2019年辽宁省铁岭市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.2的相反数是( )A.12B.2C.-2D.02.下面四个图形中，属于轴对称图形的是( )A.B.C.D.3.下列运算正确的是( )A.x8÷x4=x2B.x+x2=x3C.x3⋅x5=x15D.(-x3y)2=x6y24.如图所示几何体的主视图是( )A.B.C.D.5.为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下：捐书本数2345810捐书人数25122131该组数据捐书本数的众数和中位数分别为( )A.5，5B.21，8C.10，4.5D.5，4.56.某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为10，规定笔试成绩占40%，面试成绩占60%．应聘者蕾蕾的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是( )A.92.5分B.90分C.92分D.95分7.如图，在△CEF中，∠E=80∘，∠F=50∘，AB // CF，AD // CE，连接BC，CD，则∠A的度数是( )A.45∘B.50∘C.55∘D.80∘8.如图，∠MAN=60∘，点B为AM上一点，以点A为圆心、任意长为半径画弧，交AM于点E，交AN于点D．再分别以点D，E为圆心、大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线AF，在AF上取点G，连接BG，过点G作GC⊥AN，垂足为点C．若AG=6，则BG的长可能为( )A.1B.2C.3D.239.在平面直角坐标系中，函数y=kx+b的图象如图所示，则下列判断正确的是( )第13页共16页◎第14页共16页
A.k>0B.b<0C.k⋅b>0D.k⋅b<010.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，AG⊥BC于点G，点D为BC边上一动点，DE⊥BC交射线CA于点E，作△DEC关于DE的轴对称图形得到△DEF，设CD的长为x，△DEF与△ABG重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.我国科技成果转化2018年度报告显示：2017年，我国公立研发机构、高等院校的科技成果转化合同总金额达到12100000000元．将数据12100000000用科学记数法表示为________．12.若x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．13.一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是________．14.若x，y满足方程组3x+y=17x-y=3 ，则x+y=________．15.若关于x的一元二次方程ax2-8x+4=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．16.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=60∘，∠C=70∘，OB=9，则AB的长为________．17.如图，Rt△AOB≅Rt△COD，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且tan∠OAB=2．若四边形OAEC的面积为6，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点E，则k的值为________．18.如图，在△A1C1O中，A1C1=A1O=2，∠A1OC1=30∘，过点A1作A1C2⊥OC1，垂足为点C2，过点C2作C2A2 // C1A1交OA1于点A2，得到△A2C2C1；过点A2作A2C3⊥OC1，垂足为点C3，过点C3作C3A3 // C1A1交OA1于点A3，得到△A3C3C2；过点A3作A3C4⊥OC1，垂足为点C4，过点C4作C4A4 // C1A1交OA1于点A4，得到△A4C4C3；……；按照上面的作法进行下去，则△An+1Cn+1Cn的面积为________．（用含正整数n的代数式表示）三、解答题(本大题共2小题,共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.先化简，再求值：(1-a+ba-b)÷ba2-b2，其中a=3-2，b=5-3．20.书法是我国的文化瑰宝，研习书法能培养高雅的品格．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如图两幅不完整的统计图．第13页共16页◎第14页共16页
请根据统计图中的信息解答以下问题：(1)本次抽取的学生人数是________，扇形统计图中________所对应扇形圆心角的度数是________．(2)把条形统计图补充完整．(3)若该学校共有2800人，等级达到优秀的人数大约有多少？(4)A等级的4名学生中有3名女生1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．四、解答题（本大题共2小题,共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)21.某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的54，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．(1)求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？(2)玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？22.如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离(AB)为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30∘，看建筑物顶部D的仰角β为53∘，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．(1)求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．(2)求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin53∘≈0.8，cos53∘≈0.6，tan53∘≈1.3，3≈1.7）五、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)23.小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．(1)求y与x的函数关系式．(2)要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？(3)求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．六、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)24.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，以点A为圆心、AB的长为半径的⊙A恰好经过BC的中点E，连接DE，AE，BD，AE与BD交于点F．(1)求证：DE与⊙A相切．(2)若AB=6，求BF的长．七、解答题（本大题共1小题,共12分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤25.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC=180∘．(1)如图1，当∠B=45∘时，线段AG和CF的数量关系是________．(2)如图2，当∠B=30∘时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．第13页共16页◎第14页共16页
(3)若AB=6，DG=1，cosB=34，请直接写出CF的长．八、解答题（本大题共1小题,共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26.如图1，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(-2, 0)，B(6, 0)，与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．第13页共16页◎第14页共16页
