第2讲第二讲体育比赛中的数学知识站牌四年级寒假四年级秋季包含与排除几何计数初步四年级秋季体育比赛中的数学四年级暑假三年级春季加乘原理初步标数法足球比赛赛制；积分制以及相关逻辑推理问题.漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入同学们平时喜欢参与体育比赛吗？有没有人经常在下课或者午休的时候到操场上去打篮球或踢足球?回家打开电视机的时候会不会看体育频道播放的各种赛事呢？明年世界杯将会在巴西举行，你是否了解淘汰赛的规则？其他运动的获胜规则呢？你有没有想过这些比赛与数学会有怎样的联系？如果你没想过，那就在今天跟老师一起来研究一下体育比赛中的数学问题吧.教学目标1.了解常见的体育赛事的比赛赛制.2.掌握赛制的简单计算，重点掌握单循环赛中“场次与人数”和“场次与分制”之间的关系.3.熟练运用单循环赛中的“点线图”，解决相关的逻辑推理问题.4.学习用列表法分析较为复杂的体育赛事问题.经典精讲在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理．nn(1)1.n支队伍的单循环比赛将进行m场，其中每支队都进行(n1)场.22.体育比赛中的总分（记为A）问题三分制：胜、平、负按3、1、0积分制度，其中2mA3m，每多出现一场平局，总分就会减少1分；二分制：胜、平、负按2、1、0积分制度，其中A2m，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的．3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数．知识点回顾淘汰赛：淘汰赛是指体育比赛和其它各种比赛中的一种赛制，在这种赛制中赛员两两相对，输一场即淘汰出局.每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军.在单淘汰赛制中赛会组委会事先2第7级下超常体系教师版\n第2讲会将全部选手按预赛名次或种子顺序进行编排，也支持部分种子选手直接从中间某轮开始参加比赛的安排（即轮空）.这样做的目的是避免实力强的选手过早相遇，导致后面的比赛中对阵双方的实力相差过于悬殊，影响比赛的悬念和精彩程度.循环赛：循环制，是每个队都能和其他队比赛一次或两次，最后按成绩计算名次的比赛方法.这种方法比较合理、客观和公平，有利于各队相互学习和交流经验.循环制包括单循环、双循环和分组循环三种方法.单循环：是所有参加比赛的队均能相遇一次，也就是每个队都要与其他队比赛一次，假如有A、B、C、D4个队，则每个队需要打3场，一共需要打3+2+1=6场，用线段图表示：ABCDA与B、A与C、A与D、B与C、B与D、C与D共6场.最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛球队不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法.双循环：是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛队少，或者要创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法.目前，全国男子篮球甲级联赛采用主客场制，在第一阶段预赛和9~12名保级赛中采用的就是双循环比赛.双循环比赛的轮次、场次以及比赛时间，均是单循环比赛的倍数.分组循环：是将所有参加比赛的队先分成若干个小组进行第一阶段预赛，然后每组的优胜队之间再进行第二阶段的决赛，决定第1名和以下的名次.在分组预赛中采用单循环的比赛方法，在决赛中可采用单循环赛、同名次赛、交叉赛等，故也称这种竞赛方法为混合循环制或“两阶段制”.分组循环适用于有较多的队参加的竞赛，可以在不长的期限内较合理较公平地完成竞赛任务.分组循环的不足之处，是参赛队由于实力不同，如果分布不均，可能造成强队先期被削减、弱队反而名次排列在前面的局面.为了克服这个缺陷，在编排中应设立“种子队”.所谓“种子队”，就是实力和成绩相对较强的队，他们应被合理地分开.“种子队”可以通过协商确定，也可以根据上一届比赛的名次来确定.为了照顾主办竞赛的单位，有时也在竞赛规程中作出相应规定，还要经过一定会议的讨论和认可.例题思路模块一：场次的计算（例1—例3）模块二：分数的计算（例4—例6）模块三：综合题（例7—例8）第7级下超常体系教师版3\n例1参加世界杯足球赛的国家共有32个（称32强），每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8强、4强、2强，最后决出冠军、亚军、第三名、第四名．至此，一届世界杯的所有比赛结束．根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？(学案对应：超常1)【分析】单循环赛中，有3248（个）组．每组4个队．每组四个队中，每个队要与其他3队都比赛1场，即每个队比3场．因为每场比赛要2个队．所以1组里有4326（场）．有8个组，单循环赛就有8648（场）．进入淘汰赛，有16个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就比了16115场，还要决出第三名、第四名，又多了1场．淘汰赛就有15116场．世界杯的足球赛全程共有481664（场）．例2(1)学而思要举行足球联赛，有5个校区参加比赛，每个区出2个代表队．每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在5个校区的体育场进行，那么1)冠军队要比赛多少场？2)一共要进行多少场比赛？3)平均每个体育场都要举行多少场比赛？【分析】1)一共有5210（个）队参加比赛,每队打10-1=9场.2)共赛10(101)245（场）.3)平均每个体育场都要举行4559（场）比赛．