小学数学讲义秋季四年级第10讲超常体系

第10讲第十讲列方程解应用题知识站牌五年级春季四年级春季列方程组解应用题方程与方程组四年级秋季列方程解应用题三年级春季简易方程的应用三年级春季简易方程掌握列方程解应用题的一般步骤，会用列方程的方法解答应用题漫画释义第8级下超常版教师版1\n课堂引入目前为止我们已经学过了很多类型的应用题，和差倍，年龄，盈亏，鸡兔同笼，相遇追及等等，不同的题型思路灵活多变，解法巧妙新颖，比如线段图法，假设法，对应法，年龄轴等等，方法是多种多样的，那有没有一种统一的方法去解决这些问题呢？当然有了，这就是“方程”.我们学了方程之后，就可以利用方程的“顺向思维”很容易地找到题中的等量关系列出方程，把复杂的思路转化为简单的方程等式，进而求解.今天我们就来学习如何用方程来解应用题，学完之后你就可以用方程这个“万能”的工具来面对各种应用题啦!教学目标1.掌握列方程解应用题的一般步骤，会用列方程的方法解答应用题；2.掌握根据题意找出数量间相等关系（等量关系）的方法；3.培养根据等量关系列方程的习惯.经典精讲1.等式的性质（1）等式的两边同时加上或者是减去同一个数，等式依然成立.（2）等式的两边同时乘以或者除以同一个非零的数，等式依然成立.2.解方程步骤：去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1.（1）去括号：式子里面含有括号的时候，运算之前要先去括号，去括号的原则“遇减变号”.（2）移项（过桥）：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号.这就是我们常说“过桥变号”.为了避免学生在移项(过桥)的过程中出现不够减的情况,可以给孩子们总结一下这样的移项的技巧：移小不移大、移减不移加.（3）合并同类项：把同一侧含未知数的项或纯数的项加起来.（4）将字母系数化为1.3.列方程解应用题列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程.2第8级下超常版教师版\n第10讲一般步骤如下：（1）审题：找出已知量和未知量审题找出题目中的已知量和未知量，并且找到涉及到的各个量中的关键未知量，这个关键未知量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.（2）设未知数：找关键量找准这个关键量之后设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量.设元的方法包括①直接设元：问什么设什么.题目中最后问的是哪个量我们就设哪个量为x.②间接设元：设小不设大，设少不设多.题目中最后让求的这个未知量不便于我们列出方程来，就要在题目中去寻找其他的未知量，这个未知量要是一个关键的量,能够通过一次运算就将其他的未知量用字母表示出来.寻找这个关键量的一般原则是：设小不设大，设少不设多，设部分不设整体.这样的话也可以避免出现减法或除法运算，可以减少运算的难度.（3）找等量关系（列方程解应用题的核心）①根据语言描述：“比……多（少）”、“是”、“共”、“等（于）”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”……出现这样的关键字的时候，那么这句话呈现的就可能是一个等量关系.②公式法：行程、工程、几何等公式也可作为等量关系存在.（4）列方程，根据等量关系列方程.（5）解方程.（6）检验，检验答案正确与否.标准：①结果是否符合实际生活，比如说我们不能得出1.5个人的结果.②最后结果还要代入方程里面，检验等式是否成立.知识点回顾1、等量代换.(1)【分析】6(2)★+■=24，■+●=30，●+★=36．■=_________●=________★=_______.【分析】(243036)245，所以■表示的数为：45369，●表示的数为：452421，★表示的数为：453015．(3)1只猴子的体重等于3只猫的体重，3只狗的体重等于9只猫的体重．如果1只猴子重3千克，请问1只狗重多少千克？【分析】由3只狗的体重=9只猫的体重，得1只狗的体重=3只猫的体重．又1只猴子的体重=3只猫的体重，1只狗的体重=1只猴子的体重．1只猴子重3千克，1只狗重3千克．第8级下超常版教师版3\n2、解方程.(1)x+3=8x565=100xx5=10【分析】x5；x11；x20；x50.(2)10-5-=17xx32+1+5=14x【分析】x2;x1(3)4(x1)3(x1)2x3【分析】4x43x32x3x72x3732xxx4例题思路模块一：文字题（例1）模块二：直接梳理数量关系的应用题（例2~例4）模块三：间接梳理数量关系的应用题（例5~例8）例1（1）一个数x与4的差的5倍比这个数大24，求这个数.