考前强化练6 解答题组合练(B)1.(2022辽宁抚顺一模,文17)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin2A-asin(A+C)=0.(1)求角A;(2)若c=,△ABC的面积为,求a的值.2.(2022山西太原一模,文17)△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角B;(2)若b=,求△ABC面积的最大值.7\n3.(2022湖北重点高中联考协作体,文18)某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查,得到如下数据:每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合计1087111450(1)在每周使用移动支付超过3次的样本中,按性别用分层抽样随机抽取5名用户.①求抽取的5名用户中男、女用户各多少人;②从这5名用户中随机抽取2名用户,求抽取的2名用户均为男用户的概率.(2)如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“喜欢使用移动支付”与性别有关?附表及公式:K2=P(K2≥k0)0.500.250.100.050.0100.0050.001k00.4551.3232.7063.8416.6357.87910.8284.(2022山西太原一模,文18)某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.7\n现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:售出水量x(单位:箱)76656收入y(单位:元)165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21~50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.(1)若x与y成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率.附:回归方程x+,其中.5.(2022山西吕梁一模,文21)已知函数f(x)=xlnx-a(x-1).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0恒成立,求a的值.7\n6.(2022山东潍坊三模,文21)已知函数f(x)=lnx+x2+ax(a∈R),g(x)=ex+x2.(1)讨论函数f(x)极值点的个数;(2)若对∀x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.参考答案考前强化练6 解答题组合练(B)1.解(1)由bsin2A-asin(A+C)=0,得bsin2A=asinB=bsinA,又0<A<π,所以sinA≠0,得2cosA=1,所以A=.(2)由c=bcsin可得b=2.又在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,即a2=(2)2+()2-2×2cos,得a=3.2.解(1)利用正弦定理,得=1+,即sin(B+C)=cosCsinB+sinCsinB,∴sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB+sinCsinB,∴cosBsinC=sinCsinB,又sinB≠0,∴tanB=1,B=.7\n(2)由(1)得B=,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB,则有2=a2+c2-ac,即有2+ac=a2+c2,又由a2+c2≥2ac,则有2+ac≥2ac,变形可得:ac≤=2+,则S=acsinB=ac≤.即△ABC面积的最大值为.3.解(1)①由图中表格可知,样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人,女用户30人,在这75人中,按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户,其中男用户有3人,女用户有2人.②抽取的3名男用户分别记为A,B,C;女用户分别记为d,e.再从这5名用户中随机抽取2名用户,共包含(A,B),(A,C),(A,d),(A,e),(B,C),(B,d),(B,e),(C,d),(C,e),(d,e)10种等可能的结果,其中既有男用户又有女用户这一事件包含(A,d),(A,e),(B,d),(B,e),(C,d),(C,e),共计6种等可能的结果,由古典概型的计算公式可得P=.(2)由图中表格可得列联表不喜欢移动支付喜欢移动支付合计男104555女153045合计2575100将列联表中的数据代入公式计算得k=≈3.03<3.841,所以,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,不能认为喜欢使用移动支付与性别有关.4.解(1)=6,7\n=146,==20,=146-20×6=26,∴=20+26,当x=9时,=20×9+26=206,即某天售出9箱水的预计收益是206元.(2)设甲获一等奖为事件A1,甲获二等奖为事件A2,乙获一等奖为事件B1,乙获二等奖为事件B2,丙获一等奖为事件C1,丙获二等奖为事件C2,则总事件有:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B1,C2),(A1,B2,C2),(A2,B2,C2),8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有(A2,B2,C2)1种情况,则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率P=.5.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1-a.由f'(x)=0得,x=ea-1,当x∈(0,ea-1)时,f'(x)<0;当x∈(ea-1,+∞)时,f'(x)>0.故函数在(0,ea-1)内是减函数,在(ea-1,+∞)内是增函数.(2)由(1)得f(x)在x=ea-1时有极小值,也就是最小值.所以f(ea-1)≥0.即(a-1)ea-1-a(ea-1-1)≥0,也就是a≥ea-1.设g(x)=x-ex-1,g'(x)=1-ex-1,由g'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)单调递增,g(x)在(1,+∞)单调递减.所以g(x)的最大值为g(x)max=g(1)=0,所以a≤ea-1.又a≥ea-1,所以a=ea-1,即a=1.6.解(1)f'(x)=+x+a=(x>0),令f'(x)=0,即x2+ax+1=0,Δ=a2-4.①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,即f'(x)≥0,此时f(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点.②当a2-4>0时,即a<-2或a>2,若a<-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,7\n由韦达定理故x1>0,x2>0,此时x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x1,x2),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,因此a<-2时,f(x)有两个极值点.若a>2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1<0,x2<0,此时f(x)无极值点.综上:当a<-2时,f(x)有两个极值点,当a≥-2时,f(x)无极值点.(2)f(x)≤g(x)等价于lnx+x2+ax≤ex+x2,即ex-lnx+x2≥ax,因此a≤.设h(x)=,h'(x)==,当x∈(0,1)时,ex(x-1)+lnx+x2-1<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,ex(x-1)+lnx+x2-1>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增.因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)≥h(1)=e+1,故a≤e+1.7
