物系相关速度\n物系相关速度共性研究对象刚体不发生形变的理想物体实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．基本特征具有刚体的力学性质,刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的;刚体运动的速度法则角速度刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.转动速度v=rω,r是对基点的转动半径,ω是刚体转动角速度．任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的.刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．\nABCDαv2v2dv1v1dO在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度.沿接触面法向的分速度必定相同,沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同.相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和.物系相关速度特征杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：接触物系接触点速度的相关特征是：线状相交物系交叉点的速度是:v1θv0v2v1θθvvtvnvnv1dv0v2d\n如图所示,AB杆的A端以匀速v运动,在运动时杆恒与一半圆周相切,半圆周的半径为R,当杆与水平线的交角为θ时,求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C的速度．专题5-例1解:这是杆约束相关速度问题考察杆切点C,由于半圆静止,C点速度必沿杆!vCBRAθv1v2vcθ杆A点速度必沿水平!以C为基点分解v:由杆约束相关关系:v2是A点对C点的转动速度,故\nB2A1A2如图所示,合页构件由三个菱形组成,其边长之比为3∶2∶1,顶点A3以速度v沿水平方向向右运动,求当构件所有角都为直角时,顶点Ｂ2的速度vB2．专题5-例2解:这是杆约束相关速度问题A0A1A2A3B1B2B3vvA2vA1v2v1分析顶点A2、A1的速度：顶点B2,既是A1B2杆上的点,又是A2B2杆上的点,分别以A1、A2为基点,分析B2点速度：v1v2vB2由图示知由几何关系\n解:DCvxBAvBA这是绳约束相关速度问题绳BD段上各点有与绳端D相同的沿绳BD段方向的分速度v；设A右移速度为vx,即相对于A,绳上B点是以速度vx从动滑轮中抽出的,即引入中介参照系-物A,在沿绳BD方向上,绳上B点速度v是其相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度vxcosθ的合成,即v由上vxcosθ如图所示,物体A置于水平面上,物A前固定有动滑轮B,D为定滑轮,一根轻绳绕过D、B后固定在C点,BC段水平,当以速度v拉绳头时,物体A沿水平面运动,若绳与水平面夹角为α,物体A运动的速度是多大？专题5-例3\n如图所示,半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运动,带动从动杆AB沿竖直方向上升,O为凸轮圆心,P为其顶点．求当∠AOP=α时,AB杆的速度．专题5-例4解:这是接触物系接触点相关速度问题PAOBv0ααvAv0α根据接触物系触点速度相关特征,两者沿接触面法向的分速度相同,即\n如图所示,缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上,以恒定的速度v拉绳,当绳与竖直方向成α角时,求线轴中心O的运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r,线轴沿水平面做无滑动的滚动．专题5-例5解:RrOvAααOB考察绳、轴接触的切点B速度轴上B点具有与轴心相同的平动速度v0与对轴心的转动速度rω：v0rω绳上B点沿绳方向速度v和与轴B点相同的法向速度vn：vn由于绳、轴点点相切,有α线轴沿水平面做纯滚动Cv0若线轴逆时针滚动,则\n如图所示,线轴沿水平面做无滑动的滚动,并且线端A点速度为v,方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上,线轴的内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．专题5-例6解:考察板、轴接触的切点C速度板上C点与线轴上C点有相同的法向速度vn,且板上vn正是C点关于B轴的转动速度：CABαCvnCvn线轴上C点的速度：它应是C点对轴心O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度vO的矢量和,而vCn是沿C点切向的,则C点法向速度vn应是：v0vvCnv0αv线轴为刚体且做纯滚动,故以线轴与水平面切点为基点,应有DRr\n如图所示,水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固定圆圈上以匀速u竖直下落,试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度,设OM与竖直方向的夹角为φ．