小学数学讲义暑假五年级第8讲列方程组解应用题超常体系

第8讲第八讲列方程组解应用题知识站牌五年级秋季五年级秋季方程法解行程工程问题五年级暑假列方程组解应用题四年级春季方程与方程组四年级秋季列方程解应用题解方程组、列方程组解应用题漫画释义第9级上超常体系教师版1\n课堂引入很多同学害怕利用方程(组)解应用题，是因为我们对方程（组）不熟悉.其实方程是用顺向思维去思考问题，根据题目中的等量关系，直接列出含有未知数的等式，在解决应用题时会比算术方法更快速、更方便.正由于它的优越性，方程(组)广泛应用于数学、物理等理科研究中.今天让我们一起用这种高效的方法去解决应用题吧！教学目标1.复习方程与方程组得解法，能够熟练解二元一次及三元一次方程组.2.能熟练应用二元一次方程组解基本应用题.3.能够理解三元一次方程组解复杂应用题经典精讲列方程(组)解应用题的基本步骤：(1)审：认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系；(2)设：合理选择未知数是解题的关键步骤之一．可直接设元，也可间接设元；(3)列：根据题目中的已知条件，利用等量关系列出方程(组)；(4)解：求出未知数的值；(5)答：对方程(组)的解进行检查验算，看是否符合题意，针对问题作出答案.例题思路模块1：例1，解方程组模块2：例2-3，普通二元，三元方程组应用题模块3：例4-8，技巧型方程组．(整体法，轮换式，矩形图，迭代法)例1解下列方程组：2第9级上超常体系教师版\n第8讲2yx=1（1）13x8=59y2x5y17（2）3x6y21xy5（3）yz6zx73x4z7（4）2x3yz95x9y7z8x7【分析】（1）可用加减消元法或代入消元法，方程组的解为y42x5y17x1（2）化简原方程组得：，之后利用加减法解得.x2y7y3x3（3）三式相加再除以2可得：x+y+z=9;之后分别减去原三式可得y2z4x51（4）方程组的解为y3z2例2教室里有若干学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍.问：最初有多少名女生？(学案对应：超常1)【分析】解：设原来男生人数为x人，女生人数为y人，则：x2(y10)5(x9)(y10)x10解得.y15答：最初有15名女生．例3有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物各若干只.蜘蛛有8条腿但没有翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.蜘蛛比蜻蜓多5只，三种动物一共有182条腿、22对翅膀.请问：三种动物各有多少只？(学案对应：超常2，带号1)【分析】解：设蜘蛛x只，蜻蜓y只，蝉z只，那么可以列出方程第9级上超常体系教师版3\nxy5x108x6y6z182解得y5.2yz22z12答：蜘蛛10只，蜻蜓5只，蝉12只.【巩固】有大、中、小三种包装的筷子27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种盒各有多少个？【分析】解：设大盒有x个，中盒数为y，小盒有z个，则：xyz27x918x12y8z330解得y6z2yz12答：大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个.【巩固】艾迪、宫宝和薇儿在讨论买《喜羊羊——兔年大吉》电影票的事，艾迪现有的钱数是宫宝的3倍，是薇儿的2倍.艾迪说：“如果宫宝给我15元钱，我就可以买3张电影票.”宫宝说：“如果我给艾迪15元，剩下的钱恰好能买3个一样的汉堡.”薇儿说：“如果妈妈再给我35元钱，我就刚好能买2张电影票和2个汉堡.”请问：艾迪原有多少元钱？他们要买的电影票每张多少元？一个汉堡多少元？【分析】解：设艾迪有6x元钱，宫宝有2x元，薇儿有3x元.一张电影票y元，一个汉堡z元，那么：6x153yx152x153z解得y35.3x352y2zz5因此艾迪有15690元钱，一个汉堡5元钱，一张电影票35元钱.“元”的概念宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李冶1248年写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数”。所以现在在简称方程时，将未知数称为“元”，如一个未知数的方程叫“一元方程”。而两个以上的未知数，在古代又称为“天元”、“地元”、“人元”。例411有一块麦地和一块菜地，菜地的一半和麦地的合起来是13亩，麦地的一半和菜地的合起来是3312亩，那么麦地和菜地共有亩．【分析】解：设菜地有x亩，麦地有y亩．则：4第9级上超常体系教师版\n第8讲xy1323xy1232两式相加再整理可得x+y=30答：共30亩.【铺垫】购买3斤苹果，2斤桔子需要6.90元；购买8斤苹果，9斤桔子需要22.80元，那么苹果、桔子各买1斤需要元.【分析】解：设购买1斤苹果、桔子分别需要x元、y元，则：3x2y6.98x9y22.8两式相加得11x11y29.7，即xy2.7.答：各买1斤需要2.7元.点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买3811斤苹果和2911斤桔子，需6.9022.8029.7元，所以各买1斤需要29.7112.7元例5有甲、乙、丙、丁4个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17，这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少？