电磁学第三篇第三章电磁感应电磁场的相对论变换\n§3.4电磁场的相对论变换§3.2动生电动势和感生电动势§3.3磁矢势和磁场中带电粒子的动量§3.5自感和互感第三章电磁感应§3.1电磁感应定律\n(1)§0引言(2)电流具有磁效应,反过来由磁能否来产生电效应呢？英国科学家M.Faraday历经近十年艰辛探索,通过大量实验,指出：当导体回路中磁通量发生变化时,回路中将出现电流.这一现象称为电磁感应现象.\n§1电磁感应定律一、电磁感应现象1、实验现象\n观察现象,看到如下事实：(1)插、拔时有电磁感应现象发生；(2)的大小与相对运动速度有关,的方向决定于：是插入还是拔出.观察现象发现：(1)仍有电磁感应现象发生；(2)产生并不在乎磁场是由什么激发的比较以上两实验共同点：有磁极相对运动参与.插入、拔出磁棒.实验一插入、拔出载流线圈.实验二\n(1)“相对运动”是否就是产生i的唯一方式或原因？(2)我们能否将“相对运动”当作产生i的必然条件而作为一般方法或结论固定下来呢？观察现象得知：(1)虽无相对运动,但仍有电磁感应现象发生；(3)作为一般性结论,回路中产生i的条件是什么？思考通、断小线圈电流.实验三(2)相对运动只是产生i的一种方式,并非一般性条件.\n2.法拉第电磁感应定律法拉第的实验:共同因素：穿过导体回路的磁通量M发生变化.法拉第电磁感应定律其中i为回路中的感应电动势（i为回路中载流子提供能量）.软磁体为获得强磁场,电池组用到120个电瓶用一磁针作电流计1\n1）任一回路中：其中B,,S有一个量发生变化,回路中就有i的存在.2）“–”表示感应电动势的方向,i和都是标量,方向只是相对回路的绕行方向而言.如下所示：与假定方向相反若,则i<0若,同向则i>0则i>0若||,同向说明:反向若||,则i<02\n3.楞次定律判断感应电流方向的定律.应用此定律时应注意：1）磁场方向及分布；定律：闭合回路中感应电流的方向,总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化.2）M发生什么变化？3）确定感应电流激发磁场的方向；4）由右手定则从激发B方向来判断感应电流或i的方向.若若若若一般由d/dti的大小；由楞次i的方向.3\n保证了电磁现象中的能量守恒与转换定律的正确,并且也确定了电磁“永动机”是不可能的.正是外界克服阻力作功,将其它形式的能量转换成回路中的电能NS注：楞次定律中“反抗”与法拉第定律中“–”号对应.若没有负号“–”或不是反抗将是什么情形？NS过程将自动进行,磁铁动能增加的同时,感应电流急剧增加,而i,又导致i…而不须外界提供任何能量.电磁永动机事实上,不可能存在这种能产生如此无止境电流增长的能源！4\n4.电磁感应定律的一般形式若回路由N匝线圈组成：若1=2=···=N,则i=－Nd/dt.其中=1+2+···+N,回路的总磁通匝链数.回路中相应的感应电流：从t1→t2时间内,通过回路导线任一横截面的电量：与d/dt无关若已知N、R、q,便可知=？若将1定标,则2为t2时回路的磁通量.全磁通磁通计原理5\n5、涡流的概念及应用1)涡流在其内部也会产生感应电流.\n电磁阻尼、电磁驱动.图３-7图３-8(1)热效应a、高频感应炉---冶炼；b、涡流损耗---变压器、电机铁芯,制成片状,缩小涡流范围,减少损耗.电流通过导体发热,释放焦耳热.2)涡流的效应\n6、趋肤效应导线载流分为式中叫做趋肤深度.2)电流密度分布1)概念\n当,则.金属表面淬火.3)应用高频表面电阻增大,可镀银或辫线使电阻,导线可中空省材料.\n例1.长直导线通有电流I,在它附近放有一矩形导体回路.求：1）穿过回路中的；2）若I=kt（k=常）回路中i=？3）若I=常数,回路以v向右运动,i=？4）若I=kt,且回路又以v向右运动时,求i=？解：设回路绕行方向为顺时针,1）2）I=kt时,在t时刻,逆时针方向Ilr3）I=常数,t时刻,此时回路的磁通：顺时针方向a+vtb+vt6\n4）综合2）、3）,t时刻回路的磁通：7\n例2.弯成角的金属架COD,导体棒MN垂直OD以恒定速度v在金属架上向右滑动,且t=0.x=0,已知磁场的方向垂直纸面向外,求下列情况中金属架内的i:1）磁场B分布均匀,且磁场不随时间变化.2）非均匀时变磁场,B=kxcost.