题型专项练4 解答题组合练(A)1.(2021·广东茂名高三二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos(A+2B)+2sin(A+B)sinB=,且△ABC外接圆的半径为1, . ①b+c=3,②sinC=2sinB,③角B的平分线交AC于点D,且CD∶AD=∶2.请在这三个条件中任选一个,补充在上面问题的横线中,求角A和△ABC的面积.2.(2021·河北秦皇岛高三二模)已知等比数列{an},其前n项和为Sn,若a1=λ,an+1=λSn+2,λ∈R,n∈N*.(1)求λ的值;(2)设bn=,求使b1+b2+…+bn>成立的正整数n的最小值.3.(2021·湖南怀化一模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为B1B的中点,F为C1D的中点,AC=AB=BC=C1C=2.(1)若M为AB的中点,求证:FM∥平面A1ACC1;(2)求二面角F-A1C1-B1的余弦值.
4.(2021·辽宁大连二模)我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级,为了更好地对比技术升级前和升级后的效果,其中甲生产线继续使用技术升级前的生产模式,乙生产线采用技术升级后的生产模式,质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品,在抽取的400件产品中,根据检测结果将它们分为“A”“B”“C”三个等级,A,B等级都是合格品,C等级是次品,统计结果如表所示:(表一)等级ABC频数20015050(表二)生产线检测结果总计合格品次品甲160乙10总计在相关政策扶持下,确保每件该医疗用品的合格品都有对口销售渠道,但按照国家对该医疗用品产品质量的要求,所有的次品必须由厂家自行销毁.(1)请根据所提供的数据,完成上面的2×2列联表(表二),能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品的合格率与技术升级有关?(2)在抽检的所有次品中,按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样,抽取10件该医疗用品,然后从这10件中随机抽取5件,记其中属于甲生产线生产的有X件,求X的分布列和均值.(3)每件该医疗用品的生产成本为20元,A,B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.已知甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级,用样本的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元,则A等级产品的出厂单价最高为多少元?附:K2=,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.8285.(2021·河北沧州高三二模)已知函数f(x)=mex(x+1)-x2-4x-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥-2时,f(x)≥0恒成立,求m的取值范围.6.(2021·广东珠海高三二模)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的离心率为,且ab=2.(1)求椭圆C1的方程;(2)已知点B,A为椭圆C1的左、右顶点,点P为椭圆C1上不同于A,B的任一点,在抛物线C2:y2=2px(p>0)上存在两点Q,R,使得四边形AQPR为平行四边形,求p的最小值.
题型专项练4 解答题组合练(A)1.解因为cos(A+2B)+2sin(A+B)sinB=,所以cos(A+B)cosB-sin(A+B)sinB+2sin(A+B)sinB=又因为cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,上式整理,得-cosCcosB+sinCsinB=,即-cos(B+C)=,即cosA=,又A∈(0,π),所以A=由正弦定理得=2,所以a=①b+c=3,等号两边平方,得b2+c2+2bc=9,由余弦定理,得cosA=,即b2+c2-3=bc,两式联立,解得bc=2,所以S△ABC=bcsinA=2②sinC=2sinB,由正弦定理,得c=2b,由余弦定理,得cosA=,即b2+c2-3=bc,联立解得所以S△ABC=bcsinA=1×2③角B的平分线交AC于点D,且CD∶AD=2,在△BCD中,由正弦定理得,在△BAD中,由正弦定理得,因为sin∠BDC=sin∠BDA,又因为BD是角B的角平分线,所以sin∠CBD=sin∠ABD,所以又a=,所以c=2,所以sinC==1,所以C=,所以B=,所以S△ABC=acsinB=22.解(1)由an+1=λSn+2,an=λSn-1+2(n≥2),两式相减得an+1-an=λan,所以an+1=(λ+1)an(n≥2),即=λ+1(n≥2),因为{an}是等比数列且a1=λ,a2=λ2+2,所以,即λ+1=,解得λ=2.(2)由(1)知,{an}是以a1=2为首项,3为公比的等比数列,所以an=2·3n-1,所以bn=,所以b1+b2+…+bn=++…+==1-,得3n>1011,n≥7,所以满足题意的正整数n的最小值为7.3.
