第二章有导体时的静电场在静电场中引入导体,讨论静电场和导体之间的相互作用和相互影响.在静电场中引入导体后,将引起静电感应现象,在导体的表面上出现等值异号的感应电荷,感应电荷的出现又反过来影响原有的静电场.§2.1静电场中的导体一导体1.导体的分类（按是否带电）（1）带电导体：所带总电荷不为零.（2）中性导体：所带总电荷为零.（3）孤立导体：与其它物体距离足够远的导体.“足够远”指其它物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略.\n一、导体的静电平衡将导体置于电场中,导体由于受到电场的作用而使其自由电荷重新分布的现象叫静电感应(electrostaticinduction).导体上出现的电荷叫感应电荷(inductioncharge).（1）金属导体中具有大量的自由电子.（2）静电感应现象.1．导体的特点很多物体都属于导体,如金属、电解液、人体、地球等.这里主要讨论金属导体.\n如：导体B放入点电荷A（施感电荷）产生的电场中,B中的自由电子在电场作用下向左移动,结果B的左端带负电,右端带正电（感生电荷）.2．静电平衡状态当导体中的自由电子不作宏观运动（没有电流）时,就说导体处在静电平衡的状态.一个电中性的导体,在周围没有带电体时,它的内部及表面上净电荷的体密度为零,从而内部各点场强为零,这是一种最简单的静电平衡状态（如一个孤立的导体B）.\n（1）导体的静电平衡状态是相对的,可以由于外部条件的变化而受到破坏,但在新的条件下又将达到新的平衡状态.如在孤立导体B附近放一带电体A.注意（2）静电场中有导体存在时,电场的分布和电荷的分布相互影响、制约,必须满足一定的条件,导体才能达到静电平衡.\n3．静电平衡的条件P44导体内部各点场强为零.导体内处处BA+-----+++++\n（1）此条件为充分必要条件必要性：如果达平衡,则导体内部处处说明反证法证明：如果则在的地方必于是就不是静电平衡.换句话说,导体达到平衡时,定有自由电荷移动（因自由电荷受力其内部必定处处充分性：导体内处处时,导体达到静电平衡.用电动力学中静电场边值问题的唯一性定理证明,这里略.\n（3）此条件在电荷不受非静电力的情况下成立如果有非静电力存在,为了达到静电平衡,导体内部某些点的场强恰恰不能为零,以便抵消非静电力的作用（由化学原因引起的“化学力”,核子间作用力等都为非静电力）.更恰当的表述：导体内部可移动的电荷所受的一切力的合力为零.（2）“内部各点”指导体内部的“宏观点”（即物理无限小体积元）,对于微观的点,比如电子附近的一个几何点,不一定满足\n4．静电平衡时导体的性质P45（1）导体是等势体,表面是等势面.在导体中取任意两点A、B,沿A、B作任一路径,沿此路径做场强积分得而A、B是任意的点,所以导体处于静电平衡时,导体内部各点和表面各点的电势均相等,即导体为等势体,表面为等势面.BA\n（2）导体内部没有电荷,电荷只能分布在表面上.E内=0AB++++++++++++++++++A在导体内任取一点A,围绕A点作一高斯面,高斯面上任一点由高斯定理得面内q=0,所以电荷只能分布在表面上.即内部无净电荷,电荷体密度\n注意E内=0AB++++++++++++++++++B上述证明方法不适用于表面上的点,如B点,绕B点作高斯面,面作得再小也有一部分在导体外,此时面上不一定处处当然q不一定为零.导体内部q=0,则电实际上,荷必分布在表面,即导体内部没有电荷,电荷只能分布在表面上.结论\n①场强方向（表面附近的点）由电场线与等势面垂直出发,可知导体表面附近点的场强与表面垂直.②场强大小（3）在导体外,紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直,场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比.在导体表面外紧靠导体表面则取一点P,过P点作导体表面的外法线方向单位矢∆S1∆S2P\n为在方向的投影,可正可负.