设坐标系,oy考虑对称性将细棒分成一对对线元x显然：方向沿X轴可见：当L(或L>>X),则：方向沿径向向外（或向内）柱对称电场-例4.求一均匀带电圆环轴线上的电场强度E=？解：在圆环上任取电荷元由对称性知垂直x轴的场强为0P已知：圆环半径为R,带电量为Q.xyzo若：→点电荷2、受力的计算.基础公式：.例1：电偶极子在均匀电场中所受的力和力矩.（1）合力：,（2）合力矩：对0点产生的力矩为写成矢量式为：.综上可知在均匀电场中,电偶极子的运动行为是：只转动、不平动.（若场非均匀,则会发生平动）.例2：研究示波器中电子的电偏转.质量为m、电量为e的电子以初速v0进入极板间均匀电场为的电场中,则参数方程为消去t后得轨迹方程为：由图中其余几何尺寸,可求得屏上偏转距,其中,段为抛物线、段为直线.§3高斯定理１．电场线为了形象地描述电场分布,在电场中作出许多有方向的曲线,曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致,通常称这些曲线为电场线或电力线.为了既能表示场强的方向,又能表示场强的大小,在画电场线时作如下规定：使穿过垂直于场强方向的面元△S⊥的电场线条数ΔN与该面元的比值与该面元上的场强大小成正比.即：①、电场线是假想曲线,电场中实际并不存在.且其疏密程度反映了场强大小的分布情况.电力线可以借助一些实验方法显示出来.２．静电场的电场线有如下性质：②、电场线起自正电荷（或无穷远处）,终于负电荷（无穷远处）.在无电荷处电场线不会中断.③、任何两条电场线在无电荷处不会相交且电场线不形成闭合曲线.④若带电体中正、负电荷一样多,则由正电荷出发的全部电力线都集中到负电荷上去.补充：立体角的概念平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角为半径的弧长取一般的定义：线段元对某点所张的平面角单位：弧度平面角立体角面元dS对某点所张的立体角：锥体的“顶角”对比平面角,取半径为球面面元定义式单位球面度计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角弧度平面计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度3.电通量定义：通过电场中任一给定面的电力线总根数,就是该面的电通量,通常用E表示.20穿过面元ΔS的电通量穿过有限大曲面S的电通量e电通量S注意：①电通量为一标量,有正有负,与所选的法线方向有关.对闭合曲面,通常规定自内向外为面元法线的正方向.所以如果电场线从曲面之内向外穿出,则电通量为正,反之,如果电场线从外部穿入曲面,则电通量为负.②电通量不是点函数而是面函数.③通过闭合曲面的电通量：表示净穿出闭合面的电力线的总根数.2º引入电力线,只是为了形象理解电场E,实际上E是连续分布于空间.注：1º21A点,<900,e为正(出)；B点,>900,e为负(入).【约定】：闭面外法线为正,则【例如】：（参见图）闭面的电通量线穿出闭面通量为正；线穿入闭面通量为负.（１）穿过以点电荷q为中心的球面的电通量如图1.16,设球面S的半径为r,S面上各处首先讨论穿过闭合曲面的通量.穿过闭面S的通量等于闭面包围的电荷除以ε0处处沿S面法向,即图1.16穿过以q为中心的球面的电通量+qS2、点电荷场中电通量示例（２）穿过包围点电荷q任意闭面的电通量在闭面S内作一以q为中心的任意半径的球面S”,见图1.17.由（1）的结论可知,穿过S”的电通量为q/ε0,元立体角dΩ内的电通量为将dΩ锥面延长,在闭面S上截出一面元dSdS’dS”S”Sq图1.17穿过包围q的任意闭面的电通量dS设dS与q距离r,与的夹角θ,则穿过dS的电通量而故则穿过闭面S的通量等于闭面包围的电荷除以ε0同样,同S”处（３）穿过不包围点电荷任意闭面的电通量q图1.18穿过不包围q的任意闭面的电通量由得则穿过闭面S的通量等于闭面包围的电荷除以ε0仍然,同上方法,如图1.18,综上（４）穿过包围多个点电荷闭面的电通量设闭面包围n个点电荷闭面上处处有法向分量或即则或穿过闭面S的通量等于闭面包围的电荷的代数和除以ε0[说明](1)电场对任曲面的ΦE在数值上等于通过该曲面电力线的条数.