专题突破练2 函数的图象与性质一、单项选择题1.(2021·北京通州一模)下列函数中,是偶函数且值域为[0,+∞)的是( ) A.f(x)=x2-1B.f(x)=C.f(x)=log2xD.f(x)=|x|2.(2021·云南昆明月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)=其中a∈R.若f(-5)=f(4.5),则a=( )A.2.5B.3.5C.4.5D.5.53.(2021·福建厦门月考)已知函数f(x)=是奇函数,则方程g(x)=2的根为( )A.-B.-6C.-6,-D.4.(2021·安徽六安一模)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=x-sinxB.f(x)=x+sinxC.f(x)=x-cosxD.f(x)=x+cosx5.(2021·江苏苏州月考)函数f(x)=的图象上关于原点O对称的点有( )对.A.2B.3C.4D.56.(2021·山东青岛一模)已知y=f(x)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,若x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2021)=( )A.-1B.0C.1D.27.(2021·吉林长春模拟)已知函数f(x)=与函数g(x)=-x3+12x+1的图象交点分别为:P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pk(xk,yk)(k∈N*),则(x1+x2+…+xk)+(y1+y2+…+yk)=( )A.-2B.0C.2D.4二、多项选择题8.(2021·重庆八中月考)已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),值域为R,则( )A.函数f(x2+1)的定义域为RB.函数f(x2+1)-1的值域为RC.函数f的定义域和值域都是RD.函数f(f(x))的定义域和值域都是R9.(2021·广东东莞高三模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象关于x=1对称,当x∈
(0,1]时,f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是( )A.f(x)的值域为(0,1]B.f(x)的周期为4C.f(x+1)是偶函数D.f(2021)=110.(2021·山东威海期中)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)图象的对称中心是点(0,1)B.函数f(x)在R上是增函数C.函数f(x)是奇函数D.方程f(2x-1)+f(2x)=2的解为x=三、填空题11.(2021·河北石家庄高三二模)已知函数f(x)=若f(a)=1,则f(a-2)= . 12.(2021·山东枣庄二模)写出一个图象关于直线x=2对称,且在区间[0,2]上单调递增的偶函数f(x)= . 13.(2021·山西临汾一模)已知函数f(x)=ln(+2x)-,若f(log2a)=2,则f(loa)= . 14.(2021·天津一中期中)已知函数f(x)=+x|x|+2,且f(-a)+f(2a-3)>4,则实数a的取值范围是 . 专题突破练2 函数的图象与性质1.D 解析:对于A,f(x)=x2-1为偶函数,但值域为[-1,+∞),故A不符合题意;对于B,f(x)=的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故B不符合题意;对于C,f(x)=log2x的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故C不符合题意;对于D,f(x)=|x|为偶函数,且值域为[0,+∞),故D符合题意.2.C 解析:因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,所以f(-5)=f(-1)=a-2,f(4.5)=f(0.5)=2.5.因为f(-5)=f(4.5),所以a-2=2.5,故a=4.5.3.B 解析:因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即1-loga2=0,解得a=2.所以f(x)=所以方程g(x)=2,即当x<0时,f(x)=g(x)=2,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-g(x)=-2,所以当x<0时,有1-log2(-x+2)=-2,整理得log2(2-x)=3,解得x=-6.综上,方程g(x)=2的根为-6.4.A 解析:由题中图象关于原点对称,可知函数f(x)为奇函数,排除选项C,D,对于选项B中的函数,f'(x)=+cosx,当0<x<,f'(x)>0,故f(x)在区间上单调递增,故选项B不符合.故选A.5.B 解析:依题意,函数图象上关于原点O对称的点的对数,即为g(x)=log4x与h(x)=-cosx图象交点的个数.如图,由于g(π)=log4π<log44=1,h(π)=1,g(3π)=log4(3π)>log44=1,h(3π)=1,故函数f(x)的图象上关于原点O对称的点有3对.6.C 解析:∵f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,
