第一章第2讲 匀变速直线运动,必备知识·整合一、匀变速直线运动及基本规律1.定义和分类(1)匀变速直线运动:沿着一条直线,且加速度不变的运动。(2),2.三个基本关系:(1)速度与时间的关系式:v=v0+at。(2)位移与时间的关系式:x=v0t+at2。(3)位移与速度的关系式:v2-=2ax。二、匀变速直线运动的推论1.平均速度公式:==。,2.位移差公式:Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。可以推广到xm-xn=(m-n)aT2。3.某段位移内中间位置的瞬时速度与这段位移的初、末速度v0与vt的关系为=,4.初速度为零的匀加速直线运动比例式(1)1T末,2T末,3T末…瞬时速度之比为:v1∶v2∶v3∶…=1∶2∶3∶…。(2)1T内,2T内,3T内…位移之比为:x1∶x2∶x3∶…=1∶22∶32∶…。(3)第一个T内,第二个T内,第三个T内…位移之比为:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…=1∶3∶5∶…。(4)通过连续相等的位移所用时间之比为:t1∶t2∶t3∶…=1∶(-1)∶(-)∶…。,三、自由落体运动和竖直上抛运动1.自由落体运动(1)条件:物体只在重力作用下,从静止开始的运动。(2)运动性质:初速度v0=0、加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。(3)基本规律a.速度公式:v=gt。b.位移公式:h=gt2。c.速度位移关系式:v2=2gh。,(4)伽利略对自由落体运动的研究a.伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。b.伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推。这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。,2.竖直上抛运动(1)运动特点:加速度为g,上升阶段做匀减速直线运动,下降阶段做自由落体运动。(2)基本规律a.速度公式:v=v0-gt。b.位移公式:h=v0t-gt2。c.速度位移关系式:v2-=-2gh。,d.上升的最大高度:h=。e.上升到最大高度用时:t=。,1.判断下列说法对错。(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。( )(2)匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动。( )(3)匀加速直线运动的位移是均匀增加的。( )(4)匀加速直线运动1T末、2T末、3T末的瞬时速度之比为1∶2∶3。( )(5)做自由落体运动的物体,下落的高度与时间成正比。( )(6)做竖直上抛运动的物体,上升阶段与下落阶段的加速度方向相同。( )✕✕✕✕√√,2.(人教版必修1·P40·T3改编)以18m/s的速度行驶的汽车,制动后做匀减速运动,在3s内前进36m,则汽车在5s内的位移为( )A.50mB.45mC.40.5mD.40mC,3.(人教版必修1·P45·T3改编)有一种“傻瓜”照相机,其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节,而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间,实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下,拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动,它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5m的高度下落,每块砖的平均厚度为6cm,请估算这架照相机的曝光时间为( )A.0.01s B.0.02sC.0.1s D.0.2sB,关键能力·突破考点一 匀变速直线运动的规律及应用1.[速度时间关系式]某质点做直线运动,速度随时间的变化关系式为v=(2t+4)m/s,则对这个质点运动情况的描述,说法正确的是( )A.初速度为2m/sB.加速度为4m/s2C.在3s末,瞬时速度为10m/sD.前3s内,位移为30mC,解析根据v=v0+at,比较v=(2t+4)m/s得质点运动的初速度为4m/s,加速度为2m/s2,所以选项A、B错误;在3s末,质点的瞬时速度为vt=2×3m/s+4m/s=10m/s,所以选项C正确;前3s内,质点的位移x==m=21m,选项D错误。,2.[速度推论式的应用]某质点从静止开始做匀加速直线运动,已知第3秒内通过的位移是x(单位:m),则质点运动的加速度为( )A.(m/s2) B.(m/s2)C.(m/s2) D.