（学案对应：超常1，带号1）【分析】根据题意得到方程5x4x24,解得x11.（2）一个数x与5的和的3倍比这个数的5倍小3，求这个数.【分析】根据题意得到方程(x5)35x3，解得x9（3）一个数x与5的差的6倍加4后除以2所得的商比它与3的差的8倍少4，求这个数.【分析】根据题意得到方程[(x5)6+4]2(x3)84，解得x3（4）一个数x与7的和的3倍再减9后除以5所得到的商比这个数的2倍多1，求这个数.【分析】根据题意得到方程[(+7)39]5x2+1x，解得x1（5）有三个连续的偶数，已知最小数的三倍加上中间数比最大数的3倍多36，求这三个连续偶数.【分析】设最小的偶数为x，另外的两个数为x2，x4，根据题意列出方程：3x（x+2）3(x4)36x46因此这三个数是46，48，504第8级下超常版教师版\n第10讲例2唐代大诗人李白诗写得好，而且很爱喝酒，杜甫曾称赞他“李白斗酒诗百篇”.关于李白喝酒还有一道数学趣题：李白好喝酒，提壶街上走.遇店加一倍，逢花喝一斗.三遇店和花，还剩一斗酒.请问此壶中，原有多少酒.（学案对应：超常2）【分析】设壶中原有酒x斗，列方程得2[2(2x1)1]11解得x1，所以壶中原有酒1斗.方程的由来方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值是方程的解.中国古代《九章算术》是世界古代著名数学著作之一，其中的“线性方程组解法和正负术”是具有世界先驱意义的首创.十六世纪，随著各种数学符号的相继出现，特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后，“含有未知数的等式”这一专门概念出现了，当时拉丁语称它为“aequatio”，英文为“equation”.十七世纪前后，欧洲代数首次传进中国，当时译“equation”为“相等式”.由于那时我国古代文化的势力还较强，西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生影响，因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶，近代西方数学再次传入我国.1859年，李善兰和英国传教士伟烈亚力将英国数学家德摩尔根的《代数初步》译出.李、伟两人很注重数学名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多一直沿用至今.其中，“equation”的译名就是借用了我国古代的“方程”一词.这样，“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”.1873年，我国近代又一个西方科学的传播者华蘅芳，与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的《代数学》，他们则把“equation”译为“方程式”，他们的意思是，“方程”与“方程式”应该区别开来，方程仍指《九章算术》中的意思，而方程式是指“含有未知数的等式”.华、兰的主张在很长时间被广泛采纳.直到1934年，中国数学学会对名词进行一一审查，确定“方程”与“方程式”两者意义相通.广义上，它们是指一元n次方程以及由几个方程联立起来的方程组，狭义上则专指一元n次方程.既然“方程”与“方程式”同义，那么“方程”就显得更为简洁明了了.第8级下超常版教师版5\n例3灰太狼年轻的时候曾经看着羊村的羊这样说：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，再加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共就有100只羊，可以凑够聘礼向红太狼求婚了”．你知道这时候羊村的羊共有多少只吗？（学案对应：超常3，带号2）【分析】设羊村的羊有x只，那么有等量关系xx0.5x0.25x1001，解得x36．即羊村的羊一共有36只.例4一个月黑风高的夜晚，羊村的哨塔被雷击塌了一角，为了不被灰太狼乘虚而入，需要小羊们紧急搬砖垒塔.已知喜羊羊搬砖的数量是懒羊羊搬砖数量的4倍，美羊羊搬砖的数量比懒羊羊搬砖的数量多20块.如果懒羊羊搬了a块砖，⑴喜羊羊搬了______块砖;美羊羊搬了_______块砖;他们三个一共搬了__________块砖.⑵喜羊羊、美羊羊、懒羊羊总共搬了140块砖，请根据题意列出方程.⑶喜羊羊搬砖的数量是美羊羊搬砖数量的3倍，请根据题意列出方程.⑷喜羊羊搬砖的数量是美羊羊搬砖数量的2倍多20块,请根据题意列出方程.（学案对应：超常4，带号3）【分析】（1）喜羊羊搬了4a块砖，美羊羊搬了a20块砖，他们三个一共搬了6a20块砖.（2）根据题意列出方程：a+4++20=140aa.（3）根据题意列出方程：4a3a20.