∴f(0)=0且f(-x)=-f(x).∵x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),∴log2(0+a)=0,解得a=1,∴x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1).∵y=f(x+1)为偶函数,∴y=f(x+1)的图象关于y轴对称.∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x),∴f(x)=f(2-x)=-f(x-2),∴f(x+2)=-f(x).∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为4.∴f(2021)=f(1)=log22=1.7.D 解析:由于f(x)=+1,而y=是奇函数,所以函数f(x)=+1的图象关于点(0,1)对称.因为y=-x3+12x是奇函数,所以函数g(x)=-x3+12x+1的图象关于点(0,1)对称.因为f'(x)=<0,所以f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.因为g'(x)=-3(x2-4),所以函数g(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递减,在区间(-2,2)上单调递增.画出函数f(x)和g(x)的大致图象(图略),由图可知,f(x)与g(x)的图象有4个交点,不妨设x1<x2<x3<x4,则点P1与P4,点P2与P3关于点(0,1)对称,所以x1+x4=0,x3+x2=0,y1+y4=2,y3+y2=2,故所求和为4.8.BC 解析:对于选项A,令x2+1>1可得x≠0,所以f(x2+1)的定义域为{x|x≠0},故选项A不正确;对于选项B,因为f(x)值域为R,x2+1≥1,所以f(x2+1)的值域为R,可得f(x2+1)-1的值域为R,故选项B正确;对于选项C,因为=1+>1对x∈R恒成立,所以f的定义域为R,因为>1,所以f的值域为R,故选项C正确;对于选项D,若函数f(f(x))的值域是R,则f(x)>1,此时无法判断其定义域是否为R,故选项D不正确.9.BCD 解析:对于A,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,此时0<f(x)≤1,又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且当x∈[-1,0)时,-1≤f(x)<0,故在区间[-1,1]上,-1≤f(x)≤1,A错误;对于B,函数f(x)图象关于直线x=1对称,则有f(2-x)=f(x),又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x)=-f(2+x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是周期T=4的周期函数,B正确;对于C,f(x)的图象关于x=1对称,则函数f(x+1)的图象关于y轴对称,f(x+1)是偶函数,C正确;对于D,f(x)是周期T=4的周期函数,则f(2021)=f(1+4×505)=f(1)=1,D正确.10.ABD 解析:由于f(x)==1+,对于选项A,设g(x)=,则f(x)=1+g(x),g(-x)==-g(x),所以函数g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点成中心对称,因此f(x)=1+g(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,即点(0,1)是函数f(x)图象的对称中心.故A正确.对于选项B,由f(x)=1+,则f'(x)=>0,所以函数f(x)在R上是增函数,故B正确.对于选项C,f(1)=,f(-1)=-,则f(1)≠-f(-1),所以函数f(x)不是奇函数,故C不正确;对于选项D,由选项A知,f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,所以由方程f(2x-1)+f(2x)=2,得2x-1+2x=0,解得x=,所以D正确,故选ABD.11.- 解析:∵f(x)=f(a)=1,∴当a≤0时,2a-1=1,解得a=1(舍去);当a>0时,-lo(a+1)=1,解得a+1=2,即a=1,
∴f(a-2)=f(-1)=2-1-1=-12.-cosx(答案不唯一) 解析:如f(x)=-cosx,显然f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,由x=kπ,得x=2k,k∈Z.当k=1时,f(x)=-cosx的图象关于直线x=2对称.由x∈[0,2],得x∈[0,π],则由余弦函数的性质可知,函数f(x)=-cosx在区间[0,2]上单调递增.13.-3 解析:根据题意,函数f(x)=ln(+2x)-,则f(-x)=ln(-2x)-=-ln(+2x)-,于是f(x)+f(-x)=-1,所以f(loa)=f(-log2a)=-1-f(log2a)=-1-2=-3.14.(3,+∞) 解析:因为函数f(x)=+x|x|+2=3-+x|x|,所以f(-x)=3--x|x|=3--x|x|,因此f(x)+f(-x)=4,于是f(a)+f(-a)=4,而f(-a)+f(2a-3)>4,即f(-a)+f(2a-3)>f(a)+f(-a),所以f(2a-3)>f(a),由于y=x|x|在R上单调递增,因此f(x)在R上单调递增,所以2a-3>a,解得a>3,即实数a的取值范围为(3,+∞).