参考答案与试题解析2019年辽宁省铁岭市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.C2.C3.D4.B5.A6.C7.B8.D9.D10.A二、填空题（本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.1.21×101012.x≥113.314.715.a<4且a≠016.8π17.418.34n三、解答题(本大题共2小题,共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.解：原式=a-b-a-ba-b⋅a2-b2b=-2ba-b⋅(a+b)(a-b)b=-2a-2b，当a=3-2，b=5-3，原式=-2(3-2)-2(5-3)=-23+4-10+23=-6．20.40人,A,36∘(2)B等级人数为40-(4+16+14)=6（人），补全条形图如下：(3)等级达到优秀的人数大约有2800×440=280（人）.(4)画树状图为：或列表如下：男女1女2女3男---（女，男）（女，男）（女，男）女1（男，女）---（女，女）（女，女）女2（男，女）（女，女）---（女，女）女3（男，女）（女，女）（女，女）---第13页共16页◎第14页共16页
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为12．四、解答题（本大题共2小题,共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)21.解：(1)设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为(x-1)元，根据题意得：1200x=800x-1×54，解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，∴x-1=5．答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(2y+60)件，根据题意得：6y+5(2y+60)≤2100，解得：y≤11212，∵y为整数，∴y最大值=112.答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．22.解：(1)作AM⊥CD于M，则四边形ABCM为矩形，∴CM=AB=16，AM=BC，在Rt△ACM中，tan∠CAM=CMAM，则AM=CMtan∠CAM=16tan30∘=163(m)，答：AB与CD之间的距离163m.(2)在Rt△AMD中，tan∠DAM=DMAM，则DM=AM⋅tan∠DAM≈16×1.7×1.3=35.36，∴DC=DM+CM=35.36+16≈51(m).答：建筑物CD的高度约为51m．五、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)23.解：(1)根据题意得，y=200-10(x-8)=-10x+280，故y与x的函数关系式为y=-10x+280.(2)根据题意得，(x-6)(-10x+280)=720，解得：x1=10，x2=24（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元.(3)根据题意得，w=(x-6)(-10x+280)=-10(x-17)2+1210，∵-10<0，∴当x<17时，w随x的增大而增大，当x=12时，w最大=960，答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．六、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)24.(1)证明：∵四边形ABCD都是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵EC=EB，∴BC=2BE=2CE，∵AD=2AB，∴AB=BE，∴AB=BE=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE=∠AEB=60∘，∵AB // CD，∴∠C=180∘-∠ABE=120∘，∵CD=AB，AB=BE=CE，∴CD=CE，∴∠CED=12(180∘-∠C)=30∘，∴∠AED=180∘-∠AEB-∠CED=90∘，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切．第13页共16页◎第14页共16页
(2)解：如图，作BM⊥AE于M，∵△AEB是等边三角形，∴AE=AB=6，∵AD // BC，∴△ADF∼△EBF，∴AFEF=ADEB=2，∴AF=2EF，∴AF=23AE=4，∵BM⊥AE，BA=BE，∴AM=ME=12AE=3，∴FM=1，BM=AB2-AM2=62-32=33，在Rt△BFM中，BF=FM2+BM2=27．七、解答题（本大题共1小题,共12分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤25.AG=CF(2)证明：如图2，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠EAG=∠B=30∘，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30∘，∠BAC=120∘，∴∠EAC=∠BAC-∠EAG=90∘，∴CE=2AE，∵∠GAF+∠GEF=180∘，∴∠AGE+∠EFA=∠EFA+∠EFC=180∘，∴∠AGE=∠CFE，∵∠C=∠B，∴∠C=∠EAG，∴△CFE∼△AGE，∴CFAG=CEAE=2，∴CF=2AG.(3)解：①当G在DA上时，如图3，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AD=BD=3，AE=BE，∵cosB=BDBE，∴BE=BDcosB=334=4，∴AE=BE=4，∴∠BAE=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠BAE，第13页共16页◎第14页共16页
∵∠GEF+∠BAC=180∘，∴∠AGE+∠AFE=360∘-180∘=180∘，∵∠AFE+∠CFE=180∘，∴∠CFE=∠AGE，∴△CFE∼△AGE，∴CFAG=CEAE，过A作AH⊥BC于点H，∵cosB=BHAB=34，∴BH=34AB=34×6=92，∵AB=AC，∴BC=2BH=9，∵BE=4，∴CE=9-4=5，∵AG=AD-DG=3-1=2，∴CF2=54，∴CF=2.5；②当点G在BD上，如图4，同理可得，△CFE∼△AGE，∴CFAG=CEAE，∵AG=AD+DG=3+1=4，∴CF4=54，∴CF=5，综上所述，CF的长为2.5或5．八、解答题（本大题共1小题,共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26.解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x-6)=a(x2-4x-12)=ax2-4ax-12a，即：-12a=6，解得：a=-12，故抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6.(2)函数的对称轴为：x=2，故点D(2, 8)，将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n得：8=2m+n0=-2m+n ，解得：m=2n=4 ，故直线AD的表达式为：y=2x+4，设点N(n, 2n+4)，∵MN=OA=2，则点M(n+2, 2n+4)，①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4=-12(n+2)2+2(n+2)+6，解得：n=-2±23，故点M的坐标为(23, 43)或(-23, -43)；②点M(n+2, 2n+4)，点B、D的坐标分别为(6, 0)、(2, 8)，则BD2=(6-2)2+82，MB2=(n-4)2+(2n+4)2，MD2=n2+(2n-4)2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：(6-2)2+82=(n-4)2+(2n+4)2+n2+(2n-4)2，解得：n=2±2215，当∠MBD为直角时，同理可得：n=-4，当∠MDB为直角时，同理可得：n=83，故点M的坐标为：(-2, -4)或(143, 283)或(12+2215, 24+4215)或(12-2215, 24-4215)．第13页共16页◎第14页共16页
