§3.4 指数与指数函数专题检测1.(2018海南华侨中学期中,8)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则( )A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c答案 A ∵1>a=0.40.3>0.30.3>b=0.30.4,c=0.3-0.2>1,∴b<a<c,故选A.2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,6)函数f(x)=则该函数为( )A.单调递增函数,奇函数B.单调递增函数,偶函数C.单调递减函数,奇函数D.单调递减函数,偶函数答案 A 显然函数f(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上都是增函数,又x=0时,代入函数的两段解析式中,其值均为零,说明函数图象是连续不断的,故函数f(x)是单调递增函数.又f(-x)=====-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故选A.3.(2018北京丰台二模,6)设下列函数的定义域为(0,+∞),则值域为(0,+∞)的函数是( )A.y=ex-x B.y=ex+lnxC.y=x- D.y=ln(x+1)答案 D A项,函数y=ex-x,y'=ex-1,令ex-1>0可知函数在(0,+∞)上单调递增,所以值域为(1,+∞),故排除A.B项,函数y=ex+lnx,当x→0时,lnx→-∞,而ex→1,所以y→-∞,可排除B;C项,函数y=x-可看作关于的二次函数,即y=()2-,易得值域为,可排除C,故选D.
解题关键 熟练掌握指数函数与对数函数的图象和性质是解本题的关键.4.(2018广东第一次模拟,12)函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( )A.(16,32) B.(18,34) C.(17,35) D.(6,7)答案 B 画出函数f(x)的图象如图所示.不妨令a<b<c,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2.结合图象可得4<c<5,故16<2c<32,∴18<2a+2b+2c<34.故选B.解题关键 利用函数图象进行求解,使得解题过程变得直观形象.解题中有两个关键:一是结合图象得到2a+2b=2;二是根据图象判断出c的取值范围,进而得到16<2c<32,然后根据不等式的性质可得所求的范围.5.(2017广东茂名二模,9)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是( )答案 C 由函数f(x)的图象可知,-1<b<0,a>1,则g(x)=ax+b为增函数,当x=0时,g(0)=1+b>0,故选C.6.(2018重庆万州二模,11)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,
若函数y=2x的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l( )A.不存在 B.有且只有一条C.至少有两条 D.有无数条答案 B 根据题意,设直线l的方程为y=m,则A(log2m,m),B(log2m-1,m),AB=1,设C(x,2x),∵△ABC是等边三角形,∴点C到直线AB的距离为,∴m-2x=,∴x=log2,又x=(log2m+log2m-1)=log2m-,∴log2=log2m-=log2,∴m-=,解得m=,故符合条件的直线l只有1条.故选B.思路分析 设AB方程为y=m,根据△ABC是等边三角形计算m的值,得出结论.7.(2018湖南郴州第二次教学质量检测,11)已知函数f(x)=ex-,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为( )A.∪(2,+∞) B.(2,+∞)C.∪(2,+∞) D.(-∞,2)答案 B 函数f(x)=ex-的定义域为R,∵f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数,那么不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0等价于f(2x-1)>-f(-x-1)=f(1+x),易证f(x)是R上的递增函数,∴2x-1>x+1,解得x>2,∴不等式
f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为(2,+∞),故选B.8.若函数f(x)=loga(ax-3)(a>0且a≠1)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(0,1) C. D.(3,+∞)答案 D 令u=ax-3,∵a>0且a≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f(x)为增函数,则f(x)=logau必为增函数,因此a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选D.易错警示 本题既要考虑复合函数单调性法则,还要考虑不等式ax-3>0在x∈[1,3]上恒成立.9.(2017浙江金华十校调研,13)已知函数f(x)=,在F(x)=f(x)+1和G(x)=f(x)-1中, 为奇函数;若f(b)=,则f(-b)= . 答案 G(x);解析 由题可知,G(x)=f(x)-1=,显然G(-x)===-G(x),因此函数G(x)为奇函数,所以G(b)+G(-b)=0,即f(b)-1+f(-b)-1=0,所以f(-b)=2-f(b)=.10.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=(a∈R)的图象关于点对称,则a= . 答案 1解析 由已知,得f(x)+f(-x)=1,即+=1,整理得(a-1)[22x+(a-1)·2x+1]=0,所以当a-1=0,即a=1时,等式成立.11.(2019届江苏锡山高级中学检测)若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为 . 答案 {x|x>4或x<0}
