组合增分练9 解答题型综合练B1.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列1bn的前n项和.2.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,将△ABD沿BD折到△A'BD的位置,使平面A'BD⊥平面CBD.(1)求证:CD⊥A'B;(2)试在线段A'C上确定一点P,使得三棱锥P-BDC的体积为439.3.某化妆品商店为促进顾客消费,在“三八”妇女节推出了“分段折扣”活动,具体规则如下表:购买商品金额折扣消费不超过200元的部分9折消费超过200元但不超过500元的部分8折消费超过500元但不超过1000元的部分7折消费超过1000元的部分6折例如,某顾客购买了300元的化妆品,她实际只需付:200×0.9+100×0.8=260(元).为了解顾客的消费情况,随机调查了100名顾客,得到如下统计表:购买商品金额(0,200](200,500](500,1000]1000以上人 数10403020(1)写出顾客实际消费金额y与她购买商品金额x之间的函数关系式(只写结果);(2)估算顾客实际消费金额y不超过180的概率;(3)估算顾客实际消费金额y超过420的概率.4\n4.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为12,P为C上动点,且满足F2P=λPQ(λ>0),|PQ|=|PF1|,△QF1F2面积的最大值为4.(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程;(2)直线y=kx+m(m>0)与椭圆C相切且与曲线E交于M,N两点,求|MN|的取值范围.5.设f(x)=13x3+mx2+nx.(1)如果g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;(2)如果m+n<10(m,n∈N*),f(x)的单调递减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)6.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+tcosα,y=tsinα(t为参数,α为直线的倾斜角).以平面直角坐标系O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.圆的极坐标方程为ρ=2cosθ,设直线与圆交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程与α的取值范围;(2)若点P的坐标为(-1,0),求1|PA|+1|PB|的取值范围.7.(1)已知函数f(x)=|2x-3|-2|x|,若关于x的不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求实数a的取值范围;(2)已知正数x,y,z满足2x+y+z=1,求1x+2y+z+3z+3x的最小值.4\n组合增分练9答案1.解(1)设数列{an}的公比为q.由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=19.由条件可知q>0,则q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.故数列{an}的通项公式为an=13n.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-n(n+1)2.故1bn=-2n(n+1)=-21n-1n+1,1b1+1b2+…+1bn=-21-12+12-13+…+1n-1n+1=-2nn+1.所以数列1bn的前n项和为-2nn+1.2.(1)证明在等腰梯形ABCD中,过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F(图略),则AE∥DF,∴EF=AD=2.又在等腰梯形ABCD中,Rt△ABE≌Rt△DCF,且BC=4,∴BE=FC=1,∴cosC=12.在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosC=42+22-2×4×2×12=12,∴BD2+CD2=BC2,∴CD⊥BD.∵平面A'BD⊥平面CBD,平面A'BD∩平面CBD=BD,∴CD⊥平面A'BD,∴CD⊥A'B.(2)解由(1)知VA'-BCD=13·S△BCD·h=13×12×23×2×1=233,设A'P=λA'C,则VP-BCD=λVA'-BCD,即439=λ·233,解得λ=23,∴点P在线段A'C靠近A'的三等分点处.3.解(1)y=0.9x,x≤200,0.8x+20,200<x≤500,0.7x+70,500<x≤1000,0.6x+170,x>1000.(2)令y≤180,解得x≤200,∴顾客实际消费金额y不超过180的概率为10100=0.1.(3)令y>420,解得x>500,∴顾客实际消费金额y超过420的概率为30+20220=0.5.4.解(1)由椭圆定义得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a,所以点Q的轨迹是以F2为圆心,2a为半径的圆.当QF2⊥F1F2时,△QF1F2面积最大,所以12·2c·2a=4,得ac=2.又ca=12,可得a=2,c=1.所以点Q的轨迹E的方程为x2+(y+1)2=16,椭圆C的方程为y24+x23=1.(2)由y=kx+m,y24+x23=1得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0.化简,得3k2-m2+4=0,所以k2=m2-43≥0,又m>0,得m≥2.设圆心F2(0,-1)到直线MN的距离为d,则d=|m+1|1+k2=3(m+1)m-1=3+6m-1.4\n由m≥2,得3<3+6m-1≤9,即3<d2≤9.所以弦长|MN|=216-d2∈[27,213),即|MN|的取值范围为[27,213).5.解(1)由题得g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m-1)2+(n-3)-(m-1)2,已知g(x)在x=-2处取得最小值-5,所以m-1=2,(n-3)-(m-1)2=-5,即m=3,n=2,即得所要求的解析式为f(x)=13x3+3x2+2x.(2)因为f'(x)=x2+2mx+n,且f(x)的单调递减区间的长度为正整数,故f'(x)=0一定有两个不同的根,从而Δ=4m2-4n>0,即m2>n.不妨设为x1,x2,则|x2-x1|=2m2-n为正整数.故m≥2时才可能有符合条件的m,n;当m=2时,只有n=3符合要求;当m=3时,只有n=5符合要求;当m≥4时,没有符合要求的n.综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.6.解(1)∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2-2x=0,得t2-4tcosα+3=0,又直线l与圆C交于A,B两点,∴Δ=16cos2α-12>0,解得cosα>32或cosα<-32.又由α∈[0,π),故α的取值范围为α∈0,π6∪5π6,π.(2)设方程t2-4tcosα+3=0的两个实数根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义可知1|PA|+1|PB|=|t1+t2|t1t2=|4cosα|3.又由32<|cosα|≤1,∴233<|4cosα|3≤43,∴1|PA|+1|PB|的取值范围为233,43.7.解(1)因为f(x)=|2x-3|-|2x|≤|(2x-3)-2x|=3,若关于x的不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,则3≤|a+2|+2a,得a≥13.(2)由柯西不等式得1x+2y+z+3z+3x=121x+2y+z+3z+3x[(x+2y+z)+(z+3x)]≥12(3+1)2=2+3.当且仅当1x+2y+z=3z+3x时取最小值2+3.4