（4）根据题意列出方程：4a2a2020.例5老师给学生买了一批铅笔作为儿童节的礼物，如果男生每人10支，女生每人8支，那么就会剩下6支铅笔.如果男生每人8支，女生每人10支，就会剩下2支铅笔.又知一共有30个学生，（1）假设男生有a人，那么女生有________人；男生第一次一共分得_________支；女生第一次一共分得__________支;男生第二次一共分得_________支；女生第二次一共分得__________支;第一次分得的铅笔总数是__________.（2）男女生各有多少人？（3）共有多少支铅笔？【分析】（1）女生有30a人；男生第一次分得10a支，女生分得8（30a)支；男生第二次分得8a支，女生分得10（30a)支；第一次总数是10a8(30a)6（2）10a8(30a)6=8a10(30a)2，解得a14，即男生14人，女生16人（3）共有铅笔10×14+8×16+6=274（支）例6北京某小学四年级有四个班，已知四（1）班、四（2）班共有81人，四（2）班、四（3）班共有83人，四（3）班、四（4）班共86人，四（1）班比四（4）班多2人，问四个班各有多少人？【分析】设四（1）班有x人，则四（2）班有81x人，四（3）班有83(81x)x2人，四（4）班有x2人，则有（x2)(x2)86，解得x43，故有四个班分别43人，38人，45人，41人.6第8级下超常版教师版\n第10讲例7箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球.如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?（学案对应：带号4）【分析】设取球的次数为x次，那么原有的白球数为（37x），红球数为（5315x）；根据条件“红球数比白球数的3倍多两个”，列方程得5315x3(37)2x，解得x7；所以原有红球53157158个，原有白球37752个，红球比白球多15852106个.例8六张大小不同的正方形纸片拼成如图所示的图形，已知最小的正方形面积是1，问：图中？所在的正方形的面积是多少？？ABDC【分析】已知最小的正方形面积是1，即图中空白正方形面积是1，从而它的边长是1，设正方形A的边长是x，则正方形B的边长是x1，，正方形C的边长是x2，正方形D的边长是x3，从而有（x1)x?(x2)(x3)，即？所在正方形的边长=4，故？所在的正方形的面积是4×4=16一天小明和小强跑到了实验室，他们看到桌子上有两个一模一样的杯子里面分别装满水和酒精，于是他们做了这样的一个实验：先从装水的A杯中倒一些水到装酒精的B杯，然后从B杯中倒同样多混合液到A杯，再从A杯中倒一些混合液到B杯……如此进行下去，一直进行了100次.你能判断此时是A杯剩下的水多还是B杯剩下的酒精多吗？【答案】一样多！知识点总结第8级下超常版教师版7\n1.解方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化1.2.列方程解应用题的步骤：（1）审题;（2）设元;（3）找等量关系;（4）根据等量关系列方程;（5）解方程;（6）检验，答题.家庭作业1.根据题意列方程求解:(1)A的5倍与20的和是9的15倍，求A.(2)从50里面减去X的2倍的差与X的3倍加5的和相等，求X.【分析】⑴根据题意得到方程5+20=915A解得：A23(2)据题意得到方程50-2X3X5解得：X92.有三个连续的奇数，已知最小数的3倍加上中间数的4倍，再加上最大数的2倍的和是43，求这三个连续的奇数.【分析】设最小的奇数x，另外的两个奇数为x+2，x+4根据题意列出方程为：3x4x22x4433x4x82x8439x16439x27x33.一人看见山上有一群羊，他自言自语道：“我如果有这些羊，再加上我家里的10只羊，然后再多一倍，又加上我刚买回来的15只，一共有91只羊”．山上的羊群共有多少只？【分析】设山上的羊群有x只羊，得到方程2x101591，解得x28，因此山上有28只羊.4.甲乙两人一起学外语，甲每天比乙多记11个单词，40天中甲因事停学15天，结果所记的单词还是乙的2倍.假设乙每天记x个单词，那么甲每天记_______个单词.甲一共记了_______单词.乙一共记了_______个单词.(1)乙每天实际上记了多少个单词？(2)40天中甲比乙多记多少个单词？【分析】甲每天记x11个单词，甲一共记了25x11个单词，乙一共记了40x个单词.(1)25x11240x解得：x5(2)2516405200(个)5.五年级一班同学参加学校植树活动，派男、女生共12人去取树苗，男同学每人拿3棵，女同学8第8级下超常版教师版\n第10讲每人拿2棵，正好全部取完；如果男、女生人数调换一下，则还差2棵不能取回．问：原来男、女生人数各是多少？