解：设回路绕向逆时针1）t时刻,x=vt.方向与绕向相反,只出现在MN上.此处可直接利用均匀场：8\n2）B不均匀与绕向相同.与绕向相反.xdx9\n电动势i内是什么力作功？的变化方式：导体回路不动,B变化~~感生电动势导体回路运动,B不变~~动生电动势法拉第电磁感应定律：i是回路中的感应电动势10\n(1)是对回路而言.若回路非导体制成,甚至想象的几何曲线回路,此时仍有意义,也有意义,但无电流I,试问：①感生电动势存在否？②电动势起源于非静电作用,此非静电起源的作用存在否？③电压的概念有意义否？1、对深入研究的必要性.§2动生电动势和感生电动势引言\n(2)若对电磁感应定律的认识仅停留于的形式,诸如图３-9中的现象则令人难以理解:均匀GGNS0金属盘转动圆柱形导电G中有电流,但盘中未变永磁体恒转动,G中有电流图３-9\n综合变化各情况,归纳如下：(1)(2)2、如何深入讨论？\n1、动生电动势由洛仑兹力引起.(1)特例分析如图３-10(a),其中感生电动势可用求出为：.运动段：如图３-10(b)电子受电力及洛仑兹力分别为、,平衡后,、间建立一定电势差,,相当于电源.(a)(b)(c)图３-10外路段：导体框外路导通,形成电流,平衡破坏,一、动生电动势\n分析可见：扮演非静电力作用,运动段相当于电源内部,不动的外路仅提供形成电流I的闭路通道.定义非静电场强：(单位正电荷所受洛仑兹力),则与用求得结果相一致.(2)一般情况下动生电动势的计算公式电子在作用下继续,等效成闭合电路,如图3-10(c).当,此时如何求——微分法.\n对于连续情况,写成一般表达式为：的大小可由此积分公式计算,的方向可结合判知.例如：如图３-11,在无限长载流直导线激发的磁场中,半圆形导线定轴转动,出现非均匀、运动部分非直线,且各元段上不等速.此时处理方法为：在运动导线上取元段,则,然后标量叠加,得总电动势为图３-11\n④导体怎样运动才产生电动势：形象地说——导线切割磁感应线产生.③电动势对应的非静电力为洛仑兹力（）；回路中电动势推动电荷可做功,而上述由引起,这与不做功相矛盾吗？[讨论]①电动势仅存在于运动导线段上,此段相当于电源；②若一段导线在中运动而无回路,则有电动势,而无I；2、动生电动势与能量守恒\n如图３-12所示,载流导线在外磁场中以匀速运动,则电子参与两种运动：①；②,故合成速度为：,且.电子参与两种运动,在中就有两洛仑兹力其中与对应,与对应,且、,又∵图３-12回答：否.分析如下：\n∴.这一结论与以前相一致.又从上述过程可见：,即,表明合洛仑兹力的两分力之功率相等.当导线以匀速运动时,,即外力克服对棒做功,外力功率,表明：外力克服总洛仑兹力的一分力做功,通过另一分力引起电荷定向移动产生,并转换为感应电流的能量,两者大小相等（能量守恒）物理图象如下：外力功洛仑兹力（桥梁）电能.\n(3)谁为回路提供电能？动的出现是什么力作功呢？电子同时参与两个方向的运动：方向,随导体运动；方向,导体内的漂移形成电流.电子受到的总洛仑兹力：——洛仑兹力不作功.f1f2uVFv即：显然：f1作正功.f2作负功.要使棒ab保持v运动,则必有外力作功：即：\n每匝正视图３-13∴若导线框以匀角速度旋转,则,由上式得其中为线圈面积.令时作为计时开始,则任时刻转过角度为,故可表成(3)应用---交流发电机其中电动势幅值,为圆频率.[注]实际发电机：电枢多匝,多极,转动磁极；以上也可用方法求出.\n3.动生电动势1.产生动生电动势的机制(1)等效非静电场Ek：导线l在外磁场中运动时,l内自由电子受到磁场力作用：类比静电场：定义非静电场：方向正电荷受力方向.(2)动生电动势定义：大小l22\n例1.均匀磁场B中ab棒沿导体框向右以v运动,且dB/dt=0,求其上的i.解：由定义用法拉第定律：xx23\n2.动的计算例2.在真空中,有一无限长直导线电流I旁,有一半圆弧导线以v向右运动.已知r,R.求Ek、QP,P与Q哪点电势高？解：1）在导线上任意dl处的Ek距电流为r'：2）方向向上dl=Rd3）i从Q→P,UP>UQ.能否用直线PQ来代替PQ？显然：否！ǹ=PQQPRrIvepme220\n例3.