(a)(b)(2)ΦE的有效性相当于只一次穿过闭合面；3.真空中静电场的高斯定理——静电场的基本规律之一此定理是用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律.(1)高斯定理：若S内的电荷是连续分布：即：静电场中穿过任一闭面的通量等于闭面内电荷的代数和除以真空的介电常数ε0由格林公式可得——的散度1、单个点电荷情况2、多个点电荷情况设空间有一组点电荷,则任一点的场为：（场叠加原理）高斯定理概括：又令一任意形状的闭曲面S包围电荷而另外电荷在S之外.则即分立电荷时,有3、电荷连续分布情况上述即高斯定理的数学表述.它表明：通过任一闭合曲面S的电通量ΦE等于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和除以ε0,与闭合曲面外的电荷无关.4、高斯定理的几点认识与说明(1)高斯定理是静电场基本定理之一,反映了静电场是有源场.(2)高斯定理给出了场与场源q间的一种联系,这种联系非直接.若=0,则ΦE=0,但不意味着S面上处处=0.仅指S内电荷电量的代数和（可正、可负）,而则指空间所有电荷激发场之合贡献.(3)一般地,不能用此求得每个场点的场强,仅当电荷分布乃至场分布具有某种对称性时,才能仅用此求得场.但求不出时切不可误作该定理不成立.(4)高斯定理是从库仑定律导出的,因而,此定理正确与否,是证明库仑定律正确性的一种间接方法.(5)认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可导出库仑定律的看法是欠妥的,库仑定律比高斯定理包含更多信息.【讨论】：1.静电场是有源场；（有势场,保守力场,无旋场）2.电力线的连续性；（起始于正电荷,终止于负电荷；不中断,不闭合）3.两电力线不相交；（电力管,密度与场强对应）4.应用：求解电场.（详见下一部分）四、高斯定理的应用1、应用高斯定理说明电力线的性质.(1)说明电力线的起点和终点.(2)说明电力线的疏密与大小的关系.2、解题示例(1)电荷分布乃至场分布具有一定对称性时,可用此定理求空间的场分布.(2)选择高斯面时,必须让待求点在高斯面上,且能够简单求解该点的电场强度与高斯面的法线之间的夹角(一般是平行或垂直关系)——用高斯定理求解E只限于十分特殊而简单情况③计算；④计算；⑤应用定理求的大小,结合方向得出.(2)解题步骤①分析场的对称性,明确的方向；②选取合适的高斯面；(3)典型问题：已知电荷分布常见应用高斯定理求解的问题球对称问题选择与带电球体、球面、球壳同心的球面为高斯面待求点应选在高斯面上平面对称问题选择与带电平面垂直的圆柱面为高斯面待求点应选在高斯面上柱面对称问题选择与带电柱面同轴的柱面为高斯面R(2)用高斯定理求E例1.用高斯定理求点电荷q的电场E.qr解：分析可知q的场是以其为中心的球对称的,取以q为中心的球面为S面,S则：又：方向为r.p利用上面的结论导出库仑定律将电荷q'放在r处,则q'受力为：——库仑定律1º两定律以不同形式表示场源电荷与电场关系的同一客观规律.2º两者在反映静电场性质是等价的,但对运动电荷库仑定律不成立.已求得点电荷的电场为：注：qrq'定义：E是单位正电荷受的力.导出库仑定律：库仑定律：已知q求E高斯定理：当q对称分布时求E.例2.求均匀带电球面的电场分布.设半径为R,电量为+q..pdqdEdE'dq'R解：取以r为半径的同心高斯球面So方向为rrrEoR例3.求均匀带电球的电场分布.设半径为R,电量为+q..pdqdEdE'dq'R解：取以r为半径的同心高斯球面So方向为rrrEoR方向为r例4.用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱棒的电场分布,已知线电荷密度.