(2)学而思的几个校区举行篮球比赛，每两个校区都要赛一场，共赛了28场，那么有几个校区参加了比赛？【分析】假设有n个校区参加比赛，那么就有n(n1)2场比赛，现在已知共赛了28场，那么n8，也就是有8个校区参加了比赛．例3小明和A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制.现在知道：A、B、C、D、E、F六人已经赛过的盘数是6个连续自然数.问：这时小明已赛过盘.（学案对应：超常2、超常123班1）【分析】因为六个人赛过的盘数是6个连续自然数，可推出六人的分数可能是6、5、4、3、2、1或是5、4、3、2、1、0这两种情况，以下是对下面两种情况的分析：第一种情况：第二种情况：4第7级下超常体系教师版\n第2讲A(6)A(5)小明小明F(1)F(0)BB(5)(4)E(2)E(1)C(4)D(3)C(3)D(2)通过两种情况的分析可知，小明下了3盘.例4四名同学参加区里的围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分．(1)四个队的得分加起来一定是多少分？(2)第一名最多得多少分？最少得多少分？(3)最后一名最多得多少分？(4)比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至多有几局平局？（学案对应：超常123班2）【分析】(1)四人共赛6局，总分为6212分.(2)第一名最多3×2=6分，最少12÷4=3分.(3)全平局3分.(4)四人共赛6局，总分为6212（分），因为总分各不相同，分配得：125421或125430．平局最多的应该是5、4、2、1的情况．总分是奇数的必有一局平局，当得分是5分、1分的同学分别与得分是4分、2分的同学打平后，得分是4分、2分的同学就还剩下3分、1分，互相打平就正好．所以平局最多是3局．第7级下超常体系教师版5\n足球比赛赛制足球比赛主要包括淘汰赛和循环赛，其中循环赛又包括单循环和双循环.双循环赛制主要出现在一些周期较长的联赛及选拔赛事中，双方分别在对抗过程中表现己方的主场优势.而一些较为集中的比赛多以单循环赛与淘汰赛相结合的形式进行.例如我们常见的世界杯，32支球队被分在8个小组，两两相互进行一场比赛后，小组前两名可以晋级淘汰赛阶段.淘汰赛一直从16支球队到决出最后的冠亚季军，都采用一场定胜负的方法，其中也包括了精彩的加时金球制胜，和残酷的点球大战.篮球比赛赛制篮球比赛同样有循环赛和淘汰赛两种形式.风靡全世界的NBA里的常规赛采用的就是循环赛的形式.在为期半年，长达82场的常规赛赛程中，通过球队的胜场数确定进入季后赛的资格和席位.季后赛采用的则是7局4胜的淘汰赛形式.16支分别来自东西部的球队会依照排名（1~8,2~7,3~6,4~5）进行捉对厮杀，率先获得四场胜利的球队将晋级下一轮.连续四轮战胜对手的球队将获得最终的总冠军.乒乓球比赛赛制乒乓球比赛根据规模多采用淘汰赛制.乒乓球的计分制经过多次修改后，成为了现在的单局11分制，即率先赢下11分的选手将赢下这一局的比赛.但如果对手的得分达到10分及以上，就需要至少多赢两分才能获得比赛胜利.单打的比赛中则多采用7局4胜，而双打的比赛中多采用5局3胜.羽毛球比赛赛制羽毛球比赛的赛制采用先小组内循环，每组前两名再晋级参加淘汰赛的形式.每场比赛3局2胜，单局采用21分制，即率先赢下21分的选手将赢下这一局的比赛.如果对手的得分达到20分及以上，就需要至少多赢他两分才能获得比赛胜利.例5A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘.规定胜者得2分，负者不得分.已知比赛结果如下：(1)A与E并列第一名;(2)B是第三名;(3)C和D并列第四名.求B得多少分？（学案对应：超常3、超常123班3）6第7级下超常体系教师版\n第2讲【分析】因为五个人一共比赛45210（场），所以10场球一共得分：21020（分）．有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得8分的，也没有得0分的，得分情况只有2、4、6三种．所以，并列第一的一共得：6212（分），并列第四的一共得：224分，第三名得20(124)4（分），所以B得4分．例6四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场，如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分．(1)四个队的得分加起来可能是多少分？(2)第一名最多得多少分？(3)比赛结果，各队的总得分恰好是四个连续的自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？（要求说明理由）（学案对应：超常4）【分析】(1)共打6场，总分在12分到18分之间(2)第一名最多可得到3×3=9分.(3)设四个队的总得分分别为n，n1，n2，n3．由于四个队进行单循环比赛，共赛6场，各队总得分之和不超过6318（分），且不低于6212（分），即12≤n(n1)(n2)(n3)≤18，亦即12≤4n6≤18．解出2≤n≤3．下面分情况讨论：1、当n3时,即四队总分依次为3，4，5，6．因为345618，说明六场比赛都有胜负，不存在平局的场次；而另一方面，得4分和5分的队都有平局的场次．两者矛盾．所以，n3是不可能的．2、当n2时，即四队总分依次是2，3，4，5．因为234514，所以6场比赛中应有18-14＝4（场）是平局，2场是有胜负的．由于得5分和2分的队各有二场平局，即5311；2110．从而可以判定，得3分的队必须三场平局，得4分的队一胜一平一负，即3111，4310．综上所述，第二名得4分的队必胜得2分的队，而负于第一名（注意到得5分和3分的队都没有输过一场）．