金属杆oa长L,在匀强磁场B中以角速度反时针绕点o转动,求杆中感应电动势的大小、方向.BoaL解法一：方向：解法二：任意时刻通过扇形截面的磁通量根据法拉第电磁感应定律:棒两端的电位差:\n思考：以下各种情况中=？\n(1)感生电动势当磁场随时间变化,而回路不变时产生的电动势,如图3-14.由Faraday’sLaw给出为：SL图3-14式中由回路所围的任意曲面.只当回路不变时,上述最后等号才成立.(2)涡旋电场1、感生电动势和涡旋电场二、感生电动势涡旋电场洛仑兹力解释不了感生电动势；Maxwell假说——涡旋电场.\n实验表明,感生完全与导体种类和性质无关,由变化引起.麦克斯韦分析了一些电磁感应现象后,敏锐地感觉到：感生电动势现象预示着有关电磁场的新效应,他相信,即使不存在导体回路,变化的磁场周围也会激发一种电场,称之为涡旋电场,此场即之非静电力.故上述回路中感生为：涡旋电场与静电场有本质不同：静电场：自由电荷激发,电力线有头尾,场的环流为零；涡电场：变化磁场激发,电力线闭合的,环流不恒为零；相同点是：对电荷都作用.\n(3)场方程一般地,空间、并存,有总场：,因为,故,所以,场方程又可写为综上有表明电场、磁场不可分割,有了变化的磁场就有变化的电场.\n(1)为有旋场,旋涡就在变化磁场处ε图3-15表明有旋无势.与方向间的关系如图3-15,对电荷施力作用：.(2)为无源场,力线为无头无尾闭线.场通量为零（作为假设）,所以2、涡旋电场的性质表明,高斯定理仍成立.\n①有,就有,但有则需导体.是此处特例；②变化场情况,区域内处处有电源,不宜划分源内、源外；③动生、感生划分只具有相对意义；[讨论]\n②在导体内：静电平衡时,E=0,即：U为导线两端的电位差,即开路时电源的端电压.2)涡流：将导体块放置在Ei中,则在导体中将产生环形电流→涡流.总结以上的讨论,对感应电场Ei说明：1）是涡旋场——非保守场,不能引入势函数.但它对在其场中的导体提供电动势：①导体不闭合时使导体内电荷重新分布产生Ee静电平衡时：由于的存在,则出现电势.则导体内的总电场：19\n3）物理中应用——电子感应加速器.问题：为什么在交变磁场时,每一个变化周期里,只有1/4周期是在给电子加速？1）涡流是有害的,它消耗电功率,降低设备能量利用效率.2）利用涡流产生的热量加热和熔化金属.结论：原理：用变化的磁场所激发的感应电场来加速电子.管中的电子受力：（切向加速）（提供向心力）加速器的成功证实了感应电场的客观存在.21\n应用---电子感应加速器(1)原理变化的磁场在空间激发涡旋电场,利用加速电子（）、利用约束电子圆轨道运动（）,此装置即电子感应加速器.(2)装置\n环形真空室：电子加速运动的环形跑道,在同一轨道上同大.⊙环形室环形室靶、电子枪(a)(b)图3-16当磁场强度变化一周期,是否电子都被加速,详细看书P184电磁铁：用频率约为10Hz强大交变电流励磁,设产生的场为.\n§3.5互感与自感1.互感L1L2(1)互感系数在L2中产生感应电动势——互感电动势e12反之:L2中i2的变化,也将在L1中产生互感电动势e21.L1中的电流i1变化L2中12的变化引起由图可见,e12,e21不仅与另一线圈的电流变化有关,而且还与它们的相对位置有关.——线圈中两种典型的电磁感应一导体回路的电流变化,在另一回路中产生感应电动势~~互感电动势.\n若两线圈的相对位置确定:设的L1电流为i1,在L2中产生的磁通匝链数为12.则同理可得:L1L2Mij是比例系数——互感系数,简称互感.可证明给定的一对导体回路：M12=M21=M=/i单位:亨利（H）物理意义：单位电流的磁场在另一线圈产生的y.互感电动势：两回路的位置有关Mij与线圈的几何形状及介质m有关当M=常数：\n（2）互感的计算r解：分析:很难算出！圆环中:y12=B1pr2=moni1pr2设螺线管通有i1,则B1=m0ni1.例9.长直螺线管单位长度上有n匝线圈,另一半径为r的圆环放在螺线管内,环平面与管轴垂直.求M？注：1o原则上可对任一线圈产生磁场计算另一线圈的磁通量yM=y/i.2o互感在电工和无线电技术中应用广泛如:变压器,互感器……互感往往也是有害的……但很多实际问题中M很难算出.\n2.自感(1)自感电动势回路中i变化→B变化→变化L~~自感系数或自感.自=L当L=常量：可见,L总是阻碍回路自身电流的变化.取决于回路的大小、形状、匝数以及“－”表示L的方向,i\n1º回路里di/dt0L.