解：取以棒为轴,r为半径,高为h的高斯柱面.通过该面的电通量：00hr[拓宽知识]半径为R的均匀带电体密度为ρ的长圆柱体.半径为R的均匀带电面密度为σ的长圆柱面.[拓宽知识]厚度为2d、均匀带电体密度为ρ的无限大平板,如图1-25(a).(3)组合无限大均匀带电的平面,示例与说明见图1-25(b)、(c).(4)均匀带电椭球体.椭球体内、外场点处的场不能由上述高斯定理求出,但不意味着该定理不成立.图1-25小结高斯定理例解题步骤：（1）分析电场是否具有对称性.（2）取合适的高斯面(封闭面),即取在E相等的曲面上.（3）E相等的面不构成闭合面时,另选法线的面,使其成为闭合面.（4）分别求出,从而求得E.例5.一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内有一半径为r的空腔,证明空腔内为均匀电场.证明：取以r'为半径,o'为心的高斯球面用高斯定理：E为均匀电场.Roro'证明：过空腔内任一点P,作以r`为半径,o为球心的高斯球面..P用高斯定理：Roro'.P过空腔内任一点P,作以r''为半径,o'为心的高斯球面.同理可得在P点产生的电场：P点的合场强：即腔内为均匀电场！设想空腔内充有+和的电荷,所有+构成一完整的带电球,§4电位及其梯度1.电场力的功⑴、点电荷电场的功在点电荷Ｑ所形成的电场中,将一试探电荷q0从Ａ移到Ｂ点,当试探电荷q0移动dl时,电场力所做的功为：则q0由Ａ移到Ｂ时电场力所做的功为：由上式可见,电荷在点电荷的电场中移动时,电场力所做的功只与始末位置有关,而与路径无关.⑵、任何静电场的功设电场由q1、q2、…、qnn个点电荷产生的,电荷q0由Ａ点移动到Ｂ点,电场力所做的功为：根据点电荷的静电场所做的功的特点,上式中的每一项皆与路径无关,只与始末位置有关.结论：静电力所做的功只决定于初、末位置,与路径无关.故静电力为保守力,静电场为有势场.二、静电场的环路定理静电场强沿任一闭合路径Ｌ的环路积分恒为零.即证明：将试探电荷从Ａ点沿闭合回路Ｌ逆时针移动一周,则静电场力所做的功：由于电场力做功与路径无关,故有：因而有：证明完毕.静电场的高斯定理反映了静电场的有源性,源头就是激发静电场的正负电荷；环路定理反映了静电场为势场,即静电场的有势无旋性.只有把它们结合起来才能全面描述静电场的性质.三、电势和电势差⑴、电势能由于静电场是保守力场,所以可引入电势能概念.系统中保守内力所做的功,数量上等于相对势能增量的负值.当试探电荷q0从静电场中某一位置Ａ移到另一位置Ｂ时,电场力的功和电势能的关系可表示为：其中WA和WB分别表示q0在位置Ａ和位置Ｂ处的电势能.其中WA和WB分别表示q0在位置Ａ和位置Ｂ处的电势能.注意：①电势能也是一个相对量.它与零电势能的选取有关.故是一点函数.②如选择Ｂ点电势能为零,B为参考点.即WB=0,则有：通常,多取无穷远处电势能为零或大地的电势能为零,则q0电场中某点Ａ的电势能为③将q0从Ａ点移到参考点时电场力的功等于该点相对参考点的电势能.⑵、电势电荷在电场中某点Ａ的电势能与它的电量的比值,称为该点的电势,用符号φ表示.注意：①静电场中某点的电势,在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能；或者把单位正电荷从该点移到零参考点的过程中电场力所作的功.②电势是一个标量、点函数、且与参考点的选取有关.一般常取无穷远处电势为零或取地球的电势为零.③单位为伏特（V）1V=1J/1C④在电场中,沿着电场线的方向,电势将逐渐降低,同一电场线上,无电势相同的两个点.⑶、电势差电场中两点电势之差称为两点间的电势差（亦称为两点间的电压）,用符号Ｕ表示.则电场中Ａ、Ｂ两点的电势差为：注意：①A、B间的电压在数值上等于把单位正电荷从Ａ移到Ｂ点的过程中电场力所作的功.可见电势差的大小与电势零点的选取无关.