(1)证明如图,取AA1的中点N,连接C1N,ND,取C1N的中点E,连接EF,AE.∵AN∥BD,AN=BD,∴四边形ANDB为平行四边形,∴AB∥ND,AB=ND.∵E,F分别为C1N,C1D的中点,∴EF????ND.又AM????ND,∴AM????EF,∴四边形MAEF为平行四边形,∴MF∥AE.又MF⊄平面A1ACC1,AE⊂平面A1ACC1,∴FM∥平面A1ACC1.(2)解如图,建立空间直角坐标系,则C1(,1,0),F,=(,1,0),设平面FA1C1的法向量为n=(x,y,z),则nx+y=0,nx+y+z=0,取x=,则y=-3,z=3,∴n=(,-3,3)为平面FA1C1的一个法向量.由题意可知m=(0,0,1)为平面A1B1C1的一个法向量.设二面角F-A1C1-B1的平面角为θ,由图可知θ为锐角,∴cosθ=4.解(1)根据所提供的数据,可得2×2列联表如下.生产线检测结果总计合格品次品甲16040200乙19010200总计35050400K2的观测值k=20.571>10.828,则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品的合格率与技术升级有关.(2)由于抽检的所有次品中,甲、乙生产线生产的次品数的比为4∶1,故抽取的10件中有8件是甲生产线生产的,2件是乙生产线生产的,所以X的所有可能取值为3,4,5,所以P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以X的分布列为X345P所以E(X)=3+4+5=4.(3)甲生产线抽检的产品中有70件A等级,90件B等级,40件C等级,
乙生产线抽检的产品中有130件A等级,60件B等级,10件C等级.用样本的频率估计概率,则技术升级前,单件产品的利润(单位:元)为m+40-20=m-2,技术升级后,单件产品的利润(单位:元)为m+40-20=m-8.由m-8-9,解得m≤50.故A等级产品的出厂单价最高为50元.5.解(1)f'(x)=mex(x+2)-2x-4=(x+2)(mex-2).若m≤0,则mex-2<0.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0;当x∈(-2,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减;若m>0,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=ln当0<m<2e2时,x2>x1,则f(x)在(-∞,-2)和ln,+∞上单调递增,在-2,ln上单调递减;当m=2e2时,x2=x1,则f(x)在R上单调递增;当m>2e2时,x2<x1,则f(x)在-∞,ln和(-2,+∞)上单调递增,在ln,-2上单调递减.(2)由题可得f(0)≥0,则m≥2.由(1)可知,①若2≤m<2e2,则f(x)在[-2,+∞)的最小值为f(x2),x2=ln(-2,0],所以f(x2)=2x2+2--4x2-2=-x2(x2+2)≥0,所以当x≥-2时,f(x)≥0恒成立;②若m=2e2,则f(x)在[-2,+∞)上单调递增,f(-2)=0,所以当x≥-2时,f(x)≥0恒成立;③若m>2e2,则f(x)在[-2,+∞)上单调递增,f(-2)=-me-2+2=-e-2(m-2e2)<0,所以当x≥-2时,f(x)≥0不可能恒成立.综上所述,m的取值范围为[2,2e2].6.解(1)由题意,得解得∴C1:+y2=1.(2)由(1)知A(2,0),设Q(x1,y1),R(x2,y2),P(x3,y3),如图,连接AP,QR,交于点D(x0,y0),∵四边形AQPR为平行四边形,∴D为AP,QR的中点且QR与x轴既不垂直也不平行,设QR:y=kx+m(k≠0),QR与C2联立消y得k2x2+2(km-p)x+m2=0,(*)则x1,x2是(*)的两个根,且Δ=4(km-p)2-4k2m2>0,即-2km+p>0,①∴x0==-,y0=kx0+m=,又x0=,y0=,
∴x3=2x0-2=--2,y3=2y0=∴P--2,.∵点P在曲线C1上,代入可得+2=1,即+12+2=1.令其中θ≠kπ,k∈Z,由②得k=,代入③,得km=p-,代入①得-2km+p=-2p++p>0,解得p>,∵sinθ≠0,∴cosθ<1,,∴p∴p的最小值为