即输给第一名的队的总分是4分.例71994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知：（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的；根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是哪队？（学案对应：超常123班4）第7级下超常体系教师版7\n【分析】每个队踢3场，至多得9分．但若一个队得9分，则第二名已负1场，至多得6分，与条件（1）不符，所以第一名不能得9分，这样4个队的得分依次为7、5、3、1．丁恰有两场平局，因而总分为2或5，由于总分是奇数，所以只能是5分，从而丁是第二名，平二场，胜1场；乙得7分，7=3＋3+1，所以乙胜甲、丙，并与丁踢平；丙与丁踢平，负于乙，所以丙的总分只能是1、2、4，但总分是奇数，所以只能是1，从而丙是第四名．例8足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分.若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？【分析】设A、B、C、D、E五队总分分别为a、b、c、d、e，五队总和Sabcde20e2五队总循环赛共C510场，∴最多30分，每增加一场平局，总分少1分．a1000，b431001111c73310，d83311至少3场平局：至多5场平局：胜平负胜平负A013A013B112B040C211C211D220D220E211E121∴25≤20e≤275≤e≤7，至多7分，至少5分．注意这种论证与构造相结合的解题思路．全校共有61人报名参加兵乓球比赛，要用淘汰赛的方式产生一名冠军.每一场比赛中的双方，胜者参加下一轮比赛；若战成平局，则都参加下一轮比赛.由于参赛人数是奇数，第一轮比赛中只好让60名选手上场进行30场比赛，其余一人免赛直接进入第二轮.如果第二轮可参赛人数仍是奇数，就再让其中一人免赛直接参加第三轮，其余选手成对地角逐.如此下去，到冠军产生为止.问最少要进行多少场比赛？【答案】不论每一轮比赛中参赛资格的选手人数是奇数还是偶数，也不论每一轮比赛中有没有因战成平手而双双进入下一轮者，每一场比赛的两个参赛选手中最多只能淘汰一人（成为平手时谁也不淘汰）.要从61名选手中产生一名冠军，需淘汰60人，因此，至少需要进行60场比赛.8第7级下超常体系教师版\n第2讲知识点总结在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理．nn(1)1.n支队伍的单循环比赛将进行m场，其中每支队都进行(n1)场.22.体育比赛中的总分（记为A）问题三分制：胜、平、负按3、1、0积分制度，其中2mA3m，每多出现一场平局，总分就会减少1分；二分制：胜、平、负按2、1、0积分制度，其中A2m，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的．3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数．家庭作业1.二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？【分析】每个班要进行5场，一共要进行65215（场）比赛．2.8支球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？【分析】方法一：8进4进行了4场，4进2进行2场，最后决赛是1场，因此共进行了4217（场）比赛．方法二：每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后支剩下冠军了，也就是说淘汰了7支球队，因此进行了7场比赛．3.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（）人参加了选拔赛．A.8B.9C.10【分析】如果三个人比赛，可以比赛3223场；如果四个人比赛，可以比赛4326场；如果有五个人比赛，那么可以比赛54210场；如果有9个人比赛，那么可以比赛98236场，所以答案是B．4.6个女同学和小明进行乒乓球单打比赛，已知7个人各自胜的场次之和是14场，而其中6个女生输的场数之和是8场，则小明一共输掉了场.【分析】因为所有选手胜的场次之和应该等于所有选手负的场次之和，所以小明一共输掉了14-8=6场.5.A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，A已经赛4第7级下超常体系教师版9\n盘，B赛3盘，C赛2盘，D赛1盘．问：此时E同学赛了几盘？【分析】方法一：画5个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按要求画一画．根据题意，A已经赛4盘，说明A与B、C、D、E各赛一盘，A应与B、C、D、E点相连．D赛1盘，是与A点相连的．B赛3盘，是与A、C、E点相连的．C赛2盘，是与A、B点相连的．从图上E点的连线条数可知，E同学赛了2盘．ADEBC方法二：每人盘数相加总和必是偶数，所以E同学赛了偶数盘，不可能是0盘（因为A赛4盘），不可能赛了4盘（因为D赛1盘），所以赛了2盘.6.四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？【分析】四个人单循环比赛总共比赛4326（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是2612（分）．7.