直流电路在ON、off开关的瞬间才出现L.2ºL大,L大→阻碍电路变化的阻力大；L小,L小→阻碍电路变化的阻力小.∴L~~对电路“电磁惯性”的量度.结论：3ºL的定义:\n(2)自感L的计算例10.计算一螺线管的自感,截面积为S,长为l,单位长度上的匝数为n,管中充有的磁介质,求L.解：设螺线管通有I的电流,则管内磁场为B=nI管内全磁通:=N=NBS=NnIS=n2IlSV=lS注：除线圈外,任何一个实际电路都存在电感,输电线相当于单匝回路,回路上有分布电感.\n例11.两根平行输电导线,中心距离为d,半径为a,求：两导线单位长度上的分布电感（d>>a）.解：如图,设导线中有电流I.单位长度上的磁通量：drdr\n(3)LR电路由一自感线圈L,电阻R,与电源组成电路.求：电键K接a上一段时间后,又接到b上,回路里i的变化.K→a,i↗I,L上产生L,反抗i增加.总=+L.即：+L=iR积分可得：C为积分常数.由初始条件：t=0,i=0,则C=－/R.KL\n①t→,②t=L/R令=L/R,i从0→0.63I所需时间.大,L大,i增长慢,L阻力大,电磁惯性大！小,L小,i增长快,L阻力小,电磁惯性小！=0.63I=I时间常数<讨论\ni→I后,K→b.（相当于电路加了阶跃电压→0）自感电动势将使电流维持一段时间.积分可得：由初始条件：t=0,i=/R=I.即：去掉电源时,电流仍按指数递减,递减快慢仍由=L/R来表征.t=时,i=0.37I大,i衰减慢.小,i衰减快.小大KL得：C=/R\n1ºLR电路在阶跃电压的作用下,电流不能突变,=L/R标志滞后时间.L有平稳电流作用.2º自感在电工及无线电技术中应用很广泛,但在大自感电路里也是有害的.结论：<小大\n磁场的能量1.LR电路中的能量转换KL储存自感L中能量当电流以di/dt>0变化时,电流变化di,电源克服L作功为dA：dA=–Ldq=–Lidt0I储存电路在建立稳定电流的过程中,电源力克服自感电动势L作功.\n电流稳定后,去掉电源,电流i从I→0,eL作功,释放存在线圈内的能量,把能量传给电阻,以热能形式散发：KL储存\n2.磁能与磁能密度以长直螺线管为例：已知,长螺线管n、l、S、I.由上可得,通有电流I的自感线圈中储能：类比电能存在电场中,可认为,磁能储存在磁场中.那么,Wm→磁场（B、H）,如何联系？∵管内为均匀磁场,单位体积储存的能量为：以上结论对任意形式的磁场都成立.磁场强度一般地,非均匀场：在例1.中已求得：\n3.磁能与自感系数若已知L→反之,已知Wm→L.两根平行输电线相距为d,半径为a,若维持I不变.（前已求得,单位长度上的自感）2）磁能改变多少？增加或减少,说明能量来源？例12.求：1）当d→d’时,磁力作的功.dd'1）单位长度受力解：F>02）能量从何而来！\n导线移动时,会产生感应电动势ei.而要维持I不变,电源力必须克服eL作功,从而将外电源的能量转变为磁能增量和磁力作功两部分.以下作出定量证明：外电源克服eL作功,则eL作负功.0能量守恒\nWm→L解：设电缆通有电流I,则两圆柱面间的磁场为：abr同轴电缆,两圆柱面半径分别为a、b,充满磁介质m,求单位长度Wm与L.例13.\n例14.一矩形金属线框,边长为a、b(b足够长),线框质量为m,自感系数为L,电阻忽略,线框以初速度v0沿x轴方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中,求:矩形线圈在磁场内的速度与时间的关系式v=v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x=x(t)解法一：线圈的一部分进入磁场后,线圈内有动,自.联立\n方程的通解：\n解法二：\n2互感磁能两个线圈在建立电流的过程中,电源的电动势除了供线圈产生焦耳热和抵抗自感电动势外,还要抵抗互感电动势做功,总功A为：和自感情形一样,这部分额外功也以磁能的形式存储起来,一旦电流终止,这部分能量便通过互感电动势做功表现出来,由此,两个线圈除了有自感磁能外,还存储另一部分能量\n注意：自感磁能不可能是负的,但是互感磁能不一定,可为正也可以为负由此,两个相邻线圈所存储的总的能量改写成对称形式推广到更普遍的情形
