§11.3 条件概率、二项分布及正态分布专题检测1.(2019湖南长沙一模,7)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )A.0.75 B.0.6 C.0.52 D.0.48答案 A 设一个这种元件使用1年为事件A,使用2年为事件B,则这个元件在使用到1年时还未失效的前提下,这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)===0.75.故选A.失分警示 本题考查了条件概率,属简单且易错题型.2.(2020重庆模拟)某公司生产了一批新产品,这种产品的综合质量指标值X服从正态分布N(100,σ2)且P(X<80)=0.2.现从中随机抽取该产品1000件,估计其综合质量指标值在[100,120]内的产品件数为( )A.200 B.300 C.400 D.600答案 B 本题考查正态分布密度函数的性质及应用,要注意利用正态曲线的对称性求解概率,同时考查学生利用转化思想解决问题的能力,体现了数学运算的核心素养.∵综合质量指标值X服从正态分布N(100,σ2)且P(X<80)=0.2,∴P(X<80)=P(X>120)=0.2,P(X≤100)=P(X≥100)=0.5.∴P(100≤X≤120)=P(X≥100)-P(X>120)=0.3.故综合质量指标值在[100,120]内的产品件数为1000×0.3=300.故选B.3.(2020北京清华附中朝阳学校开学摸底,4)已知随机变量X满足条件X~B(n,p),且E(X)=12,D(X)=,那么n与p的值分别为( )A.16, B.20, C.15, D.12,答案 C 本题考查随机变量的均值与方差,考查学生运算求解的能力,体现数学运算的核心素
养.∵X~B(n,p),且E(X)=12,D(X)=,∴解得n=15,p=,故选C.思路分析 根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n与p的值.4.(2019广东汕头模拟,8)如图所示,半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆,将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内,用A表示事件“豆子落在圆O内”,B表示事件“豆子落在扇形OEF(阴影部分)内”,则P(B|A)=( )A. B.C. D.答案 B 由已知得P(A)==,P(AB)==,∴P(B|A)===,故选B.失分警示 条件概率的计算方法:P(B|A)==.5.(2019河南郑州二模,7)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545.)
A.906 B.2718 C.340 D.3413答案 C ∵X~N(-2,4),∴阴影部分的面积S=P(0≤X≤2)=[P(-6≤X≤2)-P(-4≤X≤0)]=×(0.9545-0.6827)=0.1359,则在正方形中随机投一点,该点落在阴影部分内的概率P=,∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×≈340.故选C.解题关键 本题考查正态密度曲线的特点,数形结合是解决问题的关键.6.(2020山东烟台第一中学第一次联考,4)首届中国国际进口博览会期间,甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备,他们购买该机床设备的概率分别为,,,且三家企业的购买结果相互之间没有影响,则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A. B. C. D.答案 C 本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.设“甲企业购买该机床设备”为事件A,“乙企业购买该机床设备”为事件B,“丙企业购买该机床设备”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,则P()=1-P(A)=1-=,P()=1-P(B)=1-=,P()=1-P(C)=1-=,设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D,则P(D)=P(A )+P(B)+P( C)=××+××+××=,故选C.思路分析 由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况:只有甲企业购买,只有乙企业购买或只有丙企业购买.设出每一个企业购买设备所表示的事件,并求其对立事件的概率,根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案.