班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得2分，平者各得1分，负者得0分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为3分、4分、4分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？【分析】四个同学共赛4326（局），共12分，所以丁的得分=12-3-4-4=1分.8.有5个球队进行比赛，每队必须与其他4个队交手一次，一场比赛下来，每队若获胜可得3分，平局得1分，失败不得分.比赛结束后，各队的得分情况如下：黄队10分；红队9分；绿队4分；蓝队3分；粉红队1分.请问比赛中有______场平局.【分析】因为10=3+3+3+1，9=3+3+3+0,1=1+0+0+0，所以剩下的平局总和一定是偶数，又因为红队9分没有平局，所以4=3+1+0+0,3=1+1+1+0，从而可知共3场平局.超常班学案【超常班学案1】甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要比赛一盘，每胜一盘10第7级下超常体系教师版\n第2讲得2分，和一盘得1分，输一盘得0分.到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分.那么小明现在已赛了____盘，得了__分.【分析】通过点线图可知盘数是2，又因为是二分制，目前一共打了6盘，所以可知总分是12分，所以小明的得分12-2-4-1-2=3分.【超常班学案2】赵、钱、孙、李四人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果赵胜了李，并且赵、钱、孙三人胜的场数相同，问李胜了几场?【分析】四人比赛，则每人都赛3场，共赛4326(场)，赵，钱，孙三人胜的场数相同，所以三人只能胜0场，胜1场，胜2场．胜0场显然不行，若各胜1场，李要全胜与李输给赵矛盾，只能胜2场，如下图：赵李钱孙【超常班学案3】四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场．规定如下：胜者得2分，负者不得分，平局得1分．比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名．已知比赛中有平局，那么第一名的同学得多少分？【分析】四个同学共赛4326（场），总分是6212（分）．每名选手的总分一定是0~6七个数之一.因为有两名同学并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得6分，而且第一名的分数要大于3分．下面进行枚举．如果第一名的同学得5分，那么第三名的同学得(1252)21（分），也就是第一名胜两场，平一场，第三名平一场，负两场，各得1分；如果第一名的同学得4分，那么第三名的同学得(1242)22（分），也就是第一名胜一场，平两场，第三名负一场，平两场，各得2分；所以第一名同学得分为4分或5分.【超常班学案4】四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由．【分析】可能．A，B，C，D四个队，A胜B，B胜C，C胜A，D和A，B，C都打平．这样的话，A，B，C都是4分，D是3分，D虽然不败但却难逃垫底厄运．123班学案【123班学案1】甲、乙、丙三人进行乒乓球循环赛，结果3人获胜的场数各不相同.问第一名胜了几场?【分析】三人进行循环赛，即每两人都要赛一场，共进行2×3÷2=3场比赛.每场比赛都有一人获胜，第7级下超常体系教师版11\n每人都赛2场.由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0.显然，第一名是胜了2场.【123班学案2】甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果有三人获胜的场数相同.问另一个人胜了几场?【分析】甲、乙、丙、丁四人进行循环赛，则每人都赛3场，共赛3×4÷2=6(场).如果其中有三人都胜3场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛中的3场这三人各胜1场，另外3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜0场是不可能的.因此，如果有3人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场．也可能胜3场.【123班学案3】8人参加象棋循环比赛（每2人都要赛一盘），并且他们的得分各不相同，比赛规则是胜者得2分，负者得0分，平者双方各得1分，已知第二名的得分是后四名的得分之和，第二名得_____分.【分析】8人进行循环赛需要比赛28场，每场比赛产生2分的得分，所以8个人得分总和为56.设第二名得分为a，那么最后四名得分之和也为a，第三名至多得a－1分，第四名至少得a－2分，第一名至多为14分，显然56aa(a1)(a2)144a11，得a12，所以第二名得12分或13分.若第二名得13分，那么第一名必为14分，即第一名全胜，那么第一名胜了第二名，第二名不可能得13分，矛盾.所以第二名得12分.【123班学案4】AB、、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分.那么，这次比赛中共有多少场平局？【分析】六队单循环赛共进行15场比赛，每场比赛两队得分之和为3或2，所以总分不小于30且不大于45．因为第三名参加5场比赛得了8分，所以战绩为2胜2平1负，即15场比赛中至少有2场平局，至多有12场平局，所以总分不小于33且不大于43．因为各队得分成等差数列，所以只可能分别是12，10，8，6，4，2．即总分为1210864242（分）．15场比赛都分出胜负时总分为45分，每出现1场平局总分减少1分，45423，所以共有3场平局．12第7级下超常体系教师版
