模块卷(一)时间:120分钟 分值:145分集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江嘉兴期末,3)设曲线y=在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,则=( )A. B.- C.3 D.-3答案 B y'==,y'|x=1=-3,因为曲线y=在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,所以(-3)·=-1,解得=-,故选B.2.(2020新疆昌吉期中,6)若a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为( )A.5 B.6 C.8 D.9答案 D 本题考查基本不等式在求最值中的应用,考查了数学运算的核心素养.∵a>0,b>0,a+2b=3,∴+=(a+2b)=≥×=9,当且仅当=,即a=b=1时取等号,所以+的最小值为9.故选D.3.(2019天津耀华中学一模,2)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=sin
x,则f+f(1)+f(2)=( )A.-2- B.-1- C.- D.1-答案 C ∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,∴f(0)=0,f(1)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,∴f+f(1)+f(2)=-f+f(1)+f(0)=-f+0+0=-sin=-.4.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C (1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由(i)(ii)知,充分性成立.(2)必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.5.(2017山东文,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 C 本题考查分段函数与函数值的计算.解法一:当0<a<1时,a+1>1,∴f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得=2a,∴a=.此时
f=f(4)=2×(4-1)=6.当a≥1时,a+1>1,∴f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解.综上,f=6,故选C.解法二:∵当0<x<1时,f(x)=,为增函数,当x≥1时,f(x)=2(x-1),为增函数,又f(a)=f(a+1),∴=2(a+1-1),∴a=.∴f=f(4)=6.6.(2020浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是 ( )A.[2,+∞) B. C. D.答案 A 令t=2x(t>0),则at2+at+3a-6≥0对t>0恒成立,所以a≥,又<=2,所以a≥2.故选A.7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]答案 D ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.8.(2020山东百师联盟测试五,11)常数a≠0,下列有关方程x3+x2-x-a=0的根的说法正确的是( )A.可以有三个负根B.可以有两个负根和一个正根C.可以有两个正根和一个负根D.可以有三个正根答案 BC 方程x3+x2-x-a=0可化为x3+x2-x=a.令函数f(x)=x3+x2-x,则f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1).当x<-1或x>时,f'(x)>0,当-1<x<时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,-1),上为单调增函数,在上为单调减函数,且f(-1)>0,f<0,作出f(x)的图象如图,从而方程x3+x2-x-a=0可以有两个正根和一个负根,也可以有两个负根和一个正根,但不会有三个负根,也不会有三个正根.故选BC.9.(多选题)(2020山东枣庄、滕州期末)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km,从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度为5km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设u=+x,v=-x,则( )A.函数v=f(u)为减函数
B.15t-u-4v=32C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h答案 AC A.∵u=+x,v=-x,∴=,x=,uv=4,易知v=在(0,+∞)上是减函数,A正确.B.t=+=+-,整理得15t=u+4v+36,B错误;C.由A、B得15t=u++36≥2+36=44,当且仅当u=,即u=4时取等号,由+x=4,解得x==1.5,C正确;D.x=4时,t=+,t-3=-==>0,t>3,D错误.故选AC.10.(2020山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数答案 ABC 本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.∵f(x+1)为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),∴f(-x)=-f(x+2),又∵f(x+2)为奇函数,∴f(-x+2)=-f(x+2),∴f(-x)=-f(x+4),∴-f(x+2)=-f(x+4),∴f(x+2)=f(x+4),即f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的奇函数,∴f(x+4)是奇函数.由于f(x)的周期为2,且f(x+1)是奇函数,
∴f(x+3)=f(x+1)是奇函数,故A,B,C均正确.11.(多选题)(2020海南调研测试,12)已知函数f(x)=x+sinx-xcosx的定义域为[-2π,2π),则( )A.f(x)为奇函数 B.f(x)在[0,π)上单调递增C.f(x)恰有4个极大值点 D.f(x)有且仅有4个极值点答案 BD 因为f(x)的定义域为[-2π,2π),所以f(x)是非奇非偶函数.f'(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)=1+xsinx,当x∈[0,π)时,f'(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增,显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sinx=-,分别作出y=sinx,y=-在区间[-2π,2π)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点,故选BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2020浙江“七彩阳光”联盟4月模考,11)集合A={x|-1≤x≤2},B={x|1<x<4},则A∩B= ;A∩(∁RB)= . 答案 (1,2];[-1,1]解析 本题考查集合的基本运算.A=[-1,2],B=(1,4),所以A∩B=(1,2],∁RB=(-∞,1]∪[4,+∞),所以A∩(∁RB)=[-1,1].13.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为 . 答案 4
解析 ++=+=+≥2=4,当且仅当=,即(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号.又∵ab=1,∴或时取等号,∴++的最小值为4.14.(2020浙江嘉兴二模,16)已知函数f(x)=若f(f(a))≤0,则实数a的取值范围为 . 答案 [-log23,0]∪解析 本题考查分段函数和不等式的求解,属于基础题.令f(x)≤0,即或解得0<x≤1或-1≤x≤0,所以f(f(a))≤0等价于0<f(a)≤1或-1≤f(a)≤0,所以或或或解得-log23≤a≤0或≤a≤e.15.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 答案 -3解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值.∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.当0<x<时,f'(x)<0,f(x)为减函数;当x>时,f'(x)>0,f(x)为增函数,∴x>0时,f(x)有极小值,为f=-+1.
∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x(x-1).x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)+-f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(10分)(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f(x)=log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.解析 (1)因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,求得a=0.(2分)当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.(4分)(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数,所以+a>0恒成立.即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),(6分)故只要a≥0即可.(7分)(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.(8分)
由题设得log2(1+a)-log2≥2⇒(11分)故-<a≤-.(12分)17.(12分)已知函数f(x)=(x-)·e-x.(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间上的取值范围.解析 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力.(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)=e-x-(x-)e-x=.(2)由f'(x)==0,解得x=1或x=.因为x1f'(x)-0+0-f(x)↘0↗↘又f(x)=(-1)2e-x≥0,
所以f(x)在区间上的取值范围是.18.(12分)(2019山西晋中模拟,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,a∈R.(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a);(2)若关于x的方程f(2x)=(a+1)·4x-a·(2x+1)-2x+1+3有正实数根,求实数a的取值范围.解析 (1)当a=0时,f(x)=-2x+1在[0,2]上单调递减,故最小值g(a)=f(2)=-3.当a≠0时,f(x)=ax2-2x+1-a是关于x的二次函数,其图象的对称轴为x=.①当a<0时,x=<0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故最小值g(a)=f(2)=3a-3;②当a>0时,x=>0,当∈(0,2),即a>时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,故最小值g(a)=f=1-a-;当∈[2,+∞),即0<a≤时,f(x)在[0,2]上单调递减,故最小值g(a)=f(2)=3a-3.综上所述,g(a)=(2)f(2x)=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3即a·4x-2x+1+1-a=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3,化简得4x-a·2x+2=0,令t=2x(t>0),则方程变形为t2-at+2=0,根据题意得,原方程4x-a·2x+2=0有正实数根,即关于t的一元二次方程t2-at+2=0有大于1的实数根,而方程t2-at+2=0⇔+t=a在(1,+∞)上有实根,
令F(t)=+t,t∈(1,+∞),则F(t)在(1,+∞)上的值域为[2,+∞),故a∈[2,+∞).19.(12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.解析 本题考查导数及其应用的基础知识,考查导数与函数单调性之间的关系以及利用导数求函数最值的方法,考查学生的运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想的应用.(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=.若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减;若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在单调递减,在单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f=-+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
于是m=-+2,M=所以M-m=当0<a<2时,可知2-a+单调递减,所以M-m的取值范围是.当2≤a<3时,单调递增,所以M-m的取值范围是.综上,M-m的取值范围是.20.(12分)(2019苏州期中,18)已知f(x)=ex-是奇函数.(1)求实数a的值;(2)求函数y=e2x+e-2x-2λf(x)在x∈[0,+∞)上的值域;(3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x3+1)+g(1-3x2)<0的解集.解析 (1)函数的定义域为R,因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以1-a=0,所以a=1.(3分)当a=1时,f(-x)=e-x-=-ex+=-f(x),此时f(x)为奇函数.(4分)(2)令ex-=t(t≥0),所以e2x+=t2+2,所以h(t)=t2-2λt+2,对称轴为直线t=λ.(5分)①当λ≤0时,h(t)∈[h(0),+∞),所求值域为[2,+∞);(7分)②当λ>0时,h(t)∈[h(λ),+∞),所求值域为[2-λ2,+∞).(9分)(3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=ex-为奇函数,
所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x),所以g(x)=f(x)-2x为奇函数,所以g(x3+1)+g(1-3x2)<0等价于g(x3+1)<g(3x2-1).(10分)又g'(x)=f'(x)-2=ex+-2≥2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增,所以x3+1<3x2-1,即x3-3x2+2<0,(13分)即(x-1)(x2-2x-2)<0,所以x<1-或1<x<1+.(14分)所以不等式的解集是(-∞,1-)∪(1,1+).(15分)21.(12分)(2020北京房山一模,20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若a>0,设函数g(x)=|f(x)|,g(x)在[-1,1]上的最大值不小于3,求a的取值范围.解析 本题考查导数的几何意义、导数的应用、导数与函数的单调性,考查学生解决问题的能力,渗透逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)f'(x)=6x2-2ax,由f'(0)=0,f(0)=2,得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2.(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),令f'(x)=0,解得x1=0,x2=,若a=0,则f'(x)=6x2≥0,f(x)在R上单调递增;若a>0,当x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>时,f'(x)>0,f(x)
单调递增;若a<0,当x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(3)若a>0,函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为(-∞,0),.当≥1,即a≥3时,f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,则g(x)max=max{|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|}=max{a,2,|4-a|}≥3,则a≥3;当0<<1,即0<a<3时,f(x)在[-1,0]和上单调递增,在上单调递减,∴f(x)在x=处取得极小值,极小值为f=2->0,则g(x)max=max{|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|}=max{a,2,4-a},若g(x)max≥3,则4-a≥3,解得a≤1,又0<a<3,∴0<a≤1.综上,a的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).