(m/s2)C解析由匀变速直线运动规律知第3秒内的平均速度等于t=2.5s时的瞬时速度,得a=(m/s2)=(m/s2),C对。,3.[位移速度关系式]高速公路的ETC电子收费系统如图所示,ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某人驾驶汽车以6m/s的速度匀速进入识别区,ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签,识别完成后发出“滴”的一声,司机发现自动栏杆没有抬起,于是采取制动刹车,汽车刚好紧贴栏杆停下。已知司机的反应时间为0.7s,刹车时的加速度大小为5m/s2,则该ETC通道的长度约为( )A.3.6m B.5.4mC.6.0m D.9.6mD,解析在反应时间内,汽车做匀速运动,位移x1=v(t1+t2)=6×(0.3+0.7)m=6m,刹车后汽车做匀减速运动,位移x2==3.6m,汽车运动的位移x=x1+x2=9.6m,所以该ETC通道的长度约为9.6m,D正确。,题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题而设定的中间量)没有涉及的物理量适宜选用的公式v0、v、a、txv=v0+atv0、a、t、xvx=v0t+at2v0、v、a、xtv2-=2axv0、v、t、xax=t1.基本思路画过程示意图→判断运动性质→选取正方向→选用公式列方程→解方程并加以讨论2.对于运动学公式的选用,3.运动学公式中正、负号的规定直线运动可以用正、负号表示矢量的方向,一般情况下,我们规定初速度的方向为正方向,与初速度同向的物理量取正值,反向的物理量取负值;当v0=0时,一般以a的方向为正方向。4.平均速度与瞬时速度的互换在匀变速直线运动中,全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,即=。利用好这一关系,可以实现平均速度与瞬时速度的互换,求解问题能起到事半功倍的效果。5.匀减速直线运动到速度为零后即停止运动,加速度a突然消失,求解时要注意先确定其实际运动时间。,考点二 解决匀变速直线运动的常用方法例1物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,斜面总长度为l,到达斜面最高点C时速度恰好为零,如图。已知物体上滑到距斜面底端A点l处的B点时,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间。解题指导本题可运用“逆向思维法”“基本公式法”“位移比例法”“时间比例法”“中间时刻速度法”“图像法”等方法解题。,答案见解析解析解法一 逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面,可逆向看成向下匀加速滑下斜面。故xBC=,xAC=,又xBC=由以上三式解得tBC=t解法二 基本公式法因为物体沿斜面向上做匀减速运动,设物体从B滑到C所用的时间为tBC,由匀变速直线运动的规律可得=2axAC①,=-2axAB②xAB=xAC③由①②③式解得vB=④又vB=v0-at⑤vB=atBC⑥由④⑤⑥式解得tBC=t解法三 位移比例法对于初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。,因为xCB∶xBA=∶=1∶3,而通过xBA的时间为t,所以通过xBC的时间tBC=t解法四 时间比例法对于初速度为零的匀加速直线运动,通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)现将整个斜面分成相等的四段,如图所示,设通过BC段的时间为tx,那么通过BD、DE、EA的时间分别为tBD=(-1)tx,tDE=(-)tx,tEA=(2-)tx,又tBD+tDE+tEA=t,解得tx=t,解法五 中间时刻速度法利用推论:匀变速直线运动中,中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度,vAC==。又=2axAC,=2axBC,xBC=。由以上三式解得vB=。vB正好等于AC段的平均速度,因此B点对应中间时刻,因此有tBC=t解法六 图像法根据匀变速直线运动的规律,作出v-t图像,如图所示。利用相似三角形的规,律,面积之比等于对应边长的二次方之比,得=,且=,OD=t,OC=t+tBC所以=,解得tBC=t,解题感悟解决匀变速直线运动相关问题的常用方法,1.[平均速度法]物体做匀加速直线运动,相继经过两段距离为16m的路程,第一段用时4s,第二段用时2s,则物体的加速度是( )A.m/s2B.m/s2C.m/s2D.m/s2B,解析根据题意,物体做匀加速直线运动,t时间内的平均速度等于时刻的瞬时速度,在第一段内中间时刻的瞬时速度v1==m/s=4m/s,在第二段内中间时刻的瞬时速度v2==m/s=8m/s,则物体的加速度a==m/s2=m/s2,故选项B正确。