中考数学二模试卷二次函数汇编+压轴题汇编+高一数学对数函数及其性质重难点题型中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知平面直角坐标系（如图7），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；图7Oxy（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.24.解：（1）∵直线的经过点∴……………………1分∴………………………………1分∵直线的经过点∴……………………1分∴…………………………………………1分（2）由可知点的坐标为∵抛物线经过点、∴∴，∴抛物线的表达式为…………………1分∴抛物线的顶点坐标为……………1分∴,,∴∴……………………………………1分∴
∴…………………………………………1分（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴∵,∴△∽△∴……………1分∵直线与轴的交点为点∴点的坐标为,又，∴，……………1分∵∴,∵∥轴∴∴∴……………………………………1分即点的纵坐标是又点在直线上点的坐标为……………1分长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、DC，求的面积；（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．备用图第24题图
24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上∴，解得（2分）∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4）（2分）（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4）∴，，∴∴（2分）∴（1分）（3）∵，，∴△CAD∽△AOB，∴∵OA=OC，∴∴，即（1分）若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，且△ABC为锐角三角形则也为锐角三角形，点P在第四象限由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，①当时,由得，∴，解得，∴（2分）②当时,由得，∴，解得，∴（2分）综上得或崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）
已知抛物线经过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．（第24题图）yxABCO24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为，………………………1分将（,）、（，）、（,）代入，得解得………2分所以，这个二次函数的解析式为……………………………1分（2）∵（,）、（，）、（,）∴，，∴∴………………………………………………………2分∴……………………………………………2分
（3）过点P作，垂足为H设，则∵（,）∴，∵∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：1°则即∴解得………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分2°则即∴解得…………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分奉贤区24．（本题满分12分，每小题满分各4分）图811已知平面直角坐标系（如图8），抛物线与轴交于点A、B（点A在点B左侧），与轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求的值．
黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标.24.解：（1）由题意得：，———————————————————（2分）解得：，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为.——————————————（1分）（2）由（1）得D（2，﹣1），———————————————————（1分）作DT⊥y轴于点T,则△ABD的面积=.————————（3分）（3）令P.————————————————（1分）由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，所以或，————————————（2分）解得：或，所以点P的坐标为（5,8），.————————————————（1分）
金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），与y轴相交于点C，顶点为P．图8（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．24．解：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0）， ∴，解得：，．……………………………（2分）∴这条抛物线的表达式是…………………………………（1分）顶点P的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分） （2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．…（1分）根据题意得：，解得：m=2，…（2分）∴点E的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．作QD⊥MN，垂足为D，则，………………………（1分）∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，…………………（1分）
∴，∴，解得（不合题意，舍去），．……………………………（1分）∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，∵AE=BE，EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，………………………………（1分）点Q是所求的点，设点Q的坐标为，作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，∵EF⊥x轴，∴EF∥QH，∴，∴，………（1分）解得（不合题意，舍去），．……………………………………（1分）∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）xBC第24题图Oy·在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M，满足MA=MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴，即．…………（1分）点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴，…………（1分）将C（9，-3）代入，得…………………………（1分）∴抛物线的表达式：…………………………（1分）（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）
又∵MA=MC，即∴,解得y=-3,∴M（4，-3）…………………（2分）y∵MC//AB且MC≠AB,∴四边形ABCM为梯形，,AB=8,MC=5,AB边上的高h=yM=3∴…………（2分）xO(3)将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入可得MACB，解得由题意得，∵AD//BC,∴，…（1分）又∵AD过（0,0），DC=AB=8，设D(x,-3x),…………………………（1分）解得(不合题意，舍去)，…………………………（1分）∴∴点D的坐标．……………………（1分）闵行区24．（本题满分12分，其中每小题各4分）ABOCxy（第24题图）D如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．24．解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，
得，解得．……………………………………（2分）∴抛物线的解析式是：．……………………………（1分）∴顶点坐标D（－1，4）．……………………………………………（1分）（2）令，则，，，∴A（－3，0）∴，∴∠CAO=∠OCA．…………………………………（1分）在中，．………………………………（1分）∵，，，∴，；∴，是直角三角形且，∴，又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．…………………（1分）∴，即．……………………………………………………（1分）（3）令，且满足，,0)，，4）∵是以AD为底的等腰三角形，∴，即，化简得：．………………………………………………（1分）由，……………………………………………………（1分）解得，．∴点Q的坐标是，．…（2分）普陀区24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由．图10xy11O