若将电荷Q从A点移到B点电场力作的功为：A=QU=Q（φA–φB）②对一点谈电势,对两点谈电势差.③点电荷的电势：④电势是标量,有正负、高低之分.⑤某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同.结论：负场源电荷之场中远点电势高(VP﹤0)正场源电荷之场中近点电势高(VP﹥0)电势高低电势零点的选取：电荷分布在有限空间,取无穷远为U=0点.电荷分布在无限空间,取有限远点为U=0点.一般工程上,选大地或设备外壳为U=0点.电势能高低(4)电势能和电势的单位：在SI制中：电势能——焦耳（J）电势———伏特（V）(5)说明：（1）区别电势与电势能空间某点的电势与试探电荷无关,反映电场本身的性质；电势能则与场中某点的大小及正、负有关,为场及试探电荷所共有.（2）推论:正场源电荷的场中,近电荷处高；负场源电荷的情况则反之.ii)正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点；负电荷则相反.iii)沿电力线方向电势逐点降低.例13.在示波器、电视机、计算机显示器中,均有电子在电场中被加速而获得动能的情况.已知电子在1000v的电压中加速,求电子获得的速度.解：电场力作功由动能定理:若电子经过U=1v的电场：若仍然选取无穷远为电势零点,则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义.此时,我们可以选取某一距带电直导线为的点为电势零点,则距带电直线为的点的电势：例14、求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布已知场强为：方向垂直于带电直线.P27例题8电荷线密度由此例看出,当电荷分布扩展到无穷远时,电势零点不能再选在无穷远处.2.电势的计算(1)用定义法求U例15.真空中一半径为R的球面,均匀带电Q,求带电球所在空间任意一点P的电位U=？解：由高斯定理已求得电场分布：设r,U=0P点处在球外r>R：P点处在球内r<re=0u=00r带电球面的电势分布：1º球内电势处处相等,均为：2º球面处u是连续.与电场分布比较：球内e=0,是球面上各点电荷在球内的场强迭加为0.球内u0,是将单位正电荷从球内移到无穷远电场力作功a0.rreor注：结论：例15.半径为r的无限长带电圆柱,电荷体密度为,求离轴为r处的u=？r.pr解：由高斯定理求得各处的电场设r,u=0<0>0r=0处,U=Umax=设r=R处,U=0(2)用叠加法求U1）一个点电荷的电位：点电荷系的电位：在点电荷系的电场中任意点.PP处的电位电势叠加原理2）连续带电体的电位：+q.P取电荷元,其在任意点P处的电势：rp电势是标量,积分是标量迭加.电势迭加比电场迭加要简便.注：整个带电体在任意点P处的电势：例16.点电荷q1=q2=q3=q4=410-9C,放置在一正方形的的四个顶角上,各顶角距中心5cm.求：(1)中心o点的电位,(2)将qo=110-9C从无穷远移到o点,电场力作的功.o解：(1)各点电荷在o点处的电势(2)由定义可知：将单位正电荷从无穷远移到o点,电场力作的功为A=–Uo.将电荷qo从无穷远移到o点,电场力作的功为：A=–qoUo=–28.810-11J例17.计算均匀带电Q的圆环轴线上任意一点P的电势U=？RX解：取环上电荷元,其在P点产生的电位相当于点电荷dq=2rdr.P当x=0,1当x>>R,2若是一带电圆盘？3讨论：四、等势面⑴等势面在电场中,由电势相等的点组成的曲面称为等势面.上图为正点电荷的等势面和匀强场及一对等量异号电荷的等势面,其中实线表示电场线,虚线表示等势面.可以发现点电荷的等势面为一族同心球面,而匀强磁场的等势面是一族平行平面.⑵等势面有如下性质：①、在等势面上任意两点间移动电荷时,电场力做功为零.因为等势面上任意两点的电势相等,电荷在这两点移动时,电势能不改变,所以电场力不作功.②、等势面与电场线处处正交.③、电场线总是从电势较高处的等势面指向电势较低的等势面.