专题5-例7解:这是线状交叉物系交叉点相关速度问题BOφM将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解:φu滑环速度即交叉点速度,方向沿圆圈切向;根据交叉点速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和,滑环速度即为杆沿圆圈切向分速度:\n如图所示,直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转动,使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10cm,曲杆的角速度ω=0.5rad/s,求φ=60°时,小环M的速度．专题5-例8解:这是线状交叉物系交叉点相关速度问题OABMC60°由于刚性曲杆OBC以O为轴转动,故BC上与OA直杆交叉点M的速度方向垂直于转动半径OM、大小是:根据交叉点速度相关特征,该速度沿OA方向的分量即为小环速度,故将vBCM沿MA、MB方向分解成两个分速度:vBCM小环M的速度即为vMA：vMAvMB30°OABC\ndO1O2如图所示,一个半径为R的轴环O1立在水平面上,另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过,试求两轴环上部交叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧傍第一个轴环．专题5-例9解:dO1AO2v本题求线状交叉物系交叉点A速度Av1θθv2v轴环O2速度为v,将此速度沿轴环O1、O2的交叉点A处的切线方向分解成v1、v2两个分量:O2由线状相交物系交叉点相关速度规律可知,交叉点A的速度即为沿对方速度分量v1!由图示几何关系可得:\nO顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端由凸轮M推动．凸轮绕O轴以匀角速ω转动,在图示时刻,OA＝r,凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为α,试求顶杆的速度．小试身手题1解:MnαAKB杆与凸轮接触点有相同的法向速度!v杆ωrr根据接触物系触点速度相关特征,两者沿接触面法向的分速度相同,即α\n一人身高h,在灯下以匀速率vA沿水平直线行走．如图所示,设灯距地面高度为H,求人影的顶端Ｍ点沿地面移动的速度．小试身手题2H解:Mh借用绳杆约束模型设人影端点M移动速度为v影,以光源为基点,将vA和v影分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度”vA由几何关系由一条光线上各点转动角速度相同：αα\nv0如图所示,缠在线轴A上的线被绕过滑轮B以恒定速率v0拉出,这时线轴沿水平面无滑动地滚动．求线轴中心O点的速度随线与水平方向的夹角α的变化关系．线轴的内、外半径分别为R与r．小试身手题3解:ABOVVAαV0考察绳、轴接触的切点A速度轴上A点具有对轴心的转动速度V=Rω和与轴心相同的平动速度V0：v0V0C绳上A点具有沿绳方向速度v0和与轴A点相同的法向速度vn：vn由于绳、轴点点相切,有α由于纯滚动,有\n图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动,转动方向已在图上示出．小环M套在两杆上,t=0时图中α=β=60°,试求而后任意时刻t（M未落地）M运动的速度大小．小试身手题4ABαβ解:CDM因两杆角速度相同,∠AMB=60°不变本题属线状交叉物系交叉点速度问题套在两杆交点的环M所在圆周半径为60°OlRθ2θ杆D转过θ圆周角,M点转过同弧上2θ的圆心角环M的角速度为2ω!环M的线速度为\n如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑动的滚动．AB等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？这最大速度为多少？小试身手题5解:本题属刚体各点速度问题ACB球心速度为v,则对瞬时转轴AB:O则球角速度球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!根据刚体运动的速度法则:\n如图,由两个圆环所组成的滚珠轴承,其内环半径为R2,外环半径为R1,在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r,外环以线速度v1顺时针方向转动,而内环则以线速度v2顺时针方向转动,试求小球中心围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω,设小球与圆环之间无滑动发生．小试身手题6解:R1R2ωv已知滚珠球心速度为v,角速度为ω,v1v2Arω根据刚体运动的速度法则:滚珠与内环接触处A速度滚珠与外环接触处B速度rωB∵滚珠与两环无滑动,∴两环与珠接触处A、B切向速度相同本题属刚体各点速度及接触点速度问题\n一片胶合板从空中下落,发现在某个时刻板上a点速度和b点速度相同：va=vb=v,且方向均沿板面；同时还发现板上c点速度大小比速度v大一倍,c点到a、b两点距离等于a、b两点之间距离．