§3.3 二次函数与幂函数专题检测1.(2020四川宜宾第四中学第二次月考,6)已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关系是( )A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b答案 B f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,0.40.6<0.60.6<0.60.4,所以b<a<c,故选B.2.(多选题)(20205·3原创题)若函数y=x2-4x-4在区间[0,a)上既有最大值又有最小值,则正整数a的值可能是( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 BC 令y=f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,作出函数y=f(x)的部分图象,如图,f(0)=f(4)=-4,f(x)min=f(2)=-8.因为函数在区间[0,a)上既有最大值又有最小值,所以区间[0,a)必须包含2,且f(a)≤-4,所以2<a≤4.结合选项可知选BC.命题说明 函数在开区间内有最值,必然是有极值点,并且开区间端点处的函数值不是值域的边界.开口向上的抛物线在开区间上有最小值,就是定义域包含了顶点的横坐标;有最大值,则定义域的开区间端点处的函数值必不超过闭区间端点处的函数值.此题背景熟悉,难度不大,但对答题者的逻辑思维能力有较高要求.3.(2017江西九江七校联考,4)幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( )
A.1或3 B.1C.3 D.2答案 B 由题意可知解得m=1,故选B.4.(2018河北保定第一次模拟,8)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(2018)+h(2017)+h(2016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=( )A.0 B.1 C.4036 D.4037答案 D 因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数,所以f(x)=x2,所以h(x)=+1,因为g(x)是R上的奇函数,因此h(x)+h(-x)=+1++1=2,h(0)=+1=1,因此h(2018)+h(2017)+h(2016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=2018×2+1=4037,选D.5.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知f(x)=则y=f(x)-x的零点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 C 由条件知f(x)=其中n=0,1,2,…作出函数y=f(x)和y=x的图象,知它们共有3个不同的交点,故y=f(x)-x的零点有3个.6.(2016内蒙古集宁二模,6)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]答案 A 令f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,∴f(x)最小值=4,若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.故选A.易错警示 注意不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意的x∈D恒成立与不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意的a∈D恒成立的区别.7.(2017北京海淀期中)已知函数y=ax,y=xb,y=logcx的图象如图所示,则( )A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a答案 C 由题图知,函数y=ax是指数函数,且x=1时,y=a∈(1,2);函数y=xb是幂函数,且x=2时,y=2b∈(1,2),∴b∈(0,1);函数y=logcx是对数函数,且x=2时,y=logc2∈(0,1),∴c>2.综上,a、b、c的大小关系是c>a>b.故选C.8.(2020海南天一大联考一模,5)不等式(x2+1>(3x+t的解集为( )A.∪(4,+∞) B.(-1,4)C.(4,+∞) D.(-∞,-1)∪(4,+∞)答案 A 不等式(x2+1>(3x+5等价于x2+1>3x+5≥0,解得-≤x<-1或x>4,所以原不等式的解集为∪(4,+∞).故选A.9.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分
别为x1,x2和x3,x4,若x1<x3<x2<x4,则a的取值范围是 . 答案 -1<a<1解析 由x2-ax-2=0得a=x-(x≠0),由x2-x-1-a=0得a=x2-x-1.在同一个坐标系中画出y=x-和y=x2-x-1的图象(如图).由x-=x2-x-1化简得x3-2x2-x+2=0,即(x+1)(x-1)(x-2)=0,解得x=-1或x=1或x=2.当x=2或x=-1时,y=1;当x=1时,y=-1,所以函数y=x-与y=x2-x-1的图象有3个交点:(-1,1),(1,-1),(2,1).作直线y=a与y=x-的图象相交,且交点横坐标从左到右依次为x1,x2,直线y=a与y=x2-x-1的图象相交,且交点横坐标从左到右依次为x3,x4,若满足x1<x3<x2<x4,则由图象知,-1<a<1.10.(2018苏州期中)已知幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是 . 答案 1解析 因为幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,所以2m-m2>0,解得0<m<2,又m∈N*,所以m=1.11.(2019河北邯郸模拟,16)若正实数a,b满足a+b=1,则函数f(x)=ax2+x-a的零点的最大值为 . 答案