,2.[逆向思维法](2020江苏南京模拟)做匀减速直线运动的物体经4s停止,若在第1s内的位移是14m,则最后1s内位移是( )A.3.5mB.2mC.1mD.0解析利用“逆向思维法”,把物体的运动逆向看成初速度为零的匀加速直线运动,则做匀减速直线运动的物体在每1s内的位移之比为7∶5∶3∶1,所以=,x1=2m,选项B正确。B,3.[比值法](2020江苏南京南师附中模拟)一旅客在站台8号车厢候车线处候车,若动车一节车厢长25m,动车进站时可以看做匀减速直线运动。他发现第6节车厢经过他时用了4s,动车停下时旅客刚好在8号车厢门口(8号车厢最前端),则该动车的加速度大小约为( )A.2m/s2B.1m/s2C.0.5m/s2D.0.2m/s2C解析采用逆向思维法,动车做初速度为零的匀加速直线运动,通过连续相等位移所用的时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…,可知第7节车厢和第6节车厢通过他的时间之比为1∶(-1),所以第7节车厢通过他的时间为t=4(+1)s,根据L=at2得加速度大小a==m/s2≈0.5m/s2。故选C。,考点三 自由落体运动和竖直上抛运动1.自由落体运动的特点(1)自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。(2)一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动,特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式,在自由落体运动中应用更频繁。,2.竖直上抛运动的两种研究方法(1)分段法:将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。(2)全程法:将全过程视为初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方。,例2研究人员为检验某一产品的抗撞击能力,乘坐热气球并携带该产品竖直升空,当热气球以10m/s的速度匀速上升到某一高度时,研究人员从热气球上将产品自由释放,测得经11s产品撞击地面。不计产品所受的空气阻力,求产品的释放位置距地面的高度。(g取10m/s2)审题关键(1)产品脱离热气球后,做什么性质的运动?提示:竖直上抛运动(2)根据已知量和未知量选择哪种研究方法求解?提示:全程法或分段法解题指导本题可运用“分段法”和“全程法”解题。,解析解法一 分段法根据题意画出运动草图如图甲所示。将产品的运动过程分为A→B和B→C→D两段来处理。A→B为竖直方向匀减速运动,B→C→D为自由落体运动在A→B段,根据匀变速运动规律可知tAB==1shAB=hBC=g=5m由题意可知tBD=11s-1s=10s根据自由落体运动规律可得hBD=g=500m答案495m,故释放点离地面的高度H=hBD-hBC=495m解法二 全程法将产品的运动视为匀变速直线运动,根据题意画出运动草图如图乙所示规定向上为正方向,则v0=10m/s,a=-g=-10m/s2,根据H=v0t+at2解得H=-495m即产品刚释放时离地面的高度为495m,解题感悟掌握竖直上抛运动的四个特性(1)时间对称性:物体上升过程中从A到C所用时间tAC和下降过程中从C到A所用时间tCA相等,同理有tAB=tBA。(2)速度对称性①物体上抛时的初速度与物体落回抛出点时的速度大小相等、方向相反;②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反。,(3)能量对称性:竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等。(4)多解性:在竖直上抛运动中,当物体经过抛出点上方某一位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下落阶段,因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解,也可能造成路程多解。,1.[自由落体运动](2020江苏徐州模拟)为了能够方便测出人的反应时间,某研究小组制作了“反应时间测量尺”,其使用方法:甲同学捏住测量尺上端使其保持竖直,零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲释放测量尺时,立即用手指捏住,根据乙手指所在测量尺的位置,直接读出反应时间。下列说法正确的是( )B,A.“反应时间测量尺”A标度合理B.“反应时间测量尺”B标度合理C.“反应时间测量尺”下降的距离与时间成正比D.用钢尺和塑料尺制成的测量尺刻度明显不同,解析由题意可知,手的位置在开始时应放在零刻度线处,所以零刻度要在下边。