题型专项练6 解答题组合练(C)1.(2021·湖南株洲高三二模)如图所示,在四边形ABCD中,tan∠BAD=-3,tan∠BAC=.(1)求∠DAC的大小;(2)若DC=2,求△ADC周长的最大值.2.(2021·广东佛山二模)已知数列{an},{bn}满足an-bn=2n.(1)若{an}是等差数列,b2=1,b4=-7,求数列{bn}的前n项和Sn;(2)若{bn}是各项均为正数的等比数列,判断{an}是否为等比数列,并说明理由.3.(2021·湖南武冈一模)某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况,从两个方面进行了调查统计,一是产品的质量参数x,二是产品的使用时间t(单位:千小时).经统计分析,质量参数x服从正态分布N(0.8,0.0152),使用时间t与质量参数x之间有如下关系:质量参数x0.650.700.750.800.850.900.95使用时间t2.602.813.053.103.253.353.54(1)该地监管部门对该公司的该产品进行检查,要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品.现抽取20件该产品进行校验,求合格产品的件数的数学期望;(2)该公司研究人员根据最小二乘法求得回归方程为t=2.92x+0.76,请用相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合.附:参考数据:=0.8,=3.1,=4.55,=67.88,≈0.339.若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545;参考公式:相关系数r=;回归方程为x+,其中.,4.(2021·湖南衡阳八中高三模拟)如图1是由正方形ABCD,等边三角形ABE和等边三角形BCF组成的一个平面图形,其中AB=6,将其沿AB,BC,AC折起得三棱锥P-ABC,如图2.(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M,且三棱锥P-ACM和B-ACM的体积比为1∶2,求平面AMC与平面PBC所成锐二面角的余弦值.5.(2021·湖北武汉二模)设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线E于A,B两点.当l与x轴垂直时,△AOB面积为8,其中O为坐标原点.(1)求抛物线E的标准方程;(2)若l的斜率存在且为k1,点P(3,0),直线AP与E的另一交点为C,直线BP与E的另一交点为D,设直线CD的斜率为k2,证明:为定值.,6.(2021·江苏扬州二模)已知函数f(x)=lnx-ax.(1)若f(x)存在极值,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,判断函数g(x)=f(x)+2sinx的零点个数,并证明你的结论.题型专项练6 解答题组合练(C)1.解(1)因为∠DAC=∠BAD-∠BAC,且tan∠BAD=-3,tan∠BAC=,所以tan∠DAC=tan(∠BAD-∠BAC)==,因为∠DAC∈(0,π),所以∠DAC=(2)由正弦定理得,所以AD=sin∠ACD,AC=sin∠ADC,所以△ADC的周长为2+AD+AC=2+(sin∠ACD+sin∠ADC)=2+sin∠ACD+sin-∠ACD=2+sin∠ACD+cos∠ACD=2+4sin∠ACD+,因为0<∠ACD<,所以<∠ACD+,所以<sin∠acd+≤1,所以△adc的周长的最大值为2+4×1=6.,2.解(1)由an-bn=2n,b2=1,b4=-7,得a2=b2+22=5,a4=b4+24=9.又{an}是等差数列,设其公差为d,则d==2,所以an=a2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+1,所以bn=an-2n=2n+1-2n,所以sn=b1+b2+b3+…+bn=[3+5+…+(2n+1)]-(2+22+…+2n)==n2+2n+2-2n+1.(2)由{bn}是各项均为正数的等比数列,设其公比为q,则bn=b1qn-1(q>0),由an-bn=2n,则an=bn+2n=2n+b1qn-1,若{an}是等比数列,则=a1a3成立,即=(b1+2)·(b3+8),即+8b2+16=b1b3+8b1+2b3+16,即4b2=4b1+b3,所以4b1q=4b1+b1q2,解得q=2.当q=2时,an=2n+b1·2n-1=(b1+2)·2n-1,因为b1>0,所以=2为常数,故{an}是等比数列;当q≠2时,由上述过程可知a1a3,故{an}不是等比数列.3.解(1)一件产品的质量参数在0.785以上的概率P=1-=0.84135.设抽取的20件该产品中合格产品的件数为ξ,则ξ~B(20,0.84135),则E(ξ)=20×0.84135=16.827.(2)-2xi+n-2n+n-n同理,-n,,(xi-)(ti-)=(xi-)2.∴r==2.92=2.922.922.92×0.339≈0.99,所以使用时间t与质量参数x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型拟合.4.(1)证明如图,取AC的中点为O,连接BO,PO.∵PA=PC,∴PO⊥AC,∵PA=PC=6,∠APC=90°,∴PO=AC=3,同理BO=3,又PB=BE=6,∴PO2+OB2=PB2,∴PO⊥OB,又AC∩OB=O,∴PO⊥平面ABC,又PO⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.(2)解如图建立空间直角坐标系O-xyz,则A(3,0,0),C(-3,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),=(6,0,0),=(3,3,0),=(3,0,3),∵三棱锥P-ACM和B-ACM的体积比为1∶2,∴PM∶BM=1∶2,∴M(0,,2),=(-3,2),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,-1,-1),设平面AMC的法向量为m=(x',y',z'),则,令y'=2,得m=(0,2,-1),∴所求锐二面角的余弦值为|cos<m,n>|=5.(1)解由题意,不妨设A,BAB=2p,2p=8.解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).则直线l的斜率为k1=,直线AB为y-y1=(x-x1),则(y1+y2)y-y1y2=8x.又点F(2,0)在直线上,则-y1y2=16.同理,直线BD为(y2+y4)y-y2y4=8x.点P(3,0)在直线BD上,则-y2y4=24.同理,直线AC为(y1+y3)y-y1y3=8x.点P(3,0)在直线AC上,则-y1y3=24.又k1=,k2=,则,故为定值.6.解(1)f'(x)=-a(x>0),当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数,不可能有极值,舍去;当a>0时,令f'(x)=0,解得x=当0<x<时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数;当x>时,f'(x)<0,f(x)为单调递增函数;所以f(x)在x=取得极大值,符合题意.综上,实数a的取值范围为(0,+∞).(2)当a=1时,g(x)=lnx-x+2sinx(x>0),g'(x)=-1+2cosx,g″(x)=--2sinx.①当x∈(0,π]时,g″(x)<0,g'(x)单调递减,注意到g'(1)=2cos1>0,g'(π)=-3<0,所以存在唯一的x0∈(1,π),使g'(x0)=0,且当0<x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x0<x≤π时,g'(x)<0,g(x)单调递减,注意到g=-3-+2sin<0,g(1)=-1+2sin1>0,g(π)=lnπ-π<0,所以g(x)在和(1,π)上各有一个零点.②当x∈(π,2π]时,g(x)≤lnx-x</x≤π时,g'(x)<0,g(x)单调递减,注意到g=-3-+2sin<0,g(1)=-1+2sin1></x<x0时,g'(x)></x<时,f'(x)></m,n></sin∠acd+≤1,所以△adc的周长的最大值为2+4×1=6.,2.解(1)由an-bn=2n,b2=1,b4=-7,得a2=b2+22=5,a4=b4+24=9.又{an}是等差数列,设其公差为d,则d==2,所以an=a2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+1,所以bn=an-2n=2n+1-2n,所以sn=b1+b2+b3+…+bn=[3+5+…+(2n+1)]-(2+22+…+2n)==n2+2n+2-2n+1.(2)由{bn}是各项均为正数的等比数列,设其公比为q,则bn=b1qn-1(q>
