[A级 基础练]1．已知函数f(x)可导，则lim等于( )A．f′(x) B．f′(2)C．f(x) D．f(2)解析：选B.因为函数f(x)可导，所以f′(x)＝lim，所以lim＝f′(2)．2．函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是( )A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析：选B.因为y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以y′|x＝1＝2cos1－sin1.3．已知f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0＝( )A．e2 B．1C．ln2D．e解析：选B.因为f(x)＝x(2021＋lnx)，所以f′(x)＝2021＋lnx＋1＝2022＋lnx，又f′(x0)＝2022，所以2022＋lnx0＝2022，所以x0＝1.4．(2021·丽水模拟)曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝0
解析：选D.因为f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝－3，又f(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.5.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A．－1B．0C．2D．4解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f(x)＝________，f′(1)＝________．解析：因为f(lnx)＝x＋lnx，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.答案：x＋ex 1＋e7．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3lnx的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.
答案：28．(2020·金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2018，若对任意的x∈R，都有f′(x)＜2x成立，则不等式f(x)＜x2＋2014的解集为________．解析：构造函数g(x)＝f(x)－x2－2014，则g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(－2)＝f(－2)－22－2014＝2018－4－2014＝0，由f(x)＜x2＋2014有f(x)－x2－2014＜0，即g(x)＜0＝g(－2)，所以x＞－2，不等式f(x)＜x2＋2014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)9．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.所以或即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.[B级 综合练]10．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( )A．1B.C.D.解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.11．若曲线y＝f(x)＝lnx＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )A.B．[－，＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.12．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
解析：①中，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx＝－sin＜0在区间上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0.④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③13．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程为3x－4y＋4＝0.(1)求a，b的值；(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：y＝x，直线l2：x＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－(x≠0)．由题意得即解得a＝1，b＝1.(2)证明：由(1)知f(x)＝x＋，设曲线的切点为P，f′(x0)＝1－，曲线在P处的切线方程为y－＝(x－x0)．
即y＝x＋.当x＝0时，y＝.即切线l与l2：x＝0的交点坐标为A.由得即l与l1：y＝x的交点坐标为B(2x0，2x0)．又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S＝·|2x0|·＝2.即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值．14．(2020·绍兴一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.[C级 提升练]15．设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选C.y′＝12x3－6x2－18x，则y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，所以曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点M(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.联立解得或或故切线与曲线C还有其他的公共点(－2，32)，，所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.16．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos(πx)
＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．解析：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin(πx)＋b，f(0)＝a，g(1)＝cosπ＋b＝b－1，f′(0)＝a，g′(1)＝b，由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b，又f′(0)＝＝a，即a＝b＝－1，则a＋b＝－2；所以直线l的方程为x＋y＋1＝0.答案：－2 x＋y＋1＝0
