考前强化练5 解答题组合练(A)1.已知数列{an}是等差数列,且a1,a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)在(1)中,设bn=,求证:当c=-时,数列{bn}是等差数列.2.(2022河南洛阳三模,文17)设正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.8\n3.(2022河北唐山三模,文19)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BAC=∠PAD=∠PCD=90°.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)若AB=AC=2,PA=4,E为棱PB上的点,若PD∥平面ACE,求点P到平面ACE的距离.4.(2022山东潍坊一模,文18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=4,AB=BC=2,AC=2,点M是棱AA1上不同于A,A1的动点.(1)证明:BC⊥B1M;(2)若∠CMB1=90°,判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比.8\n5.(2022河北唐山三模,文20)已知点A,B分别是x轴,y轴上的动点,且|AB|=3,点P满足=2,点P的轨迹为曲线Γ,O为坐标原点.(1)求Γ的方程;(2)设点P在第一象限,直线AB与Γ的另一个交点为Q,当△POB的面积最大时,求|PQ|.8\n6.已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.参考答案考前强化练5 解答题组合练(A)1.(1)解解方程x2-6x+5=0得其两根分别为1和5,∵a1,a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根,∴a1=1,a2=5,∴等差数列{an}的公差为4,∴Sn=n·1+×4=2n2-n.(2)证明当c=-时,bn==2n,∴bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,∴{bn}是以2为首项,公差为2的等差数列.2.解(1)①当n=1时,由2=a1+1,得a1=1.8\n②当n≥2时,由已知,得4Sn=(an+1)2,∴4Sn-1=,两式作差,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又因为{an}是正项数列,所以an-an-1=2.∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1.(2)∵bn===,∴Tn=b1+b2+…+bn=1-++…+=1-<.∵数列{Tn}是递增数列,当n=1时Tn最小,T1=,∴Tn∈.3.(1)证明∵底面ABCD是平行四边形,∠BAC=∠PAD=∠PCD=90°,∴CD⊥PC,CD⊥AC,∵AC∩PC=C,∴CD⊥平面PAC,则CD⊥PA,又PA⊥AD,AD∩CD=D,则PA⊥平面ABCD,∵PA⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)解由(1)知PA⊥底面ABCD,∴VP-ABC=S△ABC×PA=×2×2×4=,连接BD交AC于O,连接EO,∵PD∥平面ACE,∴EO∥PD.∵O是BD的中点,∴E是PB的中点,∴VE-ABC=S△ABC×PA=,∴VP-EAC=VP-ABC-VE-ABC=.8\n在Rt△PAB中,AE=PB=,∵AC⊥AB,AC⊥PA,PA∩AB=A,∴AC⊥平面PAB,∴AC⊥AE,∴S△EAC=×2×.设点P到平面ACE的距离为h,则VP-EAC=×h=,∴h=.即点P到平面ACE的距离为.4.(1)证明在△ABC中,∵AB2+BC2=8=AC2,∴∠ABC=90°,∴BC⊥AB,∵BC⊥BB1,BB1∩AB=B,∴BC⊥平面ABB1A1,又B1M⊂平面ABB1A1,∴BC⊥B1M.(2)解当∠CMB1=90°时,设AM=t(0<t<4),∴A1M=4-t,则在Rt△MAC中,CM2=t2+8,同理:B1M2=(4-t)2+4,B1C2=16+4=20,据B1C2=M+MC2,∴t2+8+(4-t)2+4=20,整理,得t2-4t+4=0,∴t=2,故M为AA1的中点.此时平面MB1C把此棱柱分成两个几何体为:四棱锥C-ABB1M和四棱锥B1-A1MCC1.由(1)知四棱锥C-ABB1M的高为BC=2,×2=6,∴×6×2=4.又V柱=2×4=8,∴=8-4=4,故两部分几何体的体积之比为1∶1.5.解(1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),∴=(x,y-y0),=(x0-x,-y),∵=2,∴(x,y-y0)=2(x0-x,-y).∴x=2x0-2x,y-y0=-2y.8\n∴x0=x,y0=3y.∵|AB|=3,∴=9.∴x2+9y2=9.∴+y2=1.(2)当点P在第一象限时,设P的坐标为(m,n),m>0,n>0.则+n2=1,即m2+4n2=4.由(1)知,点B的坐标为(0,3n),则△POB的面积S=·m·3n=·m·2n≤,当且仅当m2=4n2=2,即m=,n=时,取等号,此时△POB的面积取得最大值,此时P的坐标为,B的坐标为0,,则AB的方程为y=-x+,代入+y2=1得5x2-12x+14=0,由xP·xQ=得xQ=,则Q的坐标为,则|PQ|=.6.解(1)由题意可知,抛物线的准线方程为y=-,所以圆心M(0,4)到准线的距离是.(2)设P(x0,),A(x1,),B(x2,),由题意得x0≠0,x0≠±1,x1≠x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-=k(x-x0),8\n即y=kx-kx0+.①则=1,即(-1)k2+2x0(4-)k+(-4)2-1=0.设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1+k2=,k1k2=.将①代入y=x2,得x2-kx+kx0-=0,由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kAB==x1+x2=k1+k2-2x0=-2x0,kMP=.由MP⊥AB,得kAB·kMP=-2x0·=-1,解得,即点P的坐标为±,所以直线l的方程为y=±x+4.8
