题型专项练5 解答题组合练(B)1.(2021·广东揭阳一模)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,满足6Sn=an·an+1+2(n∈N*),a1<2,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nlg(an·an+1),记数列{bn}的前n项和为Tn,求T33.2.(2021·广东汕头高三三模)在①(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC,②2c=2acosB+b,③bcosC+ccosB-2acosA=0这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,并作答.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 . (1)求角A的大小;(2)若△ABC是锐角三角形,且b=2,求c的取值范围.3.(2021·河北唐山高三三模)在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=1,AD=,CD=2,PD⊥BC,AC⊥PB.(1)证明:PD⊥平面ABCD;(2)若二面角D-PB-C的余弦值为,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
4.(2021·广东湛江二模)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学,现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元,每日销售的前5件每件奖励20元,超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查,统计了100名销售员1天的销售记录,其柱状图如图1;“送外卖员”没有底薪,收入与送的单数相关,在一日内:1至20单(含20单)每送一单3元,超过20单且不超过40单的部分每送一单4元,超过40单的部分,每送一单4.5元.小明通过随机调查,统计了100名送外卖员的日送单数,并绘制成如下频率分布直方图(如图2).图1图2(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位:元)与销售件数x1的函数关系式,“送外卖员”的日薪y2(单位:元)与所送单数x2的函数关系式;(2)若将频率视为概率,根据统计图,试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的数学期望,分析选择哪种工作比较合适,并说明你的理由.
5.(2021·广东茂名高三二模)已知点N为圆C1:(x+1)2+y2=16上一动点,圆心C1关于y轴的对称点为C2,点M,P分别是线段C1N,C2N上的点,且=0,=2.(1)求点M的轨迹方程;(2)过点A(-2,0)且斜率为k(k>0)的直线与点M的轨迹交于A,G两点,点H在点M的轨迹上,GA⊥HA,2|AG|=|AH|,证明:<k<2.6.(2021·山东烟台一模)已知函数f(x)=a(x2-x)-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,.
题型专项练5 解答题组合练(B)1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则由6Sn=an·an+1+2,得6Sn-1=an-1·an+2(n≥2),相减得6(Sn-Sn-1)=an(an+1-an-1),即6an=an·2d(n≥2).又an>0,所以d=3.由6S1=a1·a2+2,得6a1=a1·(a1+3)+2,解得a1=1(a1=2舍去),由an=a1+(n-1)d,得an=3n-2.(2)bn=(-1)nlg(an·an+1)=(-1)n(lgan+lgan+1),T33=b1+b2+b3+…+b33=-lga1-lga2+lga2+lga3-lga3-lga4+…-lga33-lga34=-lga1-lga34=-lg100=-2.2.解(1)选条件①,因为(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC,所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,根据正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=,因为A是△ABC的内角,所以A=选条件②,因为c=acosB+b,由余弦定理得c=ab,整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=,因为A是△ABC的内角,所以A=选条件③,因为bcosC+ccosB-2acosA=0,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB-2sinAcosA=0,即sin(B+C)=2sinAcosA,即sinA=2sinAcosA,因为0<A<π,所以sinA≠0,所以cosA=,所以A=(2)因为A=,△ABC为锐角三角形,所以解得<B<在△ABC中,,所以c=+1.由<B<可得,tanB>,所以0<,所以1<c<4.故c的取值范围为(1,4).3.(1)证明由题意tan∠ADB=,tan∠ACD=,得∠ADB=∠ACD,所以∠DAC+∠ADB=∠DAC+∠ACD=,所以AC⊥BD.又AC⊥PB,PB∩BD=B,所以AC⊥平面PBD,又PD⊂平面PBD,所以AC⊥PD.又PD⊥BC,AC∩BC=C,所以PD⊥平面ABCD.
(2)解如图所示,以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz,设DP=h,h>0则D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),P(0,0,h),=(0,2,-h),=(-,1,0),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),取y=h,则x=h,z=2,所以n=(h,h,2),而平面PBD的一个法向量为=(-,2,0),则|cos<n,>|=,解得h==(,1,-),易知AD⊥平面PCD,所以=(,0,0)是平面PCD的一个法向量,设直线PB与平面PCD所成的角为θ,则sinθ=|cos<>|=,故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为4.解(1)“销售员”的日薪y1(单位:元)与销售件数x1的函数关系式为y1=“送外卖员”的日薪y2(单位:元)与所送单数x2的函数关系式为y2=(2)由柱状图知,日平均销售量满足如下表格:销售量/件34567频率0.050.20.250.40.1所以X1的分布列为X1110130150180210P0.050.20.250.40.1所以E(X1)=110×0.05+130×0.2+150×0.25+180×0.4+210×0.1=162(元).由频率分布直方图可知,日送单数满足如下表格:单数/单1030507090频率0.050.250.450.20.05所以X2的分布列如下表:X230100185275365P0.050.250.450.20.05所以E(X2)=30×0.05+100×0.25+182×0.45+275×0.2+365×0.05=183(元).由以上计算得E(X2)>E(X1),做“送外卖员”挣的更多,故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.5.(1)解=2,∴P是C2N的中点,=0,∴MP⊥C2N,
∴点M在C2N的垂直平分线上,∴|MN|=|MC2|,∵|MN|+|MC1|=|MC2|+|MC1|=4>2,∴点M在以C1,C2为交点的椭圆上,且a=2,c=1,则b=,故点M的轨迹方程为=1.(2)证明可得直线AG的方程为y=k(x+2)(k>0),与椭圆方程联立可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,设G(x1,y1),则x1·(-2)=,可得x1=,则|AG|=|x1+2|=由题可得,直线AH的方程为y=-(x+2),故同理可得|AH|=,由2|AG|=|AH|可得,即4k3-6k2+3k-8=0,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,t>0,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,则f(t)在(0,+∞)上单调递增,又f()=11-20<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一零点,且零点k在(,2)内,即<k<2.6.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a(2x-1)-令g(x)=2ax2-ax-1.①当a=0时,g(x)=-1<0,f'(x)=<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;②当a≠0时,g(x)为二次函数,Δ=a2+8a.若Δ≤0,即-8≤a<0,则g(x)的图象为开口向下的抛物线且g(x)≤0,所以f'(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)单调递减;若Δ>0,即a<-8或a>0.令g(x)=0,得x1=,x2=当a<-8时,g(x)图象为开口向下的抛物线,0<x2<x1,所以当x∈(0,x2)或x∈(x1,+∞)时,g(x)<0,所以f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,x1)时,g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增;当a>0时,g(x)图象为开口向上的抛物线,x1<0<x2,所以当x∈(0,x2)时,g(x)≤0,所以f'(x)<0,故f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a<-8时,f(x)在和,+∞上单调递减,在上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增;当-8≤a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)证明由(1)知,当a=1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此对任意x>1恒有f(x)>f(1),即x2-x>lnx.因为0<lnx<x2-x,若2ex-1≥x2+1成立,则成立.令φ(x)=ex-1-(x2+1)(x≥1),则φ'(x)=ex-1-x,φ″(x)=ex-1-1.因为x≥1,所以φ″(x)≥0,所以φ'(x)在[1,+∞)上单调递增,又φ'(1)=0,所以当x≥1时,φ'(x)≥0,所以φ(x)在[1,+∞)上单调递增,又φ(1)=0,所以对任意x>1恒有φ(x)>φ(1)=0,即2ex-1≥x2+1.当x>1时,0<lnx<x2-x,则>0.
由不等式的基本性质可得因此,原不等式成立.
