专题4空间几何体及其表面积与体积【基础题】1．（2021·浙江高一期末）斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是：（）A．三角形的直观图一定是三角形B．正方形的直观图一定是菱形C．等腰梯形的直观图可能是平行四边形D．菱形的直观图一定是菱形【答案】A【解析】根据斜二测画法的规则可判断各个选项.【详解】根据斜二测画法知三角形的直观图一定是三角形，A正确；正方形的直观图根据建系的不同，可以为平行四边形，故B错误;根据斜二测画法,等腰梯形的两腰直观图中不可能平行，故C错误；根据斜二测画法，菱形的一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误.故选：A2．（2021·浙江高一期末）如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（）A．B．C．10D．12【答案】A【解析】根据斜二测画法得到为两直角边长分别为4和6的直角三角形，进而可得其周长.【详解】如图，根据斜二测画法得到为直角三角形，两直角边长分别为4和6，所以斜边长为，故的周长为．故选：A．
3．（2021·全国高一专题练习）已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为（）A．12B．16C．D．【答案】D【解析】根据圆柱的侧面积计算公式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为圆柱底面半径为2，母线长为3，所以其侧面积为.故选：D.4．（2021·浙江高一期末）如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是一个底角为且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据水平放置的图形的直观图，利用斜二测画法求解.【详解】因为水平放置的图形的直观图是一个底角为且腰和上底均为1的等腰梯形，如图所示：
其中，由斜二测画法知，原平面图形是一个直角梯形，如图所示：则,所以原平面图形的面积是,故选：C5．（2021·全国高一课时练习）已知球的表面积为，则它的内接正方体的表面积S的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据球的表面积求出球的半径，然后根据正方体内接于球求解出棱长的平方，则正方体表面积可求.【详解】设球的内接正方体的棱长为，球的半径为，因为，所以，因为正方体内接于球，所以，所以，所以，所以正方体的表面积故选：B．结论点睛：已知正方体的棱长为，球的半径为，（1）当球内切于正方体时，；（2）当球外接于正方体时，；（3）当球与正方体的每条棱都相切时，.
6．（2021·全国高一专题练习）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，，故圆锥的底面半径为，故选：C.7.（2021·浙江高一期末）已知某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据轴截面是边长为2的正三角形，可求出底面圆的半径和圆锥的高，再根据圆锥的体积公式求解即可.【详解】因为该圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以该圆锥的高，底面半径，所以该圆锥的体积.故选：C8．（2021·全国高一课时练习）正三棱锥的底面周长为，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】
本题首先可根据题意求出侧棱长均为，然后根据三条侧棱两两垂直即可求出棱锥的体积.【详解】因为正三棱锥的底面周长为，所以正三棱锥的底面边长为，因为侧面都是直角三角形，所以侧棱长均为，因为三条侧棱两两垂直，所以此棱锥的体积，故选：D.9.（2021·全国高一课时练习）一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为____.【答案】4πS【解析】根据底面面积可得底面半径R＝，从而求得周长，在根据侧面积展开图是正方形即可得解.【详解】设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，所以R＝，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S＝c2＝(2πR)2＝4π2·＝4πS.故答案为：4πS10．（2021·全国高一课时练习）如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是________．【答案】【解析】本题可通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积得出结果.
【详解】，.故答案为：.【提升题】1．（2021·浙江高一期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为3的扇形，由此推算三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据圆锥的侧面展开图求得圆锥的高和底面半径，得圆锥体积即得结论．【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，，，体积为．故选：B．2．（2021·浙江高一期末）阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】首先理解题意，直接求解圆柱的体积，即可得圆柱底面的半径，再求圆柱的表面积.【详解】由题意可知，，，设圆柱底面半径为，则，得，则圆柱的表面积.故选：C3.（2021·浙江高一单元测试）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖，三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也四有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示．某园林建筑屋顶为六角攒尖，它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥（底面为正六边形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心）．若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为，则其外接球半径与侧棱长的比值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设底面中心为H，连接，由正棱锥性质知，底面，则，求得
，设正六棱锥外接球半径为R，可求得，在直角中，利用勾股定理求得，即可求得的比值.【详解】如图，设底面中心为H，底面边长为a，连接，，底面为正六边形，由正棱锥性质知，底面又侧棱与高所成的角为，，则，即设正六棱锥外接球球心为O，半径为R，连接,则，，在直角中，，即故选：A4.（2021·浙江高一期末）如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．
【答案】【解析】要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据，，可以求得，、的长，再根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．【详解】解：为直径，．，，又，，，，．，，故答案为：
5.（2021·浙江高一期末）已知三棱锥四个顶点都在球O上，面ABC，，，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是___________．【答案】【解析】设的外心为，则，设球O的半径为，，过作，则可得，从而可求出球O的半径，由题意可知当与截面垂直时，截面面积最小，从而可求出截面的半径，进而可求出其面积【详解】解：如图，在中，由，，得，因为D是BC的中点，所以，设的外心为，则，因为面ABC，，设球O的半径为，设，过作，则,，所以，解得，所以，所以截面面积的最小值为，故答案为：
6．（2021·浙江高一期末）在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【答案】【解析】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，故可求得投影的面积，即为所求解.【详解】由正方体性质可知平面平面，且平面，
故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，又为正三棱锥，故正投影如图即再平面的正投影为，且，，，，，点的轨迹所组成的图形的面积为，故答案为：.
7．（2021·浙江高一期末）司马迁在《史记·高祖本纪》中借刘邦之口赞美张良：“夫运筹策帷帐之中，决胜于千里之外”．帷帐又名帷幄，是古代行军打仗必备的帐篷．下图是一种帷帐的示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊长度相等，一条正脊平行于底面，帷帐主体部分可以看作一个长方体．若该帷帐主体部分长10，宽6，高4，帐顶部分正脊长4，斜脊长，则它的体积为_________．【答案】336【解析】首先计算长方体的体积，再将帐顶部分分割成三部分，分别求体积，最后即得该帷帐的体积.【详解】如图所示，分别垂直于底面，过点分别作宽的平行线，连结，得到如图的几何体，底部长方体的体积是，帐顶部分被分割成3部分，中间一部分是直三棱柱，两边是相同的四棱锥，，则，，所以帐顶部分的体积，总体积故答案为：8.（2021·浙江高一期末）直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且．若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_________．【答案】
【解析】由已知直三棱柱的底面为直角三角形，所以其外接球的球心位于侧面的中心，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．【详解】解：，，，直三棱柱外接球的球心即为侧面的中心，设球半径为，则，，即，直三棱柱的高，直三棱柱的体积，故答案为：．9.（2021·浙江高一期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的外接球的表面积为_______．【答案】．【解析】
证明，可得是外接球的直径，求得长度后可球表面积．【详解】因为平面，平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以的中点到四点距离相等，为四面体外接球球心，又由已知得，，所以外接球表面积为．故答案为：．10.（2020·浙江杭州市·高一期末）已知三棱柱，、分别为棱、的中点，，，三点确定的平面将该三棱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为______.【答案】【解析】作出截面，几何体扩展为三棱锥，利用特殊几何体的体积求解一般性结论，推出结果即可．【详解】延长与的交点为，的延长线交点为，连结交于，连结，可得截面为，易得．不妨设三棱柱是直三棱柱，底面，且设，下部分的体积为：，，，，．棱柱的体积为，下部分的体积为：．上部分几何体的体积为．小部分的体积与大部分的体积之比为：．故答案为：．