测量尺做自由落体运动的位移h=gt2,位移与时间的二次方成正比,所以随时间的增大,测量尺下落的速度增大,相等时间内下落高度增大,测量尺上的间距增大,B标度合理,故选项A、C错误,选项B正确;因为测量尺做自由落体运动,故用钢尺和塑料尺制成的测量尺刻度是相同的,选项D错误。,2.[竖直上抛运动](2019课标Ⅰ,18,6分)如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1,第四个所用的时间为t2。不计空气阻力,则满足( )A.1<<2B.2<<3C.3<<4D.4<<5C,解析运动员离地后做竖直上抛运动,则可以按其逆过程——自由落体运动计算,将H分为相等的4段,通过各段所用时间由上至下分别为T1、T2、T3、T4,则满足T1∶T2∶T3∶T4=1∶(-1)∶(-)∶(2-),则==2+,则3<<4,故只有C正确。,考点四 多过程的匀变速直线运动1.问题特点一个物体的运动包含几个阶段,加速度a不同是分段依据,各阶段的运动性质不同,满足不同的运动规律,交接处的速度是连接各阶段运动的纽带。,2.基本思路3.解题关键多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带,因此,转折点速度的求解往往是解题的关键。,例3假设收费站的前、后都是平直大道,长假期间过站的车速要求不超过vt=21.6km/h,事先小汽车未减速的车速为v0=108km/h,制动后小汽车的加速度的大小为a1=4m/s2。试问:(1)长假期间,驾驶员应在距收费站至少多远处开始制动?(2)假设车过站后驾驶员立即使车以a2=6m/s2的加速度加速至原来的速度,则从减速开始至最终恢复到原来速度的过程中,汽车运动的时间至少是多少?(3)在(1)(2)问中,车因减速和加速过站而耽误的时间至少为多少?,审题关键(1)小汽车共经历了几个运动过程?提示:两个运动过程(2)分别属于哪种运动性质?提示:匀减速、匀加速(3)耽误的时间求的是哪两个时间差?提示:先匀减速再匀加速的总时间和匀速的时间,答案见解析解析(1)vt=21.6km/h=6m/s,v0=108km/h=30m/s,小汽车进入收费站前做匀减速直线运动,设在距收费站至少为x1处开始制动,则有-=-2a1x1解得x1=108m(2)小汽车通过收费站经历匀减速和匀加速两个阶段,设前、后两段的位移分别为x1和x2,时间分别为t1和t2。减速阶段,有vt=v0-a1t1解得t1==6s加速阶段,有v0=vt+a2t2,解得t2==4s则汽车运动的时间至少为t=t1+t2=10s(3)加速阶段,有-=2a2x2解得x2=72m则总位移x=x1+x2=180m若不减速通过收费站,则所需时间t'==6s故车因减速和加速过站而耽误的时间至少为Δt=t-t'=4s,解题感悟多过程问题的三个处理技巧(1)用图像分析运动学问题能很好地反映出物体的运动规律,且直观、形象,这是图像法的优势。(2)将末速度为零的匀减速直线运动通过逆向思维转化为初速度为零的匀加速直线运动。(3)多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带,因此,转折点速度的求解往往是解题的关键。,1.[匀速+减速](2020江苏苏北四市调研)“礼让行人”是城市文明交通的体现。小王驾驶汽车以36km/h的速度匀速行驶,发现前方的斑马线上有行人通过,立即刹车使车做匀减速直线运动,直至停止,刹车时的加速度大小为10m/s2。若小王的反应时间为0.5s,则汽车距斑马线的安全距离至少为( )A.5m B.10m C.15m D.36m解析汽车的初速度为v0=36km/h=10m/s,反应时间t1=0.5s内汽车做匀速直线运动,有x1=v0t1=5m,刹车过程的加速度大小为a=10m/s2,由匀减速直线运动规律可得,刹车距离x2==5m,故安全距离d≥x1+x2=10m,故B项正确。B,2.[加速+减速]一辆汽车从静止开始匀加速开出,然后保持匀速运动,最后匀减速运动,直到停止。表中给出了不同时刻汽车的速度值,则下列说法中正确的是( )时刻/s1.02.03.05.07.09.510.5速度/(m·s-1)369121293A.汽车做加速运动时的加速度为3m/s2,做减速运动时的加速度为6m/s2B.汽车从开出到停止共经历的时间是12sC.汽车做匀速运动的时间为6sD.汽车通过的总路程是96mD,解析取加速时的加速度为正值,则可知减速时的加速度方向应该取负值,故A错误;由表中数据可得减速时的加速度为a2==m/s2=-6m/s2,则从10.5s时刻开始到停止还需的时间为t'=s=0.5s,所以汽车运动总时间为11s,故B错误;由题意知汽车加速到12m/s需要4s,汽车从12m/s减速到9m/s需要0.5s,故汽车做匀速运动的时间为(9-4)s=5s,故C错误;匀加速运动的位移x1=t1=×4m=24m,匀减速运动的位移x2=t2=×2m=12m,匀速运动的位移x3=v(t-t1-t2)=12×(11-4-2)m=60m,则汽车通过的总路程x=x1+x2+x3=96m,故D正确。