(学案对应：超常3，带号2)【分析】解：设甲、乙、丙、丁4个人的年龄分别为abcd、、、，则：abcd293bcda233acdb213abdc173把四个式子加起来整理得到：abcd45(1)再将上面方程组里面的每个式子3后与（1）式相减分别得到：a12，b9，c3，d21，所以年龄最大与最小的差值为21318岁答：这4人中最大年龄与最小年龄的差是18岁．【巩固】四个自然数，每次取其中的三个数相加，得到四个和，分别为21，19，17和15，求这四个数各是多少？【分析】解：设这四个数分别为a,b,c,d，则：abc21a5bcd19b7解得cda17c9dab15d3答：这四个数分别为5、7、9、3．第9级上超常体系教师版5\n例6有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共需175元；若购买甲5件、乙13件、丙1件，共需305元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元.(学案对应：超常4，带号3)【分析】解：设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则:3x7yz175…（1），5x13yz305…（2）由(1)2(2)得xyz217530545，即各买一件需要45元.答：各买一件需要45元例7运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？(学案对应：带号4)【分析】解：设乙车运来x箱，每箱装y个苹果，根据题意列表如下：甲乙丙箱数x4xx4每箱苹果数y3yy5法1：根据上表可列出如下方程：x4y3xy34y3x15化简得xyx4y555x4y15x15解得y15所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数是：191215151120673(个)．法2：矩形图，用面积表示三车的苹果数．4(y3)3x34y5(x4)56第9级上超常体系教师版\n第8讲x15解得，之后可算出总数673.y15例8五家共用一井取水，甲用绳2根不够，差乙家绳子1根；乙用绳3根不够，差丙家绳子1根；丙用绳子4根不够，差丁家绳子1根；丁用绳子5根不够，差戊家绳子1根；戊用绳6根不够，差甲家绳子1根．问井深，绳长各是多少？（井深为小于1000的整数）【分析】解：设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为A、B、C、D、E，井深k，则：2ABk3BCk4CDk5DEk6EAk这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代Bk2A，Ck3B6A2k，Dk4C9k24A，Ek5D120A44k，代入最后一个式子，6120A44kAk，即721A265k，(721,265)1，且k小于1000，所以k721，A265．于是，B191，C148，D129，E76．答：井深721，甲家绳长265，乙家绳长191，丙家绳长148，丁家绳长129，戊家绳长76老师家的电话号码五年级一班同学想知道数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，你们得动动脑筋。”接着说，“我家的电话号码是八位数，前四位数字相同，后四位数字是从大到小的连续的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，巧的是，这个号码的后五位数字也是连续的自然数，这回你们能知道我家的电话号码了吗？”答案：电话号码为88887654知识点总结列方程(组)解应用题的基本步骤：(1)审：认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系；(2)设：合理选择未知数是解题的关键步骤之一．可直接设元，也可间接设元；(3)列：根据题目中的已知条件，利用等量关系列出方程(组)；第9级上超常体系教师版7\n(4)解：求出未知数的值；(5)答：对方程(组)的解进行检查验算，看是否符合题意，针对问题作出答案.附加题1.已知练习本每本0.40元，铅笔每支0.32元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师所给的10元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来0.56元，那么老师原来打算让小虎买多少本练习本？【分析】解：设老师原本打算让小虎买x本练习本和y支铅笔，则：40x32y10005x4y125化简得40y32x1000565y4x118x17解得y10答：老师原打算让小虎买17本练习本．2.蜘蛛、蜻蜓和蝉三种昆虫一共有21只，蜘蛛有8条腿但没有翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.三种动物一共有140条腿，23对翅膀.请问：三种昆虫各有多少只？【分析】解：设蜘蛛x只，蜻蜓y只，蝉z只，则：xyz21x78x6y6z140解得y9.2yz23z5答：有蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只.3.某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分．某考生按两种判分方法均得81分，这次比赛共多少道题？【分析】解：设答对a道题，未答b道题，答错c道题，则：5a2b811403ac812由1式知，a是奇数，且小于17．