专题突破练22 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题1.(2021·河北唐山一模)已知抛物线E:x2=4y,点P(1,-2),斜率为k(k>0)的直线l过点P,与E相交于不同的两点A,B.(1)求k的取值范围;(2)斜率为-k的直线m过点P,与E相交于不同的点C,D,证明:直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形.2.(2021·山东潍坊三模)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(m,2)(m>0)在抛物线C上,且满足|PF|=3.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求△PQG周长的最小值.
3.(2021·广东深圳一模)设O是坐标原点,以F1,F2为焦点的椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点.(1)求C的方程;(2)P是C外的一点,过P的直线l1,l2均与C相切,且l1,l2的斜率之积为m,记u为|PO|的最小值,求u的取值范围.4.(2021·湖南长沙高三考前模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点(m,1)在抛物线C上,该点到原点的距离与到C的准线的距离相等.(1)求抛物线C的方程.(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且与以焦点F为圆心,2为半径的圆交于M,N两点,点B,N在y轴右侧.①证明:当直线l与x轴不平行时,|AM|≠|BN|;②过点A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,l1与l2相交于点D,求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围.5.(2021·河北唐山三模)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C为动点,设△ABC的内切圆分别与边AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,记点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)不过原点O的直线l与曲线E交于M,N,且直线y=-x经过MN的中点T,求△OMN的面积的最大值.
6.(2021·广东汕头高三一模)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,M(,0),已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4.(1)求动点P的轨迹方程.(2)过点M(,0)作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与动点P的轨迹交于点A,B,l2与动点P的轨迹交于点C,D,AB,CD的中点分别为E,F;①证明:直线EF恒过定点,并求出定点坐标;②求四边形ACBD面积的最小值.专题突破练22 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题1.(1)解由题意设l的方程为y+2=k(x-1),与x2=4y联立得,x2-4kx+4k+8=0.由Δ>0得k2-k-2>0,即k<-1或k>2.又k>0,所以k的取值范围是(2,+∞).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由(1)可得x1+x2=4k.由题意设m的方程为y+2=-k(x-1),与x2=4y联立得,x2+4kx-4k+8=0,得x3+x4=-4k.kAC=,同理kBD=,因为kAC+kBD==0,所以直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形.2.解(1)由抛物线定义,得|PF|=2+=3,得p=2,故抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+4,联立消去x,得x2-4kx-16=0,Δ>0,x1+x2=4k,x1x2=-16.设A,B处的切线斜率分别为k1,k2,则k1=,k2=,在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=,①同理,在点B处的切线方程为y=,②由①②得xQ==2k,代入①或②中可得yQ=kx1-=y1-4-y1=-4,故Q(2k,-4),即点Q在定直线y=-4上.设点G关于直线y=-4的对称点为G',则G'(0,-12),由(1)知P(2,2),∵|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|≥|G'P|=2,即P,Q,G'三点共线时等号成立,∴△PQG周长的最小值为|GP|+|G'P|=2+23.解(1)由题意可得2a=2,故a=因为以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点,则b=c,
b2+c2=2b2=a2=2,可得b=c=1,因此椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l1,l2的斜率存在且不为零,设过点P(x0,y0)的切线l:y-y0=k(x-x0),联立消去y可得(2k2+1)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0,由于直线l与椭圆C相切,则Δ=16k2(y0-kx0)2-4(2k2+1)[2(y0-kx0)2-2]=0,化简并整理得(y0-kx0)2=2k2+1.整理成关于k的二次方程得(-2)k2-2x0y0k+-1=0(易知x0≠±),设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,易知k1,k2为关于k的二次方程(-2)k2-2x0y0k+-1=0的两根,所以k1k2==m,=m+1-2m,所以,=(m+1)+1-2m,故|PO|=易知当x0=0时,有u=|PO|min=因为-1≤m≤-,所以u,即u的取值范围是[].4.解(1)由题意可得解得p=4,所以抛物线C的方程为x2=8y.(2)由(1)知,圆F的方程为x2+(y-2)2=4,由已知可设l:y=kx+2,且A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-8kx-16=0,Δ=64k2+64>0恒成立,x1+x2=8k,x1x2=-16.设Q(x0,y0)是抛物线C上任一点,则|QF|=>2,故抛物线与圆相离.①证明:当直线l与x轴不平行时,有k≠0,由抛物线定义知,|AF|=y1+2,|BF|=y2+2.所以||AM|-|BN||=|(|AF|-2)-(|BF|-2)|=||AF|-|BF||=|y1-y2|=|(kx1+2)-(kx2+2)|=|k||x1-x2|=|k|=|k|=8|k|>0,所以|AM|≠|BN|.②由(1)知抛物线方程为y=x2,所以y'=x.所以过点A的切线l1:y-x1(x-x1),即y=x1x-同理可得,过点B的切线l2为y=x2x-由直线l1,l2的方程联立,得x2y-x1y=-x2+x1,解得y=x1x2=-2,又得(x2-x1)x-)=0,所以x==4k,即D(4k,-2).点D(4k,-2)到直线l:y=kx+2的距离d==4,|AM|·|BN|=(|AF|-2)(|BF|-2)=[(y1+2)-2][(y2+2)-2]=y1y2=(x1x2)2=4,从而S△DAM·S△DBN=|AM|d|BN|d=4d2=d2=16(k2+1)≥16.5.解(1)依题意可知,|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线E是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点),因此曲线E的方程为=1(y≠0).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),显然直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m(m≠0),代入=1,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,(*)则x1+x2=-,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=,故MN的中点T的坐标为
而直线y=-x经过MN的中点T,得=-,又m≠0,所以直线l的斜率k=故(*)式可化简为3x2+3mx+m2-3=0,故x1+x2=-m,x1x2=,由Δ=36-3m2>0且m≠0,得-2<m<2且m≠0.又|MN|=|x1-x2|=,而点O到直线l的距离d=,则△OMN的面积S=|m|,当且仅当m=±时,等号成立,此时满足-2<m<2且m≠0,所以△OMN的面积的最大值为6.解(1)设点P(x,y),∵|PM|+|ON|=4,=4>2,∴动点P的轨迹为椭圆(左、右顶点除外),则2a=4,c=,∴b==1,∴动点P的轨迹方程是+y2=1(y≠0).(2)①若l1与x轴重合,则直线l1与动点P的轨迹没有交点,不合乎题意;若l2与x轴重合,则直线l2与动点P的轨迹没有交点,不合乎题意;设直线l1的方程为x=my+(m≠0),则直线l2的方程为x=-y+,∵直线l1,l2均过椭圆的焦点(椭圆内一点),∴直线l1,l2与椭圆必有两个不同的交点.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,整理得(m2+4)y2+2my-1=0,Δ>0,显然恒成立.则y1+y2=-,则x1+x2=m(y1+y2)+2,∴点E的坐标为,-,同理可得点F,直线EF的斜率为kEF=(m≠±1),直线EF的方程是y+x-,即y=x-,直线EF过定点,0.当m=±1时,直线EF的方程为x=,直线EF过定点,0.综上,直线EF过定点,0.②由①可得y1+y2=-,y1y2=-,∴|AB|=|y1-y2|=,同理可得|CD|=,∴四边形ACBD的面积为S=|AB|·|CD|=,当且仅当m2=1时取等号.∴四边形ACBD的面积的最小值为