7.(2020重庆一中摸底考试,8)规定投掷飞镖3次为一轮,3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟试验的方法估计某人投掷飞镖的情况:先由计算器产生随机数0或1,用0表示该次投镖未在8环以上,用1表示该次投镖在8环以上,再以每三个随机数作为一组,代表一轮的结果.例如:“101”代表第一次投镖在8环以上,第二次投镖未在8环以上,第三次投镖在8环以上,该结果代表这一轮投镖为优秀,“100”代表第一次投镖在8环以上,第二次和第三次投镖均未在8环以上,该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟试验产生了如下10组随机数,据此估计,该选手投掷飞镖两轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率是( )101111011101010100100011111001A. B. C. D.答案 B 模拟试验中,总共进行了10轮,每轮中至少两次投中8环以上的有6轮,用频率估计概率可得该选手每轮拿到优秀的概率为=,那么该选手投掷飞镖两轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率P=1-×=.故选B.8.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为 . 答案 解析 启动一次出现数字为A=10101的概率P=×=.由题意知100次独立重复试验中,成功的次数η服从二项分布B,∴η的方差Dη=100××=.则得分X=2η-1×(100-η)=3η-100,
所以DX=D(3η-100)=9Dη=.9.(2017河北“五个一名校联盟”二模,18)空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数;(2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.解析 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,∴该样本中空气质量为优良的频率为=,从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×=18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且ξ~B.∴P(ξ=0)==,P(ξ=1)=××=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)==,ξ的分布列为ξ0123
PEξ=3×=1.8.解题关键 判断出ξ服从二项分布是解第(2)问的关键.10.(2020天一联考“顶尖计划”高中毕业班第二次考试,19)某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有A,B两种,且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位:mm)分别为随机变量X,Y,其中X服从正态分布N(45,25),Y服从正态分布N(55,25).(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间[45,55]的概率;(2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z,若用正态分布N(μ0,)来近似描述Z的分布,请你根据(1)中的结果,求参数μ0和σ0的值(精确到0.1);(3)在(2)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间[42.2,57.8]的个数为W,求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-0.64σ≤X≤μ+0.64σ)≈0.4773,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.解析 本题考查正态分布、二项分布.(1)记这只蜻蜓的翼长(单位:mm)为t.因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等,所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的.(2分)所以P(45≤t≤55)=×P(45≤X≤55)+×P(45≤Y≤55)=×P(45≤X≤45+2×5)+×P(55-2×5≤Y≤55)
≈×+×=0.47725.(5分)(2)两种蜻蜓的个体数量大致相等,X,Y的方差也相等,根据正态曲线的对称性,可知μ0==50.0.(7分)∵0.47725≈0.4773,∴由题意可知45=μ0-0.64σ0,55=μ0+0.64σ0,得σ0=≈7.8.(9分)(3)由(2)知P(42.2≤Z≤57.8)=P(μ0-σ0≤Z≤μ0+σ0)=0.6827.(10分)由题意有W~B(3,0.6827),所以P(W=k)=×0.6827k×0.31733-k.(11分)因此W的分布列为W0123P0.317330.68271×0.317320.68272×0.317310.68273E(W)=3×0.6827=2.0481.(12分)11.(2020百校联盟TOP209月联考,22)某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测,为了了解玩家对游戏的体验感,研究人员随机调查了300名玩家,对他们的游戏体验感进行测评,并将所得数据统计如图所示,其中a-b=0.016.(1)求这300名玩家测评分数的平均数;(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差,公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测,如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进;若3人中仅1人认为游戏需要改进,则公司将另外聘请2位专家二测,二测时,2人中至少有1
人认为游戏需要改进的话,公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0<p<1),且每款游戏之间改进与否相互独立.(i)对该公司的任意一款游戏进行检测,求该款游戏需要改进的概率;(ii)每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人,今年所有游戏的研发总费用为50万元,现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测,假设公司的预算为110万元,判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算,并通过计算说明.解析 (1)由题意可得(0.005+a+b+0.035+0.028)×10=1,所以a+b=0.032.又a-b=0.016,联立解得a=0.024,b=0.008.(2分)所以300名玩家测评分数的平均数为55×0.05+65×0.24+75×0.35+85×0.28+95×0.08=76.(4分)(2)(i)因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为p2(1-p)+p3,(5分)一款游戏二测被认定需要改进的概率为p(1-p)2[1-(1-p)2],(6分)所以某款游戏被认定需要改进的概率为p2(1-p)+p3+p(1-p)2[1-(1-p)2]=3p2(1-p)+p3+3p(1-p)2[1-(1-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2.(7分)(ii)设每款游戏的评测费用为X元,则X的可能取值为900,1500.P(X=1500)=p(1-p)2,P(X=900)=1-p(1-p)2,(8分)故E(X)=900×[1-p(1-p)2]+1500×p(1-p)2=900+1800p(1-p)2.(9分)令g(p)=p(1-p)2,p∈(0,1),g'(p)=(1-p)2-2p(1-p)=(3p-1)(p-1).当p∈时,g'(p)>0,g(p)在上单调递增,
当p∈时,g'(p)<0,g(p)在上单调递减,所以g(p)的最大值为g=.(11分)所以实施此方案,最高费用为50+600××10-4=120>110,故所需的最高费用将超过预算.(12分)
