第14讲 空间几何体的表面积与体积本节内容的复习是要求考生能进一步认识和熟悉各种几何体，能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、球)的表面积与体积．1.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为________．答案：π2.已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm3.答案：363.三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．答案：4.有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度是________．答案：解析：(本题考查侧面展开图的应用)如图所示，圆柱的底面周长是2π，将圆柱沿母线展开，则缠绕3圈的最短长度就是边长分别为5cm和6πcm的对角线长A1B.题型一概念辨析例1根据下列对几何体结构特征的描述，在横线上填写出相应的几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形．________________________；(2)一个直角三角形绕着其一条直角边旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形．________________________；(3)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形．________________________；(4)一个直角梯形绕较长的底边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．________________________．答案：(1)正六棱柱 (2)圆锥 (3)圆台 (4)由一个圆锥和一个圆柱组成的组合体题型二几何体的表面积与体积例2在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________．答案：例3如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．-6-\n(1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD，所以PQ⊥平面DCQ.(2)解：设AB＝a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥P－DCQ的体积为V2＝a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.例4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥AMCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.(1)解：点A到面MCC1的距离为AD＝1，故三棱锥A－MCC1的体积V＝S△MCC1×AD＝××CC1×CD×AD＝.(2)证明：将矩形DD1C1C绕DD1按逆时针旋转90°展开，与矩形DD1A1A共面，A1M＋MC≥A1C，当且仅当点M是棱DD1的中点时，A1M＋MC取得最小值，在△MB1A中，MA＝，AB1＝，MB1＝＝，得AB＝MA2＋MB，则MA⊥MB1.同理，MC⊥MB1，MC∩MA＝M，∴B1M⊥平面MAC.点评：本题考查的知识点为棱锥的体积、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推导论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为________．答案：100π1.(2022·全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．答案：解析：如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R，又知△AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2＝OE2-6-\n＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.2.(2022·陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．答案：解析：设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R)2＝()2＋12＋12，解得R＝1，所以该球的体积为V＝πR3＝π.3.(2022·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的侧面积相等，且＝，则＝________．答案：解析：设甲、乙两个圆柱的底面圆半径和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝，又＝＝，所以＝，则＝＝·＝·＝＝.4.(2022·山东卷)三棱锥PABC中，D、E分别为PB、PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则＝________．答案：解析：如图所示，由于D、E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝S△PBC.又因为三棱锥ABDE与三棱锥APBC的高长度相等，所以＝.5.(2022·安徽卷)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比．-6-\n(1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD，所以＝＝＝，即Q为BB1的中点．(2)解：如图所示，连结QA、QD.设AA1＝h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.V三棱锥QA1AD＝×·2a·h·d＝ahd，V四棱锥QABCD＝··d·＝ahd，所以V下＝V三棱锥QA1AD＋V四棱锥QABCD＝ahd.又VA1B1C1D1ABCD＝ahd，所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.6.(2022·江西卷)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.(2)解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连结PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.-6-\n在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.设AB＝m，则OP＝＝，故四棱锥PABCD的体积为V＝×·m·＝.因为m＝＝，所以当m＝，即AB＝时，四棱锥PABCD的体积最大．(本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B、AC1的中点．(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；(3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥F－ABC的体积．(1)证明：连结A1C.∵在直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形，∴点F在A1C上，且为A1C的中点．在△A1BC中，∵E、F分别是A1B、A1C的中点，∴EF∥BC.(2分)∵BC平面ABC，EF平面ABC，∴EF∥平面ABC.(4分)(2)证明：∵在直三棱柱A1B1C1－ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B1B⊥EF.(6分)∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1.(8分)∵EF平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB1A1.(10分)(3)解：VF－ABC＝VA1ABC＝××S△ABC×AA1(12分)＝××a2×2a＝.(14分)1.下列结论正确的是____________．(填序号)①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；-6-\n②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．答案：④2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，则四面体AB1CD1的外接球的体积为__________．答案：π解析：四面体的外接球就是该正方体的外接球．3.有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为____________．答案：2πa2解析：当气球表面积最大时，球与正方体的棱相切．4.已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r(用S△ABC表示△ABC的面积)，则S△ABC＝r(a＋b＋c)；类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VABCD＝____________．答案：R(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)5.如图所示，长方体ABCDA′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥CA′DD′，求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′BCC′B′.设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥CA′DD′的底面面积为S，高为h，因此棱锥CA′DD′的体积VCA′DD′＝×Sh＝Sh.余下的体积是Sh－Sh＝Sh.所以棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.6.如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．(1)若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；(2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；(3)若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体(不要求证明)，并计算它的体积与长方体的体积的比．解：(1)如四面体A1ABC或四面体C1ABC或四面体A1ACD或四面体C1ACD；(2)如四面体B1ABC或四面体D1ACD；(3)如四面体AB1CD1，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则＝.-6-