因为我们知道沿着电场线的方向电势越来越低.④、若规定相邻两等势面的电势差相等,则由等势面的疏密可以看出场强的大小.等势面越密的地方,场强越大.电场线和等势面是分别从力的角度和能的角度描绘电场的两种几何图形,由于电场线和等势线处处正交,我们从已知的电场线可画出等势面,也可从等势面画出电场线.它们在描绘电场方面是完全等效的.一个标量函数的梯度记为：或者表示微分算子.在三维直角坐标系中表示为：在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率.梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度.可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被称为梯度.在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k记为grad[f(x,y,z)]例如：温度梯度的表达式大小：等于沿等势面法向的电势增长率即沿等势面法向单位距离间的电势差；方向：是该点电势沿空间增加率最大的方向.(3)电势梯度如图1.46,相邻等势面a和b的电势依次为U和U+dU且dU>0.因为pabUU+dUφ图1.46电势梯度所以【定义】：电势梯度矢量【讨论】：或【注】：是矢量在方向的分量.(4)电势梯度与电场强度由图知（1.38式）则即或pabUU+dUφ图1.47电势梯度与电场强度①静电场中任一场点的场强方向与电势增长率最大的方向相反；②静电场中任一场点的场强大小与电势增长率最大值相等.分量式或单位：矢量式(5)电势与电场的微分关系常用坐标系中,梯度表示为:(6)几点说明①是一矢量,其方向与相反,而U是一标量.②电势公式与库仑定律等价③与U并非直接关系PP－＋＋＋－q＋q＋q＋qE=0U≠0σ(a)但并非(b)但不一定例18.一个均匀带电圆环,半径为R,电量为Q.求其轴线上任意一点的场强.X.Po解：根据点电荷电势叠加,P点的电位P点的电场：方向沿X轴正向【例5】：求电偶极子电势与电场的分布.【解】：设电偶极子,任一点a距离中心r,极角θ,见图1.51.a+q-q图1.51电偶极子的电场r-r+θ与夹角α由图代入上式得电场强度则电势即：E取决于U在该点的空间变化率,而与该点U值的大小无关.2ºE的又一单位：V/m=N/C3º求E的三种方法点电荷电场叠加：用高斯定理求对称场：电势梯度法：注：1º§1.5静电场中的导体将实物按电特性划分：导体半导体绝缘体1.导体静电平衡(1)静电平衡：将金属导体放在外电场E0中,导体中的自由电子在电场力作用下作宏观的定向移动,从而使导体中的正、负电荷重新分布.人们将这种导体内的电荷因外电场的作用而重新分布的现象称为静电感应.因静电感应而在导体表面出现的正、负电荷叫感应电荷.1º导体内的自由电荷,在电场力作用下移动,从而改变原有的分布.导体在电场中的特点：2º电荷分布不同,影响电场分布.导体内部任何一点的场强等于0.反证法：若E不等于0则该处有导体未达静电平衡.(2)导体静电平衡条件：此力将驱动电子运动例如：在均匀场放入一导体的情况表面出现感应电荷电荷不动电荷积累到一定程度达静电平衡注意：导体内部的场强是指一切电荷（既包括导体外也包括导体上的电荷）产生的合场强.当然,当外电场发生改变时,这种静电平衡也会随之破坏,导体上的电荷又将重新分配,达到新的静电平衡.3）推论：1.导体是等势体,导体表面是等势面.1.2.导体上电荷分布(1)体内无净电荷(=0),电荷只分布在导体外表面上证明：体内无空腔1围任一点P作高斯面S,由高斯定理得：即：体内无净电荷！.p2.导体表面任何一点的场强都垂直表面.(因电场线处处与等势面正交）(2)体内有空腔,腔内无其它带电体电荷全分布在导体外表面上.在静电平衡下,内表面是等位面,电位为U在腔内作另一等位面U'与假设相矛盾则：E腔内=0如图取高斯柱面S,则有：内表面无净电荷电荷全分布在导体外表面上.