24．解：（1）由直线经过点，可得.（1分）由抛物线的对称轴是直线，可得.（1分）（2）∵直线与轴、轴分别相交于点、，∴点的坐标是，点的坐标是.（2分）∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是.（1分）∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，∴△BCG与△相似有两种可能情况：（1分）①如果，那么，解得，∴点的坐标是.（1分）②如果，那么，解得，∴点的坐标是.（1分）综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和．（3）点的坐标是或.（2分+2分）青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；
（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．备用图图8．24．解：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴．（1分）将A（3，0）代入，得，（1分）解得，．（1分）∴抛物线的解析式为．（1分）（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．∵=，∴C（2，）．（1分）∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，∴．（1分）∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），∴．（1分）∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，∴．（1分）（3）联结CE.∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，即.（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，设点，在中，，即，解得，∴点（1分）同理，得点（1分）（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点、，可得，得点、（2分）综上所述：满足条件的点有，，），．
松江区24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．(第24题图)yPOxCBA24．（本题满分12分，每小题各4分）(第24题图)yPOxCBA解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，）∴…………………………………2分解得：…………………………………1分∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；…………………………1分（2）∵点P的横坐标为m，∴P的纵坐标为：m2-2m……………………………1分令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，∴PN=m2-2m，ON=m，OM=1由得………………………1分∴BM=m-2…………………………………………………1分∵点C的坐标为（1，），∴BC=m-2+1=m-1………………………………………1分（3）令P(t，t2-2t)………………………………………………1分△ABP的面积等于△ABC的面积∴AC=AP
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q∴CM=MQ=1∴t2-2t=1…………………………………………………1分∴（舍去）………………………………1分∴P的坐标为（）……………………………………1分徐汇区24.如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一个点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点是线段上一点，过点作直线∥轴交该抛物线于点，当四边形是平行四边形时，求它的面积；（3）联结，设点是该抛物线上的一点，且满足，求点的坐标.
杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。（1）求抛物线的表达式（2）如图（1），当CP//AO时，求∠PAC的正切值。（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标。
九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在圆中，、是圆的半径，点在劣弧上，，，∥，联结.（1）如图8，求证：平分；（2）点在弦的延长线上，联结，如果△是直角三角形，请你在如图9中画出点的位置并求的长；（3）如图10，点在弦上，与点不重合，联结与弦交于点，设点与点的距离为，△的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.图8图9图10图825.（1）证明：∵、是圆的半径∴…………1分∴…………1分∵∥∴…………1分∴∴平分…………1分(2)解：由题意可知不是直角，所以△是直角三角形只有以下两种情况:和①当，点的位置如图9-1……………1分图9-1过点作,垂足为点∵经过圆心∴
∵∴在Rt△中，∵∴∵∥∴∵∴∴四边形是矩形图9-2∴∴……………2分②当，点的位置如图9-2由①可知，在Rt△中，∴……………2分综上所述，的长为或.说明：只要画出一种情况点的位置就给1分，两个点都画正确也给1分.（3）过点作,垂足为点图10由（1）、（2）可知，由（2）可得：∵∴……………1分∵∥∴……………1分又,,∴∴……………1分∴∴……………1分自变量的取值范围为……………1分
长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD.已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设AC=x，，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．图1图2备用图第25题图tututu图25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，（2分）在Rt△AOC中，，AO=5，∴（1分），（1分）（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3∵AC=x，∴在Rt△HOC中，，AO=5，∴，（1分）∴（）（3分）
（3）①当OB//AD时，过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点F，则OF=AE，∴在Rt△AOF中，，AO=5，∴∵OF过圆心，OF⊥AD，∴.（3分）②当OA//BD时，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，则由①的方法可得，在Rt△GOD中，，DO=5，∴，，在Rt△GAD中，，∴（3分）综上得崇明区25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，已知中，，，，D是AC边上一点，且，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分；（2）设，，求与之间的函数关系式；（3）联结FG，当是等腰三角形时，求BE的长度．（备用图）ABCD（第25题图）ABCDGEF25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）（1）∵，又∵
∴∴……………………………1分∵∴又∵是公共角∴…………………………1分∴，∴∴∴………………………1分∴∴平分………………………1分（2）过点作交的延长线于点∵∴∵，∴∴……1分∵∴∴∴…1分∵即∵∴又∵∴……………………………………………………………1分∴∴∴…………………………………………………………1分（3）当△是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°易证，即，得到………2分2°易证，即，…………2分
3°易证，即………2分奉贤区25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）已知：如图9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD．（1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值；（2）若E是弧AB的中点，求证：；（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．图9ABCDOE备用图ABO备用图ABO
黄浦区25．（本题满分14分）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.