试问板上哪些点的速度等于3v？小试身手题7解:本题属刚体各点速度问题∵板上a、b两点速度相同,故a、b连线即为板瞬时转动轴!vvcabl根据刚体运动的速度法则,C点速度为:vc=2vvvcn=lω矢量图示同理,速度为3v的点满足V=3vvn=xω\n如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、B、C出发,以相同的速率v运动,运动中始终保持A朝着B,B朝着C,C朝着A．试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？小试身手题8解:ABC由三位舞者运动的对称性可知,他们会合点在三角形ABC的中心OOOvn每人的运动均可视做绕O转动的同时向O运动,vt考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时由于舞者匀速率运动,则\n如图所示,一个圆台,上底半径为r,下底半径为R,其母线AB长为L,放置在水平地面上,推动它以后,它自身以角速度ω旋转,整体绕Ｏ点做匀速圆周运动,若接触部分不打滑,求旋转半径OA及旋转一周所需时间T．小试身手题9解:ABLOrR设旋转半径为x,则由几何关系:接触处不打滑,则A点（即接触点）移动速度即为vA则\n如图所示,绳的一端固定,另一端缠在圆筒上,圆筒半径为R,放在与水平面成α角的光滑斜面上,当绳变为竖直方向时,圆筒转动角速度为ω(此时绳未松驰),试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C的速度．小试身手题10解:αAO绳竖直时设圆筒中心速度为v0vO以A为基点,由刚体速度法则,O点速度是vAvn圆筒与绳分离处A速度vA如图:vAC考察圆筒与斜面切点C速度:vOvn以O为基点,由刚体速度法则,C点速度是\n如图所示,长度l＝10cm的棒在光滑水平面上转动,同时,以速度v＝10cm/s滑动,离棒的中心距离L＝50cm处有竖直的墙．要使棒平着与墙相撞,试问棒的角速度ω应为多少？小试身手题11解:Lvω棒要平着与竖墙相撞应满足⑴棒中心完成L位移时,棒与墙平行；⑵相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速度（即棒上所有点速度方向均向墙）.满足⑴应有:棒在向墙移动时每半周与墙平行一次满足⑵应有vv\n一块坯料夹在两导板之间,导板水平运动．上板向右,速度为v1,下板向左,速度为v2,若v1＝2v2,某时刻切点１和２在同一条竖直线上,如图所示．请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为v1和v2的点的集合．1(A)2(B)小试身手题12解:v1v2AB以1∶2截分AB得瞬时转动中心O刚体上与瞬时转动中心距离相同的点对中心的转动速度相同\nABCDαO解:如图所示,两只小环O和分别套在静止不动的竖直杆AB和CD上,一根不可伸长的绳子一端系在C点上,穿过环,另一端系在环O上．若环以恒定速度v1向下运动,当∠AO=α时,求环O的速度．小试身手题13v1V绳对环=v1vO对＝v1+v2V绳对环设环O的速度为v2以O′为参照绳抽出速度大小为v1,方向如示:v2则环O对环O′的速度大小为v1+v2,方向如示:这个速度是O对O′沿绳“抽出”速度和对O′转动速度的合成由绳约束特征:在同一时刻必具有相同的沿绳方向的分速度.\n如图所示,有两条位于同一竖直平面内的水平轨道,相距为h．轨道上有两个物体Ａ和Ｂ,它们通过一根绕过定滑轮Ｏ的不可伸长的轻绳相连接．物体Ａ在下面的轨道上以匀速率v运动．在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间,绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴Ｐ与绳子分离,设绳长BO远大于滑轮直径,求：小水滴Ｐ恰脱离绳子落地时速度的大小．小试身手题14解:OABPvh30°小水滴P刚与绳分离时应具有与OB绳中点相同的速度,这个速度是沿绳速度与绕O转动速度的合成:vvPnvBvBn小水滴沿绳方向速度即为v整个OB段绳有相同绕O转动角速度,故则以此速度斜抛落地vP\n如图所示,AB杆以角速度ω绕A点转动,并带动套在水平杆OC上的小环M运动．运动开始时,AB杆在铅垂位置,设OA=h,求：⑴小环M沿OC杆滑动的速度；⑵小环M相对于AB杆运动的速度．小试身手题15解:OCAhωMB⑴经时间t,杆转过角ωt,杆AB上M点速度:由线状交叉物系交叉点相关速度特征环M的速度等于vM沿杆OC分量:⑵小环相对于AB杆的速度大小等于速度v杆M沿AB杆方向分量:方向如图!\n如图所示,曲柄滑杆机构中,滑杆上有圆弧形滑槽,其半径为R,圆心在导杆BC上,曲柄OA长R,以角速度ω转动,当机构在图示位置时,曲柄与水平线交角θ=30°,求此时滑杆的速度．小试身手题16解:COBωvAvnVA曲柄与水平线交角θ=30°时,曲柄滑杆机构上A点速度:此时滑杆速度设为V,A在圆形槽中的转动速度设为vn:由刚体运动的速度法则,有其中速度矢量三角形为正△