注意：①导体表面附近的电场强度不单是由该表面处的电荷所激发,它是导体面上所有电荷以及周围其它带电体上电荷所激发的合场强.②带电导体达到静电平衡后导体表面的电荷分布的定量研究是非常困难的.因为导体表面的电荷分布不仅与导体本身的形状有关,而且还与导体周围的环境有关系.③实验表明,如把一定量的电荷放到一非球形的孤立导体上,当达到静电平衡时,导体是一个等势体,表面为一等势面.在点A附近,表面凸出而尖锐,曲率半径较小,其电荷面密度及电场强度较大；而在B点附近表面较平坦,曲率半径较大,其电荷面密度及电场强度较小.表面凹进去的地方（曲率为负）,面电荷密度更小.但应注意,孤立导体表面的电荷密度与曲率之间并不存在单一的函数关系.孤立导体表面的电荷密度与曲率尖端附近的场强最强.(3)导体表面上各处的电荷密度与电场强度E的关系在导体表面上任取面积元S,该处电荷面密度作底面积为S的高斯圆柱面,轴线垂直S则有：00注即：导体表面上任一点的场强E正比于该点的电荷面密度1)并不给出的分布.的分布一般比较复杂.2)该点处的电场E,是所有电荷产生的.(4)电荷面密度与导体表面曲率的关系一般导体电荷的分布与导体形状有关附近其它带电体有关孤立导体：在给定电荷情况下电荷分布有如下定性规律实验结论：面电荷密度正比于表面曲率即：（表面凸起处）（表面较平坦处）（表面凹进处）E表面尖端处,E较大表面平坦处,E较小表面凹进处,E最弱++++++++++++++++++++当曲率很大的尖端E很强尖端放电除尘器避雷针……2.尖端放电带电导体的尖端,电荷面密度大,场强较高.⑴尖端放电由于带电尖端附近的电场强度特别大,在强电场的作用下尖端附近的空气容易被电离成正、负离子,与尖端上的电荷同号的离子受到排斥而离开尖端,异号的离子受到吸引而趋向尖端,与尖端上的电荷中和,这等效于电荷从尖端放出,这就是尖端放电.在电场不太强的情况下,放电是在比较平稳地无声无息地进行的.如阴雨潮湿的天气时常可在高压输电线表面附近看到淡蓝色辉光的电晕,这就是平稳的尖端放电.但在电场很强的情况下,就会出现强烈的尖端放电,会发出耀眼的火花,并伴有“啪、啪”的声响.+高压场离子显微镜(FIM)金属尖端的强电场的应用一例接真空泵或充氦气设备金属尖端原理：样品制成针尖形状,针尖与荧光膜之间加高压,样品附近极强的电场使吸附在表面的原子电离,氦离子沿电力线运动,撞击荧光膜引起发光,从而获得样品表面的图象.荧光质导电膜接地3.静电屏蔽以静电平衡为前提在静电平衡状态下,空腔导体外面的带电体对空腔导体内部的电场分布不会产生任何影响的现象.⑵完全静电屏蔽当空腔接地时,腔内、腔外电场互不影响.封闭的空腔将腔内、腔外分成两个完全独立的静电系统的现象.(1)静电屏蔽静电屏蔽的原理在生产技术上有许多的应用.为了避免外界电场对一些精密电磁测量仪器的干扰,常在这些仪器外面安装有金属制的外壳（网、罩）,起静电屏蔽的作用.(1)空腔内有带电体的导体壳证明：由高斯定理：得证由电荷守恒：+qQ+q设导体带电荷Q,空腔内有一带电体+q,则导体壳内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为0.在导体壳内作一高斯面SS-q+qQ+qQ+qQS+q2º若将腔内带电体与导体壳连接,会出现什么情况？腔内无电荷分布：E内=0屏蔽外场3º若将导体壳接地,又会出现什么情况？屏蔽内场导体壳外：E外=0讨论1º腔内+q所处位置不同,对内外表面电荷分布及电场分布的影响.在静电平衡的条件下：屏蔽外场E=0在外电场中,导体壳内和腔内无电场,腔内物体不会受外界影响E=0当腔内有带电体时,将壳接地,腔内带电体的电场对壳外无影响屏蔽内场+qQ(3)静电屏蔽+q例1.一金属平板,面积为S带电Q,在其旁放置第二块同面积的不带电金属板.求(1)静电平衡时,电荷分布及电场分布.(2)若第二块板接地？忽略边缘效应.解：(1)设四个面上电荷密度为1234则有：如图取高斯柱面可得：导体内任意一点P,其电场E=0可得：联立求解.P按电场叠加原理可求得：(2)第二板接地则与大地构成一导体同理可得：联立求解：.P例2.