2式可化简为c3a413由3式知，a大于13．综合上面的分析，a是大于13小于17的奇数，所以a15．再由13式得到b3，c4．abc153422，所以共有22道题．4.有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了3年，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和.求现在每个人的年龄.【分析】解：设老师今年年龄为x岁，甲为a岁、乙为b岁、丙为c岁.则：8第9级上超常体系教师版\n第8讲xabcx9a9b9c9，x12a12c12b12x15b15c15a15那么老师今年年龄为x1512936岁所以今年老师36岁，甲、乙、丙分别15岁、12岁、9岁.5.某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给40分，每答对一题给4分，不答题不给分，答错扣1分，另一种是先给60分，每答对一题给3分，不答题不给分，答错扣3分，小明在考试中只有2道题没有答，以两种方式计分他都得102分，求考试一共有多少道题？【分析】解：设小明答对了x道题，答错了y道题.则：404xy102603x3y102x16解得，所以考试一共有162220道题.y26.在S岛上居住着100个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有60人回答：“是”；对第二个问题有40人回答：“是”；对第三个问题有30人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？【分析】解：永远说真话的人都只会对一个问题“是”，总说假话的则都对两个问题答“是”.设永远说真话的人有x人，总是说假话的人有y人.xy100x70解得x2y604030y30答：岛上有30个人说的是假话．7.甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了3次后，甲共得19分，乙和丙各得13分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？【分析】解：三张牌上的三个数之和是191313315．因为3不能整除13和19，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，又因为所得分数不同，所以谁也没有拿到三张牌各1次，因此三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三张牌从大到小写的数依次为a、b、c.由乙、丙各得13分，推知乙、丙的三张牌是c、c、a和b、b、c.则甲的三张牌是a、a、b.aab19a7bbc13解得b5.cca13c3答：三张牌从大到小写的数依次是7，5，3.家庭作业第9级上超常体系教师版9\n11x9y491.解方程组：13x3y17x2【分析】方程组的解为y32.小宝和小峰互相借阅课外书，小宝说：“如果你借给我7本书，我的书就是你的3倍”，小峰说：“如果你借给我8本书，我的书就是你的2倍”，那么他俩各有多少本书？【分析】解：设小宝有x本，小峰有y本．则：x73(y7)y82(x8)x20解得y16答：小宝有本20书，小峰有16本．3.奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种.小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元.请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？【分析】解：设大、中、小3种型号的福娃单价分别是xyz,,.则：x3y2z360x802xyz270解得y60x2y2z300z50答：大号80元，中号60元，小号50元4.某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费1245元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有多少人？【分析】解：设订半年的x人，订全年的y人，则：2.5(6x12)1320yx2y88化简得，两式相加，得3(xy)171，2.5(12x6)1245y2xy83所以xy57答：该小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人．5.王先生看到甲带着乙，丙，丁玩，于是就问他们分别多少岁了．年龄较大的甲先回答了，其他三人也学着甲回答．四人的回答如下：甲说：不算我，他们三人年龄之和为24岁；乙说：不算我，他们三人年龄之和为30岁；丙说：不算我，他们三人年龄之和为31岁；丁说：不算我，他们三人年龄之和为32岁．聪明的你能告诉王先生，甲多少岁了吗？【分析】解：设这四个人的年龄分别为x,a,b,c,，则：abc24bcx30cxa31xab3210第9级上超常体系教师版\n第8讲四式相加除以3后，再减第一个式子可得x=15.答：甲15岁．6.甲，乙，丙三人在商场购买A,B,C三件商品(不存在优惠情况)，每人买的件数不完全一样，因此付的钱数也不一样．下表是三人购物的具体情况，请将丙应支付的钱数补充完整．ABC总价钱甲1件2件3件100元乙1件4件7件180元丙1件1件1件【分析】解：设A,B,C的单价分别为x,y,z元．则：x2y3z100(1)x4y7z180(2)(1)式×3-(2)式可得：2(x+y+z)=3×100-180=120所以x+y+z=60答：丙应支付60元．7.