25.解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分）由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，所以，——————————————————————（1分）则.———————————————（2分）（2）取CD中点T，联结TE，————————————————————（1分）则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.∴∠AET=∠B=70°.———————————————————————（1分）又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°.——————————————————（1分）由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1分）所以∠AEC=70°＋35°=105°.——————————————————（1分）（3）当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2.——————————————————————（2分）当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又，则（舍负）—————（2分）易知∠ACE<90°.所以边BC的长为2或.——————————————————（1分）
金山区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．ABPCDQEABCD图9备用图25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ＝∠PQA，……………………………（1分）∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠APB，∠PQA＝∠QPC，∴∠APB＝∠EPC，……（1分）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B＝∠C，…………………………（1分）∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1分）（2）作AM⊥BC，PN⊥AD，∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，∴AM=PN，AN=MP．………………………………………………………（1分）在Rt△AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=，∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，……………………………………（1分）∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ=2x-8，……………………………………（1分）∴，即，………………………（1分）
定义域是．………………………………………………………（1分）（3）解法一：由△QED与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△APB∽△ECP，∴∠PAB＝∠DEQ，又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．………………………（2分）②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠PAQ＝∠APB，∠EDQ＝∠C，∠B＝∠C，∴∠B＝∠APB，∴AB=AP，∵AM⊥BC，∴BM=MP=4，∴BP=8．………（2分）综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………（1分）解法二：由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD，在Rt△APN中，，∵QD∥PC，∴，∵△APB∽△ECP，∴，∴，①如果，∴，即，解得………………………………………………………………………（2分）②如果，∴，即，解得………………………………………………………………………（2分）综上所述BP的长为5或者8．…………………………………………………（1分）静安区25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）A第25题图BPOCDE·如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．设BP=x．（1）求AC的长；（2）设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；第25题备用图ABOCD（3）如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）A·第25题图(1)BPOCHED解：（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，那么…………（2分）BC=9，HC=9-2=7，，……………………（1分）﹒………（1分）·A第25题图(2)BPOCDHEI（2）作OI⊥AB于I，联结PO,AC=BC=9，AO=4.5∴∠OAB=∠ABC,∴Rt△AIO中，∴AI=1.5，IO=……………………（1分）∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=，……………………（1分）∴Rt△PIO中，……（1分）∵⊙P与⊙O外切，∴……………………（1分）∴=…………………………（1分）∵动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．∴定义域：0<x≤3…………（1分）（3）由题意得：∵点E在线段AP上，⊙O经过点E，∴⊙O与⊙P相交∵AO是⊙O半径，且AO＞OI，∴交点E存在两种不同的位置，OE=OA=①当E与点A不重合时，AE是⊙O的弦，OI是弦心距，∵AI=1.5，AE=3，∴点E是AB中点，,,,IO=……………………（2分）
①当E与点A重合时，点P是AB中点，点O是AC中点,……（2分）∴或．闵行区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．（第25题图）CBEFDA（备用图）CBA25．解：（1）在Rt△ABC中，，，∴．……………………………………………………………（1分）过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：，，．…………………………（1分）在Rt△EHF中，，∴．………………………………………（1分+1分）（2）取的中点P，联结BP交ED于点G∵，P是的中点，∴．∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．
∵，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG．…………（1分）又∵∠CEA=∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分）又∵BE是公共边，∴．∴．在Rt△CEA中，∵AC=6，，，∴．……………………………（1分）∴．……………………………………………（1分）∴．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD=∠CDB=90o．在Rt△CBD中，∵，∴，．∴，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD=∠CDB=90o．∵AC∥BD，∠ACB=90o，∴∠ACB=∠CBD=90o．∴∠ABD=∠ACB+∠BCD>90o．与∠ACD=∠CDB=90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）普陀区25．（本题满分14分）
已知是的直径延长线上的一个动点，的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，＝6，，，如图11所示．另一个半径为6的经过点C、D，圆心距．（1）当时，求线段的长；（2）设圆心在直线上方，试用的代数式表示；（3）△在点P的运动过程中，是否能成为以为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时的值；如果不能，请说明理由．OAB备用图PDOABC图1125．解：（1）过点作⊥，垂足为点，联结．在Rt△中，∵，，∴．（1分）∵＝6，∴．（1分）由勾股定理得．（1分）∵⊥，∴．（1分）（2）在Rt△中，∵，，∴．（1分）在Rt△中，．（1分）在Rt△中，．（1分）可得，解得．（2分）（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况：●当圆心、在弦异侧时
①，即，由解得．（1分）即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去．（1分）②，由，解得，即，解得．（1分）●当圆心、在弦同侧时,同理可得．∵是钝角，∴只能是，即，解得．（2分）综上所述，的值为或．青浦区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON的半径为，∠MON=，点B在弧MN上移动，联结BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y．（1）如图9-2，当ABOM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.图9-1图9-2备用图25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．（1分）∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．（1分）∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△ABM，（1分）∴AC=AM．（1分）（2）过点D作DE//AB，交OM于点E．（1分）
∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM．（1分）∵DE//AB，∴，∴AE＝EM，∵OM=，∴AE＝．（1分）∵DE//AB，∴，（1分）∴，∴．（）（2分）（3）（i）当OA=OC时，∵，在Rt△ODM中，．∵，∴．解得，或（舍）．（2分）（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO，∵∠ACO>∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO>∠AOC，∴此种情况不存在．（1分）（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=，∵∠CAO>∠M，∠M=，∴>，∴>，∴，∵，∴此种情况不存在．（1分）松江区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；(备用图)CBADE(第25题图)CBADE②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）(第25题图)CBADE解：（1）∵AE∥CD∴…………………………………1分∵BC=DC∴BE=AE…………………………………1分设CE=x则AE=BE=x+2∵∠ACB=90°，∴即………………………1分CBADEPQ∴即…………………………………1分（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P…………………………………1分又∵AE∥CD∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P………………………………1分∴△ACE∽△PCA，…………………………1分
∴…………………………1分即∴……………………………1分②设CP=t，则∵∠ACB=90°，∴∵AE∥CD∴……………………………1分即∴……………………………1分若两圆外切，那么此时方程无实数解……………………………1分若两圆内切切，那么∴解之得………………………1分又∵∴………………………1分徐汇区25.已知四边形是边长为10的菱形，对角线、相交于点，过点作∥交延长线于点，联结交于点.（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，以为直径作⊙，⊙经过点交边于点（点、不重合），设的长为，的长为；①求关于的函数关系式，并写出定义域；①联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的长.
杨浦区25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.
（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；（2）分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；（3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值。2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】
【知识点1对数函数的定义】1.对数函数的概念一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.【知识点2对数函数的图象与性质】对数函数的图象与性质列表如下：a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R
过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.【知识点3反函数】在指数函数中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R，值域是（0，+）；在对数函数中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是R，值域是（0，+），像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ）A．y＝log3（x+1）B．y＝loga（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝logx+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y＝logx2；②y＝logax（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝logx（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（ ）①y＝logax2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝logxa（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝logax（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【考点2利用对数函数的性质比较大小】
【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜b＜a【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足loga2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（ ）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ）A．B．C．D．【考点3与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx在同一坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝loga||的图象大致为（ ）A．B．
C．D．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（ ）A．B．C．D．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（ ）A．B．C．D．【考点4对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（ ）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（ ）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝loga（x+2）+ax+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（ ）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝loga的图象恒过点（ ）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【考点5有关对数函数奇偶性问题】
【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（ ）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝loga（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f（x）在定义域上是（ ）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（ ）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【考点6与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（ ）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（ ）A．B．C．D．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（ ）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（ ）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]
【考点7与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为 ．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为 ．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5在2≤x≤4时的值域为 ．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为 ．【考点8与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为 ．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝loga（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为 ．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是 ．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为 ．【考点9与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝loga（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．
【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．