半径为R的金属球与地相连接,在与球心相距d=2R处有一点电荷q(>0),问球上的感应电荷q'=?解：利用金属球是等位体球体上处处电位:U=0球心处：Uo=0q'=q？例3金属球A与金属球壳B同心放置求:1)电量分布已知：球A半径为带电为金属壳B内外半径分别为带电为2)球A和壳B的电势解：1)导体带电在表面球A的电量只可能在球的表面壳B有两个表面电量可能分布在内、外两个表面由于AB同心放置仍维持球对称电量在表面均匀分布球A均匀分布着电量由高斯定理和电量守恒可以证明壳B的电量分布是相当于均匀带电的球面相当于一个均匀带电的球面证明壳B上电量的分布：在B内紧贴内表面作高斯面面S的电通量高斯定理电荷守恒定律利用叠加原理等效:在真空中三个均匀带电的球面（P36例题12）在SI制中,电容的单位为：法拉.§1.6电容和电容器一、孤立导体的电容1、定义:对于一孤立导体,其电势大小与其带电量之间成正比.孤立导体的电容：孤立导体带电量与其电势的比.（C与q、 无关,取决于几何结构）2、单位：常用单位：注意：⑴电容是描述导体本身性质的物理量,仅与导体本身的大小尺寸、形状等有关与导体是否带电无关.⑵物理意义：孤立导体电势每升高（降低）单位电势时所需的电量.⑶电容的单位为法拉,符号为F,但在实际中由于法拉太大,常用微法（μF）或皮法（pF）作为电容的单位,它们之间的换算关系为：1F=106μF=1012pF⑷对于孤立的导体球的电容为C=4πε0R二、电容器实际上,孤立导体并不存在,它只是一个理想的模型.⑴电容器：由两个相互靠近的导体组成的导体组,使得一个导体上电荷发出的电场线都终于另一个导体上,两导体带有等值而异号电荷.这样的一对导体组称之为电容器.两导体称为电容器的两极板.⑵电容器的电容：两导体中任一个导体所带的电荷Q与两导体间电势差U的比值.注意：①电容是反映电容器本身性质的物理量,它与电容器本身的结构、两极板的形状、大小、极板间的距离及极板间的电介质有关,与极板是否带有电荷无关.②电容是描述电容器容纳电荷或储存电能的能力的物理量.③任何导体和导体组都有电容.电容器在实际中（主要在交流电路、电子电路中）有着广泛的应用.当你打开任何电子仪器或装置（如收音机、示波器等）的外壳时,就会看到线路里有各种各样的元件,其中不少是电容器.实际的电容器种类繁多.通常在电容器两金属极板间还夹有一层绝缘介质（叫做电介质）.绝缘介质也可以是空气或真空.按两金属极板间所用的绝缘介质来分,有真空电容器、空气电容器、云母电容器、纸质电容器、油浸纸介电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、电解电容器、聚四氟乙烯电容器、钛酸钡电容器等；按其电容量的可变与否来分,有可变电容器、半可变或微调电容器、固定电容器等.但是,常用的各种类型的电容器的基本结构相同,都由两片面积较大的金属导体极板中间夹一层绝缘介质组合而成.2.几种特殊电容器及其电容平行板电容器：由两块相互平行,中间充满介质的导体板组成的电容器.平行板电容器的电容：当导体板间的介质为真空时：,可以看出：圆柱形电容器：由两个中间充满介质的同轴圆柱面组成电容器如图取柱状高斯面：柱状电容器的电容：介质为真空时球状电容器：由两个同心球面组成的电容器如图取高斯面：球状电容器的电容：介质为真空时分布电容：在实际电路中,由于分布线路间存在相互作用,因而,在这些分布电路间存在电容,称为分布电容.结论：电容器的电容与电容器形状和其中所充满的电介质有关,与别的因素无关.电容器的电容与电介质的介电常数成正比.三 电容器的串联与并联1.串联电容器的总电容电容器串联的特征：由电压关系得：串联电容器的总电容2.并联电容器的总电容电容器并联的特征：由电量关系得：并联电容器的总电容：结论：串联电容器等效于增加电容器极板间的距离；并联电容器等效于增加电容器极板的正对面积(将电容器电容计算公式代入串、并联电路总电容的计算公式即可得到该结论).