一个长方形的长增加6厘米,宽减少2厘米,则面积增加8平方厘米；如果长减少6厘米，宽增加6厘米，则面积不变.原图形的面积为多少？宽宽y62yx6长6x长【分析】解：设原长方形的长与宽分别是x,y厘米．由上两图可列出如下方程组：6(y2)2x86y6(x6)x14解得y8原面积为14×8=112平方厘米．xy25368.丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：，其中未知数前面的系数被甲和乙xy704遮住了.甲计算得出方程的解是x=7，y=3；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是x=4，y=4.试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？【分析】解：设4个系数分别为a,b,c,d.把x，y的值代入方程，以方框为未知数，重新建立方程，得：7a3b25367a3b25367c3d7047c3d704化简得4a4b1536ab3844c4d704cd176第9级上超常体系教师版11\na346b38解得c44d132答：最小的系数是38.超常班学案【超常班学案1】一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍．问：男孩、女孩各有多少人？【分析】解：设男孩有x人，女孩有y人．则：(x1)y5x2(y1)x14解得.y8答：男孩有14人，女孩有8人．【超常班学案2】某船的载重量是5200吨，容积是20000立方米，载有甲、乙、丙三种货物.甲种每2立方米重1吨，乙种每8立方米重1吨，丙种每4立方米重1吨，装货时要求丙种货物的重量是甲种的1.5倍.问三种货物应各装多少吨，才能充分利用船的载重量与容积？【分析】解：设甲、乙、丙三种货物各有x、y、z吨，则：xyz5200x18002x8y4z20000解得y700，z1.5xz2700答：甲、乙、丙三种货物分别装1800吨、700吨、2700吨.【超常班学案3】甲、乙、丙三人，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为21,22,23.求三个人的年龄分别是多少?【分析】解：设3个人的年龄分别是xyz,,，则：xyz212x13xzy22解得y11.2z9yzx232答：三个人的年龄分别为13岁，11岁，9岁.【超常班学案4】甲，乙，丙三人在商场购买A,B,C,D四件商品(不存在优惠情况)，每人买的件数不完全一样，因此付的钱数也不一样．下表是三人购物的具体情况，请将丙应支付的钱数补充完整．ABCD总价钱甲1件2件3件5件100元乙1件3件5件9件160元12第9级上超常体系教师版\n第8讲丙1件1件1件1件【分析】解：设A,B,C,D的单价分别为x,y,z,w元．则：x2y3z5w100x3y5z9w160上式×2减下式即得：x+y+z+w=40答：丙应支付40元．123班学案【超常班123学案1】有红、黄、绿三种颜色的卡片共20张.其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的两面上分别写有1和3，绿色卡片的两面上分别写有2和3.现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大的数字的那面朝上显示出来.经计算，各卡片所显示的数字之和为56.如果把所有卡片的正反面翻转一下，那么各卡片所显示的数字之和为31.请问：黄色卡片有多少张？【分析】解：设有红色卡片x张，则有黄色卡片y张，绿色卡片z张，则：xyz20x42x3y3z56解得y5.xy2z31z11答：黄色卡片为5张.【超常123班学案2】10人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人．然后每个人把左右两人的平均数亮出来，如下图所示，那么亮出5的人心中想的数是多少？768591410131112【分析】解：设亮出i的数的人心中想的数是ai(5i14)，则：a5a762a7a982aa102911aa1221113aa142135左边相加除以2再减去(a7a9)与(a11a13)即可得a5a5(68101214)228212210【超常班123学案3】一些奇异的动物在草坪上聚会．有独脚兽(1个头、1只脚)、双头龙(2个头、4只脚)、三脚猫(1个头、3只脚)和四脚蛇(1个头、4只脚)．如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量的2倍．那么，有多少只独脚兽参加聚会？【分析】解：设独脚兽有x只，双头龙为y只，三脚猫为z只，则四脚蛇为2y只．则：第9级上超常体系教师版13\nx2yz2y58x4yz58①，即x4y3z8y160x12y3z160②故3①-②得：2x14x7答：有7只独脚兽参加聚会.【超常123班学案4】一只小虫从A爬到B处.如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达；如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达.那么A处到B处之间的距离是多少米？【分析】解：法1：设小虫的速度为x米/分，从A到B需要y分钟x1y15xyx3解得x3y30xyy60所以A处到B处之间的距离是3×60=180（米）法2：矩形图法．设小虫的速度为x米/分，从A到B需要y分钟时间：分y1515x12速度：米／分15x1(y15)30x3(y30)x3解得y60所以A处到B处之间的距离是3×60=180（米）14第9级上超常体系教师版