【高考领航】2022高考数学总复习2-11变化率与导数、导数的计算练习苏教版【A组】一、填空题x1．(2022·高考江西卷)曲线y＝e在点A(0,1)处的切线斜率为________．x解析：y′＝e，k＝y′|x＝0＝1答案：122．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为________．222解析：f′(x)＝(x－a)＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x－a)．22答案：3(x－a)33．(2022·高考山东卷)曲线y＝x＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．2解析：y′＝3x，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.答案：9πsinx1，04．(2022·高考湖南卷)曲线y＝－在点M4处的切线的斜率为sinx＋cosx2________．cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx解析：y′＝＝2sinx＋cosx1π1，把x＝代入得导数值为.1＋sin2x421答案：225．(2022·江南十校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.答案：－236．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x－10x＋3上，且在第二象限内，已知1\n曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．32解析：由y＝x－10x＋3，得y′＝3x－10，由曲线C在点P处的切线的斜率为2，2∴y′＝3x－10＝2，2即x＝4，又点P在第二象限，∴x＝－2，又点P在曲线C上，∴y＝(－8)＋20＋3＝15，则点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)27．设P为曲线C：y＝x－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．2解析：设P(a，a－a＋1)，y′x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.1a－322而g(a)＝a－a＋1＝2＋，413当a＝时，g(a)min＝.243，3a＝2时，g(a)max＝3，故P点纵坐标范围是4.3，3答案：4二、解答题328．已知函数f(x)＝ax＋bx＋cx，且f(－1)＝－1，若方程f′(x)＝0的实数根为±1，求方程f(x)＝0的实数根．解：由题设的三个条件“f(－1)＝－1，f′(1)＝0，f′(－1)＝0”列方程组可解得a、b、c的值．∵f(－1)＝－1，∴－a＋b－c＝－1，即a－b＋c＝1.①2又∵f′(x)＝3ax＋2bx＋c，f′(x)＝0的实数根为±1，∴3a＋2b＋c＝0，②，且3a－2b＋c＝0，③13联立方程①②③，解得a＝－，b＝0，c＝.22133由f(x)＝0，得－x＋x＝0，解得x＝0，22或x＝±3，即方程f(x)＝0的实数根为0，±3.2\n39．已知函数f(x)＝x－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．32解：(1)由f(x)＝x－3x得，f′(x)＝3x－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求直线方程为y＝－2.3(2)设切点为(x0，x0－3x0)，(x0≠1)，2切线斜率k＝f′(x0)＝3x0－3，32切线为y－(x0－3x0)＝(3x0－3)(x－x0)又切线过P(1，－2)32∴－2－x0＋3x0＝(3x0－3)(1－x0)322即2x0－3x0＋1＝0∴(x0－1)(2x0＋1)＝01∵x0≠1，∴x0＝－21331－＋－3x＋∴所求切线方程为y－82＝42，即9x＋4y－1＝0.【B组】一、填空题πsinx1，01．曲线y＝－在点M4处的切线与直线x＋my＋2＝0垂直，则m＝sinx＋cosx2________.22cosx＋sinx1解析：∵y′＝＝，2sinx＋cosx1＋sin2xπ1∴在点M处的切线斜率k＝y′|x＝＝，421－1∵km＝－1，∴m＝.21答案：2－2x2．曲线y＝e＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．－2x解析：y′＝－2e，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图中阴影部分所示，其中直线y＝－2x＋222，121与y＝x的交点A33，所以三角形面积S＝×1×＝.2333\n1答案：333．(2022·高考广东卷)曲线y＝x－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．2解析：易知y′＝3x－1，∴y在点(1,3)处切线的斜率k＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝024．(2022·高考辽宁卷)已知P，Q为抛物线x＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．2x解析：y＝，y′＝x，2∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2，点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(－2,2)，∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，y＝4x－8，即y＝－2x－2，解得A(1，－4)，则A点的纵坐标为－4.y＝－2x－2答案：－43b5．(2022·河南郑州模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点A(1,2)，则a＝()2解析：由题意得y＝kx＋1过点A(1,2)，∴2＝k＋1，即k＝1.∵曲线y′＝3x＋a，又∵直线y＝kx＋1与曲线相切于点(1,2)，∴y′＝k，且y′|x＝1＝3＋a，即1＝3＋a，∴3b3a＝－2，代入曲线方程y＝x＋ax＋b，可解得b＝3.∴a＝(－2)＝－8.答案：－8lnx6．函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)等于________．x解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，1·x0－lnx0所以f′(x0)＝x02x04\n1－lnx01＝＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝.2x0e1答案：e327．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x＋3x－1相切的直线方程是________．32解析：设切点的坐标为(x0，x0＋3x0－1)，则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，可得切22线的斜率为－3，又f′(x)＝3x＋6x，故3x0＋6x0＝－3，解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.答案：3x＋y＋2＝0二、解答题28．已知曲线方程为y＝x.(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．2解：(1)∵A在曲线y＝x上，22∴过A与曲线y＝x相切的直线只有一条，且A为切点．由y＝x，得y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设切点P的坐标为(x0，y0)，2由y＝x得y′＝2x，∴y′|x＝x0＝2x0，5－y0由已知kPB＝2x0，即＝2x0.3－x02又y0＝x0代入上式整理得：x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)，(5,25)，∴所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.39．已知曲线y＝x＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．32解：(1)由y＝x＋x－2，得y′＝3x＋1，2由已知令3x＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，1∴直线l的斜率为－.4∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，5\n1∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，4即x＋4y＋17＝0.6