三 电容器储能求解思路：电容器的充电过程实际上就是电容器的储能过程,其储存的能量等于将总电荷Q从一个板极依次移动到另一个板中,非静电作用力所作的总功.设某一瞬时,电容器两板极的电量分别为q和-q,电容器两板极的电压为U,非静电力将dq电荷从电容器负板极移动到正板极过程中所作的功：于是,将Q依次从负板极移到正板极过程中非静电作用力所作的总功为：这即是电容器的储能：讨论：非静电作用力搬运电荷的过程也是电场建立的过程.因而,电容器储能,实际上是储存在这一过程建立起来的电场中.因此,电容器储存的能量实际上是电场的能量.非静电作用力P77例:平行板电容器极板面积为S,相距为d.充电后,极板上面电荷密度为,将两板与电源断开以后,再插入相对电容率为的电介质板(厚度为t).计算空隙和电介质中的和电容器电容.解:断电后插入介质,极板上电荷面密度不变电位移线垂直与极板,根据高斯定律而D1=0+0–0dtr+0–0IIIIII方法二:用电容器串联若插入同样尺寸的导体板,相当于极板间面积减小,电容为+0–0IIIIII例：平行平板电容器(s,d),充电后断开电源,充介质(r)问:(1)E1是否等于E2?(2)D1是否等于D2?(3)两部分所对应极板上自由电荷面密度是否相等?(4)此电容器的电容.解:(1)极板为导体,等势体.V=E1d=E2d所以E1=E2(2)D1=0rE1D2=0E2所以(3)E1=E2所以1=r2(4)0rIII解:设分别带电+和-.坐标如图,x轴上任一点的场强为(d>>R)单位长度的电容xdx2R+-AB『拓宽』电场的能量及能量密度一电场的能量及能量密度1.电场的能量2.电场的能量密度例：半径都是R的两根平行长直导线,相距d(d>>R).求：单位长度的电容.一电场的能量及能量密度1.电场的能量2.电场的能量密度因对平行板电容器,有由上述讨论可知,电场的能量,实际可以看成是电容器中储存的能量.即：大家仔细思考求解电场能量的思路,这很巧妙且很有有意义能量密度：电场中单位体积的能量,称为电场的能量密度.推导思路：考虑到任意情况下推导电场的能量密度相对要困难一些,我们这里从平行板电容器的特例出发,推得平行板电容器的能量密度,然后作推广,并认为所得结论对任意电场能量密度均适用.于是：单位体积内的能量——能量密度为：推广：对任意静电场,假定上述结论均成立,可以得到结论静电场的能量密度：静电场的能量：讨论：A.适用条件：静电场,均匀介质B.求解电场的总能量,或某一体积内静电场的总能量,总是通过能量密度积分得到.积分区域应是静电场分布的区域,或待求的体积区域.例：求解球形电容器储存的静电能量解：设球形电容器的内、外半径分别为R1、R2,内外球面带电量分别为Q、-Q,两球面中介质的介电常数为.显然,只有两球面之间有静电场分布.如图取高斯面：静电场的能量密度：静电场的总能量说明：用能量密度求解静电场的能量,首先将电场分量表述为空间坐标的函数,然后对静电场分布区域积分.其中,关键是正确确定积分区域.第一章静电场小结一、理论体系：一条基本定律：电荷守恒定律出发点：二、内容：1、一个定律：2、两个定理：3、两个物理量：——反映场力性质,,要求唯一.——反映场能性质,,要求可微.4、三种方法：已知电荷分布,求电场分布(1)场强公式；(2)高斯定理；(3)5、场的形象化几何描述：电力线——规定、性质、通量等势面——规定、性质、梯度三、三者关系网1、2、3、四一些重要的电场分布实例2无限长均匀带电直线3无穷大均匀带电平面4均匀带电球壳6均匀带电圆筒5均匀带电球体7均匀带电圆柱1点电荷</re=0u=00r带电球面的电势分布：1º球内电势处处相等,均为：2º球面处u是连续.与电场分布比较：球内e=0,是球面上各点电荷在球内的场强迭加为0.球内u0,是将单位正电荷从球内移到无穷远电场力作功a0.rreor注：结论：例15.半径为r的无限长带电圆柱,电荷体密度为,求离轴为r处的u=？r.pr解：由高斯定理求得各处的电场设r,u=0<0>