解析 因为f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4,所以f(x)=当f(x-2)>0时,有或解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.12.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知函数f(x)=现有四个命题:①若a>0,b>0,则f(a+b)≤f(a)f(b);②若a>b>0,则f(a-b)≥;③若a>0,b>0,则f(ab)≥[f(a)]b;④若a>b>0,则f≤.其中真命题为 .(写出所有真命题的序号) 答案 ①②④解析 对于①,当a≥1,b≥1时,f(a+b)=ea+b,f(a)=ea,f(b)=eb,此时f(a+b)≤f(a)f(b)成立;当a≥1,0<b<1时,f(a+b)=ea+b,f(a)=ea,f(b)=e,f(a)f(b)=ea+1>ea+b=f(a+b),此时f(a+b)≤f(a)f(b)成立;当0<a<1,0<b<1时,f(a+b)=f(a)f(b)=e2,此时f(a+b)≤f(a)f(b)成立;当0<a<1,b≥1时,f(a+b)=ea+b,f(a)=e,f(b)=eb,f(a)f(b)=eb+1>ea+b=f(a+b),此时f(a+b)≤f(a)f(b)成立.综上可知①正确.对于②,当a≥1>b>0时,若0<a-b<1,则1≤a<b+1<2,则a-1<1.此时f(a-b)=e,==ea-1<e,∴f(a-b)≥成立;若a-b≥1,则a-b>a-1,此时f(a-b)=ea-b,==ea-1<ea-b,∴f(a-b)≥成立.当a>b≥1时,若0<a-b<1,则f(a-b)=e,==ea-b<e,∴f(a-b)≥成立;若a-b≥1,则
f(a-b)=ea-b,==ea-b=f(a-b),∴f(a-b)≥成立.当0<b<a<1时,0<a-b<1,此时f(a-b)=e,==1<e,∴f(a-b)≥成立.综上可知②正确.对于③,当a=,b=2时,f(ab)=e,[f(a)]b=e2,此时f(ab)<[f(a)]b,故③是错误的.对于④,当a>b≥1时,f=,[f(a)=(ea=,∴f≤[f(a)成立;当a≥1>b>0时,f=,[f(a)=(ea=,∴f≤成立;当0<b<a<1时,f=,[f(a)=>,∴f≤成立.综上可知④正确.故填①②④.13.(2018江苏如东中学期中,16)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;(2)若b<1,g(x)=f(x)-2mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.解析 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.①当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,
故所以解得②当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,故所以解得故或(2)因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2.若g(x)在[2,4]上单调,则≤2或≥4.所以2m≤2或2m≥6,即m≤1或m≥log26.故实数m的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞).14.(2019苏州期中,18)已知f(x)=ex-是奇函数.(1)求实数a的值;(2)求函数y=e2x+e-2x-2λf(x)在x∈[0,+∞)上的值域;(3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x3+1)+g(1-3x2)<0的解集.解析 (1)函数的定义域为R,因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以1-a=0,所以a=1.(3分)当a=1时,f(-x)=e-x-=-ex+=-f(x),此时f(x)为奇函数.(4分)
(2)令ex-=t(t≥0),所以e2x+=t2+2,所以h(t)=t2-2λt+2,对称轴为直线t=λ.(5分)①当λ≤0时,h(t)∈[h(0),+∞),所求值域为[2,+∞);(7分)②当λ>0时,h(t)∈[h(λ),+∞),所求值域为[2-λ2,+∞).(9分)(3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=ex-为奇函数,所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x),所以g(x)=f(x)-2x为奇函数,所以g(x3+1)+g(1-3x2)<0等价于g(x3+1)<g(3x2-1).(10分)又g'(x)=f'(x)-2=ex+-2≥2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增,所以x3+1<3x2-1,即x3-3x2+2<0,(13分)即(x-1)(x2-2x-2)<0,所以x<1-或1<x<1+.(14分)所以不等式的解集是(-∞,1-)∪(1,1+).(15分)
