活页作业 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为( )A．e2 B．e C. D．ln2解析：由f(x)＝xlnx得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e.答案：B3．(2022·广元模拟)已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是( )A．－1 B．±1 C．1 D．±3解析：由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2＝－1，即a2＝1，a＝±1，故选B.答案：B4．(理)(2022·长春模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为( )A．{x|x>0} B．{x|x<0}C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1}解析：构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案：A4．(文)(2022·梅州模拟)若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>－f(x6\n)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是( )A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：令g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0.∴g(x)在R上为增函数，∵a>b，∴g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)．答案：B5．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )解析：由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.答案：D6．(理)(2022·九江模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )①f(x)<0恒成立；②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；④f>；⑤f<.A．①③ B．①③④ C．②④ D．②⑤解析：由函数f(x)的导函数的图象可得，函数f(x)是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f(x)图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f(x)的草图如图所示，由图示可得<0且f<，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.答案：D6\n6．(文)(2022·佛山模拟)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是( )A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝x·ex解析：由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负．对于A，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈上，恒有f″(x)<0；对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在x∈上，恒有f″(x)<0；对于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在x∈上，恒有f″(x)<0；对于D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝2ex＋xex，在x∈上，恒有f″(x)>0，故选D.答案：D二、填空题7．(2022·新课标全国高考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y′＝3lnx＋1＋3＝3lnx＋4，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－38．(金榜预测)设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：依题意得，(x>0)；当x>0时，，即该图象在点P处的切线的斜率不小于，即tanθ≥.又θ∈[0，π)，因此≤θ<，即θ的取值范围是.答案：三、解答题9．(理)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(26\n))处的切线方程为y＝3.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．(1)解：f′(x)＝a－，于是，9．(文)已知函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e为偶函数，图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．解：函数y＝f(x)为偶函数，∴ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e，∴b＝0，d＝0.又过P(0,1)，代入得e＝1.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.6\n在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴x＝1时y＝－1，即f(1)＝－1，∴a＋c＝－2.①又f′(x)＝4ax3＋2cx，k＝f′(1)＝4a＋2c＝1，②∴由①②得a＝，c＝－，∴f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.10．(理)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．10．(文)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；(2)若存在x<0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值．6\n解：f(x)＝x3－x2＋bx＋a，f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b.由f′(0)＝0得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)．(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1，f′(3)＝3.所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，即3x－y－8＝0.(2)存在x<0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7.所以a的最大值为－7.6