以过P点取一小圆形面元,为底作一圆柱形高斯在导体内部.面,圆柱面的另一底由高斯定理∆S1∆S2P\n因很小,视为均匀,所以有可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比,且无论场和电荷分布怎样变化,这个关系始终成立.写成矢量形式为\n③是场中全部电荷贡献的合场强,的贡献.并非只是高斯面内电荷④一般不谈导体表面上的点的场强导体内部表面外附近没提表面上的.电磁学中的点、面均为一种物理模型,有了面模型这一概念,场强在带电面上有突变（P24小字）,如果不用面模型,突变就会消失.但不用面模型,讨论问题又太复杂,所以只谈“表面附近”而不谈表面上.三带电导体所受的静电力在导体表面任取一面元其上面电荷密度为因为取得很小,可视为点电荷,故面元受力为\n根据叠加原理,有（1）对图中的P点,上的电荷在P点所产生的场强,且是除上的电荷以外,其余电荷在面元处所产生的电场.在所取面元附近取两点P、P′,则,\n也必垂直于导体表面.即三矢量平行共线.（2）对于图中的P′点上的电荷在P′点产生的场强而∴\n单位面元所受的力为例1(习题2.1.1)解：利用上面的结果,球面上某面元所受的力利用对称性知,带有同号电荷的球面所受的力是沿x轴方向.右半球所受的力∴\n二、孤立导体形状对电荷分布的影响1．电荷在导体表面的分布不仅与其自身形状有关,而且与外界条件也都有关.一个球形的带电导体,由球面的对称性知,电荷在球面上应均匀分布=常数①孤立带电导体的分布由自身决定\n2．对孤立导体,电荷分布具有如下定性规律导体表面凸出的地方,曲率较大,面电荷密度σ较大.表面平坦的地方,曲率较小,σ也较小,场强也小；表面凹陷的地方,曲率为负,σ更小.②带电导体处于静电场中,表面电荷分布与外界有关非对称分布,但仍有\n尖端处E大,平坦处次之,凹陷的地方E最弱.图2-5\n（1）电荷分布的定性规律,可以很好地解释尖端放电（sharpedpointdischarge）现象.说明由于尖端附近场强大,空气中的带电离子在强电场作用下剧烈运动,离子在运动中与空气分子发生碰撞,使空气分子电离,产生大量新离子,该处空气成为导体.同时,离子与空气分子碰撞时,使空气分子处于激发状态而产生光辐射,此即尖端放电现象.（2）电荷分布的定性规律说明：尖端处,电荷面密度大,但这不是一个绝对的结论,也有例外的情形.如P49小字部分.（两个相距很近的球形导体,曲率半径相同但电荷非均匀分布,这是一例外情形.）\n尖端放电会损耗电能,还会干扰精密测量和对通讯产生危害.然而尖端放电也有很广泛的应用.（2）尖端放电现象有利有弊.\n\n\n五导体静电平衡问题的讨论方法1、讨论真空中静电场：由电荷分布求场的性质：由高斯定理、环路定理决定2、有导体存在时的静电场,出现静电感应现象,最后达到静电平衡.并且推出的此时要定量计算,在普通物理范围内很困难,故在此作定性讨论.实际上把静电场的性质定性结论得讨论方法：为电场线的两个性质,结合静电平衡时静电场的性质+（结合）静电平衡的性质=讨论静电场中的导体（讨论方法）\n例题4、例题5、例题6（P53-54）为小字部分,选看一下.例题1、例题2、例题3（P50-52）自学六平行板导体组例题例2（补充）证明：对于两个无限大带电平板导体来说：（1）相向的两面上,电荷面密度总是大小相等符号相反；（2）相背的两面上,电荷面密度总是大小相等符号相同.证明：（1）平板导体所带电荷分布于表面,因为无限大,所以均匀分布,设1、2、3、4面分别带电荷面密度为选取如图的高斯面,有\n∵∴又（2）在导体内任取一点P（任意的）\n如果P点在导体外,如图中的P'点,则如果P点在导体外,如图中的P''点,则P54例1、P56例2自学.习题：2.1.1；2.1.4\n§2.2封闭金属壳内外的静电场一壳（金属壳）内空间的场1、壳内空间无带电体（1）基本性质能分布在外表面；①金属壳的内表面处处没有电荷,电荷只②壳内空间各点场强为零（壳内电势处处相等）.