解析 设f(x)=ax2+x-a的零点为x1,x2,且x1<x2,则x2=,令t=+=,0<b<1,求导得t'=,∴0<b<时,t'<0,函数递减,b>时,t'>0,函数递增,∴b=时,t取得最小值9,∴t≥9,∴x2===在t∈[9,+∞)上递减,∴t=9,即a=,b=时,x2取得最大值.思路分析 问题转化为求x2=的最大值,令t=+=(0<b<1),利用导数法求得t∈[9,+∞),再利用分子有理化得x2=的单调性,从而可求得最大值.12.(2016皖北联考,18)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.解析 (1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),∴f(x)在[1,a]上是减函数,又f(x)的定义域和值域均为[1,a],∴即解得a=2.(2)∵对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,
∴f(x)max-f(x)min≤4.①若a≥2,∵a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,∴当x∈[1,a+1]时,f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.∴(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,∴2≤a≤3.②若1<a<2,则f(x)max=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max-f(x)min≤4显然成立.综上,1<a≤3.由题悟法 在研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时,最好是作出二次函数的大致图象.特别是遇到对称轴固定而区间变化或对称轴变化而区间固定这两种情形时,要利用函数图象,找出讨论的分类标准.13.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)=(1)求f及x∈[2,3]时函数f(x)的解析式;(2)若f(x)≤对任意的x∈(0,3]恒成立,求实数k的最小值.解析 (1)f=-f=f=×=.当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],所以f(x)=[(x-2)-(x-2)2]=(x-2)(3-x).(2)要使f(x)≤,x∈(0,3]恒成立,只需k≥[xf(x)]max,x∈(0,3]即可.当x∈(0,1]时,f(x)=x-x2,则对任意的x∈(0,1],xf(x)=x2-x3.
令h(x)=x2-x3,则h(x)max=h=;当x∈(1,2]时,xf(x)=-x[(x-1)-(x-1)2]=x(x-1)·(x-2)≤0;当x∈(2,3]时,xf(x)=x[(x-2)-(x-2)2],令x-2=t,则t∈(0,1],记g(t)=(t+2)(t-t2),t∈(0,1].则g'(t)=-(3t2+2t-2),令g'(t)=0,得t0=(负值舍去),故存在t0=使得函数g(t)在t=t0处取得最大值,为.又>,所以当k≥时,f(x)≤对任意的x∈(0,3]恒成立,故实数k的最小值为.14.(2019山西晋中模拟,20)对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b-1(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=mx0成立,则称x0为f(x)关于参数m的不动点.(1)当a=1,b=-2时,求f(x)关于参数1的不动点;(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有关于参数1的两个不动点,求a的取值范围;(3)当a=1,b=2时,函数f(x)在(0,2]上存在两个关于参数m的不动点,试求参数m的取值范围.解析 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,由题意得x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,故当a=1,b=-2时,f(x)关于参数1的两个不动点为-1和3.
(2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有关于参数1的两个不动点,∴ax2+(b+1)x+b-1=x,即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,∴Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立,于是Δ'=(-4a)2-16a<0,解得0<a<1,故当b∈R且f(x)恒有关于参数1的两个不动点时,0<a<1.(3)由已知得x2+3x+1=mx在x∈(0,2]上有两个不等实数解,即x2+(3-m)x+1=0在x∈(0,2]上有两个不等实数解,令h(x)=x2+(3-m)x+1,所以解得5<m≤.故m的取值范围是.思路分析 (1)当a=1,b=-2时,解方程f(x)=x即可;(2)f(x)=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,两次使用判别式即可得到a的取值范围;(3)问题转化为x2+(3-m)x+1=0在(0,2]上有两个不等实数解,利用二次函数的图象列不等式组可得m的取值范围.