【分析】设原来男生有x人，女生有(12x)人，依题意列方程：3x2(12x)2x3(12x)2，解得x7，即男生有7人，则女生有1275人.所以原来男生有7人，女生有5人6.四个自然数，每次取其中的三个相加，得到四个和，分别为22，24，27和20，求这四个数各是多少？【分析】设这四个数的总和为x，那么这四个数分别为x22，x24，x27和x20，那么x22x24x27x20x4x93xx31．所以这四个数分别为31229、31247、31274、312011.7.四年级学生去秋游，要分成15个组，一部分由8人组成一个小组，另一部分由5个人组成一个小组，8人组成小组的总人数比5人组成小组的总人数多3人，求四年级共有多少名同学参加秋游？【分析】解：设8人小组有x组，则5人小组有（15x）组8x（515x）38x5155x313x78x6865（156）93（名）答：共有93名同学参加秋游．8.一个长方形的水池周长是56米，并且它的长比宽的3倍少4米，请问这个长方形的长是多少，宽是多少？【分析】长方形的宽为x米，则长方形的长为3x4米根据题意列出方程为：2+23xx4=56解得：x=8长方形的宽是8米，长为38420米.超常班学案【超常班学案1】有三个连续的偶数，已知最小数的3倍加上中间数的4倍，正好是最大数的5倍，求这三个连续的偶数.【分析】设最小数是x，中间数是x2，最大数是x4，根据题意可得到方程3x4x25x4，解得x6，因此这三个连续偶数是6,8,10.【超常班学案2】实验室中培养了一种奇特的植物，它生长得非常迅速，每天都会生长到昨天质量的2倍还多3千克．培养了3天后，植物的质量达到45千克，求这株植物原来有多少千克？【分析】设这株植物原来有x千克，根据题意得：第8级下超常版教师版9\n22(2x3)3345解得：x3所以这株植物原来有3千克．【超常班学案3】一群大雁在天空中飞翔，迎面遇到一只大雁，这只大雁对着这群大雁喊道：“喂，你们有多少只呀？”领头的大雁答道：“我们的头数加只数，只数减头数，只数除头数，头数乘以7，把这四个数相加恰好是100”.请问这群大雁有多少只？【分析】设这群大雁有x只，列方程：xxxxxx7x100得x11【超常班学案4】甲、乙、丙三位同学每人得到相同数目的果汁糖．甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃3块，比甲晚1天吃完；丙每天吃4块，比甲早2天吃完，问：他们每人得到多少果汁糖？【分析】由于题目中乙、丙吃完糖所用的时间均与甲所用的时间有关，故不妨设甲用x天将糖吃完．又根据三位同学有相同数目的糖建立方程，则3(x1)4(x2)，解得x11．由3(111)36或4(112)36，可知他们每人得到36块果汁糖.超常123学案【超常123学案1】甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数也都是1．乙有书多少本？【分析】设乙有课外书x本，则甲有课外书（5x1）本，丙有课外书55（x1）125x6（本），于是有（5x1）x（25x6）100，即31x93，解得x3【123班学案2】一群天鹅在天空中飞翔，迎面遇到一只天鹅，这只天鹅对着这群天鹅喊道：“喂，你们有多少只呀？”领头的鹅答道：“我们的头数加只数，头数减只数，头数乘只数，头数除只数，把这四个数相加恰好是100”.请问这群天鹅有多少只？2【分析】设这群天鹅有x只，则有（xx)(xx)xxxx100，即x+2x=99，因x必为整数，故实验得x9【123班学案3】一群小朋友去郊游，男孩戴红帽子，女孩戴黄帽子.在每个男孩看来，红帽子数是黄帽子数的3倍；在每个女孩看来，红帽子数是黄帽子数的4倍.问：共有多少个小朋友参加郊游？【分析】只要分别求出男孩和女孩各有多少人即可.由于每个人不能看到自己头上的帽子，所以男孩所看到的红帽子数比男孩数少1，女孩所看到的黄帽子数比女孩数少1.设女孩有x人，则男孩有4(x1)人，依题意列方程：4(x1)13x，解得：x5，即女孩有5人，则男孩有4(51)16人，所以共有51621人.【123班学案4】有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？【分析】设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是（x8）个石子；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（x86）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（x82）个，丙堆石子数变成（x862）个，有10第8级下超常版教师版\n第10讲x6（2x16），解得x26．第8级下超常版教师版11