（2）证明①在内外表面之间取一闭合曲面S,S完全处于导体内部,当静电平衡时,导体内部场强处处为零.∴\n\n因为壳内无电荷,所以壳内无电场线起、止；因为壳内表面,所以内表面上无电场线起、止；因为电场线不能闭合,所以壳内无电场线构成闭合曲线.故壳内无电场线,壳内无电场.壳内空间各点电势处处相等.③证明壳内无电场④上述结论不受导体壳外电场（或带电体）的影响如壳外有一点电荷q,则在壳外壁产生感应电荷,感应电荷与q在壳内空间任一点激发的场强互相抵消,所以壳内空间各点场强仍处处为零.壳外壁之内\n2、壳内空间有带电体（1）性质：导体壳内有带电体时,在静电平衡下,导体壳内表面所带电荷与壳内电荷的代数和为零.（2）证明由此可见：如果导体壳内有电荷+q,则在中性导体壳内表面上必有电荷-q.导体壳是中性的,根据电荷守恒定律,在外表面上必有电荷+q.-q+q（3）壳外电荷对壳内电场仍无（直接）影响,壳内电场由+q和壳内表面电荷而定,这一点在电动力学中有严格证明.\n二壳外空间的场1、壳外空间无带电体（1）壳内带电体在壳外间接引起电场注意：壳内电荷以及壳内壁的感应电荷（-q）在壳外空间也要激发电场,只是两者的作用互相抵消了.外壁上分别感应出-q及+q的电荷.外壁电荷肯定要发出电场线,故壳外空间有电场,它是壳内电荷（通过在壳外壁感应出等量电荷）间接引起的.如图：设壳为中性,壳内有一正点电荷q,则在壳内、（2）当导体壳接地时,壳外空间场强处处为零（壳外壁表面上无电荷分布）若能证明壳外无电场线,则壳外空间无场强.\n金属壳接地时①因导体壳是等势体,同一条电场线不能起于壳外壁一点终于壳外壁另一点；③电线不能构成闭合曲线或者是起于无限远终于壳外壁.②整个无限远区是等势区,同一条电场线不能起于无限远而终于无限远；④如果壳外有电场线,只能是：起于壳外壁终于无限远；所以壳外无电场线,壳外空间场强处处为零.矛盾\n“接地”的直观解释是：壳外壁的感应电荷全部沿接地线流入大地,壳外壁无电荷分布,故壳外空间无电场.但是“接地”不能保证壳外壁的电荷密度在任何情况下都为零.当壳外有带电体时,就是在“接地”情况下壳外壁仍有电荷分布的一个例子.2、壳外空间有带电体（1）接地导体壳外壁电荷并非处处为零反证法：假定壳外壁各点电荷面密度为零,则空间除点电荷q外无其它电荷,此电荷在导体壳层内（金属内部）必然要产生电场,这说明金属内部场强不为零,而这就与静电平衡的条件相矛盾,故“接地”不会使壳外壁电荷为零.\n（2）当导体壳接地时,壳外电场不受壳内电荷的影响,只由壳外情况决定.（电动力学中将会给出严格证明）P59图中三种情况下壳内带电情况不同,但壳外电场分布相同；如果壳不接地,壳外电场肯定不一样.用唯一性定理证明\n三综合本节内容,得到两个结论：P601、封闭导体壳（不论接地与否）内部静电场不受壳外电荷的影响；接地封闭导体壳外部静电场不受壳内电荷的影响.2、设导体壳内电荷为q1,壳内表面电荷为q2（=-q1）,壳外表面电荷为q3（=q1）,壳外空间电荷为q4,则无论导体壳是否接地,壳内电荷q1和导体壳内表面上的电荷q2,在导体壳内表面之外任一点激发的合场强为零；壳外表面上电荷q3和壳外电荷q4,在导体壳外表面之内任一点激发的合场强为零.例（补充）：习题2.2.3P80-81解：根据高斯定理及电荷守恒定律可得出以下结论称为静电屏蔽现象用唯一性定理证明\n（1）QS1=QAQS2=-QAQS3=QA+QB（2）（3）B球接地QS3=0QS1=QAQS2=-QA（4）A球接地：接地导体球A外还有带电导体球壳B,所以A球表面电荷面密度不为零.\n设A球所带电荷为,则（电势叠加）\n（5）在B外再罩一个同心且很薄中性金属壳C后习题：2.2.1；2.2.2\n静电屏蔽的原理在电工及电子技术中有广泛的应用.为了避免外界电场对设备中某些精密电磁测量仪器的干扰,或者为了避免高压设备的电场对外界的影响,一般都在这些设备周围安装有接地的金属制外壳（网、罩）.传送弱信号的连接导线,为了避免外界的干扰,往往在导线外包一层用金属丝编织的屏蔽线层.
