直线、平面平行的判定与性质1．线面平行的判定定理与性质定理1．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点的轨迹是一条线段B．与是异面直线C．与不可能平行D．三棱锥F-ABD1的体积为定值【答案】C【解析】对于A．设平面与直线交于点，连接、，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，则易得，又平面，平面，平面，同理可得平面，、是平面内的相交直线，平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上的动点．A正确；对于B．假设直线共面，由题意点在侧面上，且三点不共线，所以直线共面于侧面，则平面，这就与在正方体中，平面相矛盾，25
故假设不成立，即与是异面直线，B正确；对于C，连接，由分别为的中点，则，又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，故当点与点重合时，与平行，C错误；对于D，由选项A的过程可知，又，所以，又，分别为，的中点，所以，所以，则，平面，平面，所以平面，则到平面的距离是定值，三棱锥F-ABD1的体积为定值，所以D正确，故选C．2．已知直三棱柱中，，点D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）若底面ABC是边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积．25
【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）连接交于点E，连接DE，∵四边形是矩形，∴E为的中点，又∵D是AB的中点，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，D是AB的中点，∴，又∵面ABC，面ABC，∴．又∵面，面，，∴面，∴CD为三棱锥的高，，又∵，，∴，，∴三棱锥的体积．3．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，E为棱PC的中点．（1）证明：平面PAD；25
（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在四棱锥中，取线段PD的中点F，连接AF，EF，如图，因E为棱PC的中点，则，，而，，于是得，，即四边形ABEF是平行四边形，有，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）在四棱锥中，在平面内过P作交CD于O，连接AO，因平面平面ABCD，平面平面，则平面，平面，即有，因，，则，，而，有，则，显然OA，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，25
，，，设平面的一个法向量，则，令得：；设平面的一个法向量，则，令得：，则，显然二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值是．4．如图，，分别是正三棱柱的棱，的中点，且棱，．（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：在线段上取中点，连接、．因为是的中位线，所以，且．又因为，且，所以，，且，所以四边形是平行四边形，所以，25
又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以是等边三角形，所以．分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的一个法向量为，则，取，则．因为平面的一个法向量为，所以，所以锐二面角的余弦值为．5．如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．25
（1）试确定点的位置，并证明平面；（2）若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．【答案】（1）延长，交的延长线于点N，证明见解析；（2）．【解析】（1）延长，交的延长线于点N．∵，平面，∴平面．又∵，∴平面，点N即为所求．连接，交直线于点O，连接OM．∵，∴．又∵M为线段的中点，∴，即M为线段NB的中点．在三棱柱中，四边形为平行四边形，∴O为线段中点，∴OM为中位线，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）取线段的中点G，连接．由条件知，为等边三角形，∴，且．∵平面平面，平面平面，平面，25
∴平面，即是三棱锥的高．又∵，∴．由（1）知，，，∴，∴四面体的体积．6．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，，，分别是，，，的中点，所以，，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．又，所以．（2）在中，，，所以．又平面，所以，，两两垂直．25
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，．所以，，，．设平面的一个法向量为，由，，得，取，得．设平面的一个法向量为，由，，得，取，得．设二面角为，由图象知二面角为锐角，则．7．如图，三棱锥中，AC，BC，PC两两垂直，，E，F分别是棱AC，BC的中点，的面积为8，四棱锥的体积为4．25
（1）若平面平面，证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．因为平面平面，平面PEF，所以．（2）解：因为AC，BC，PC两两垂直，，AC，平面ABC，所以平面ABC，所以PC是四棱锥的底面ABFE上的高，因为，，所以．因为E，F分别是AC，BC的中点，，所以，即．以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，所以，．设平面EFP的一个法向量为，所以，可得，令，所以，即，又由平面，所以平面的一个法向量为，所以，由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．25
8．将一本书打开后竖立在桌面上（如图），P，Q分别为AC，BE上的点，且．求证：平面．【答案】证明见解析．【解析】依题意，矩形ABCD与矩形BCEF是全等的，则有AC=BE，因P，Q分别为AC，BE上的点，过P作PM//BC交AB于M，过Q作QN//BC交BF于N，连MN，如图，而，QN//EF，于是得，又BC=EF，因此有PM=QN，显然有PM//QN，从而有四边形PMNQ是平行四边形，则PQ//MN，而平面，平面，所以平面．9．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面25
，且，是棱上的动点．（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，又，在平面内，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）如图，连接，相交于点，因为平面，面，面面，所以，所以．2．面面平行的判定定理与性质定理1．（多选）在下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是（）25
A．B．C．D．【答案】AB【解析】对选项A，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A正确；对选项B，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，25
因为平面，平面，所以平面，故B正确；对选项C，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以为的等分点，所以与必相交，即与平面的位置关系为相交，故C错误；对选项D，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以，点在平面内，又因为平面，，所以与平面的位置关系为相交，故D错误，故选AB．2．如图，在正方体中，，，，分别是棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足________时，有平面．25
【答案】【解析】连接，，，因为，，分别是棱、，的中点，所以，，因为平面，平面，所以面，同理可得面，因为，，平面，所以平面平面，又因为点在四边形及其内部运动，平面，故当时，平面，故答案为．3．如图，在正方体中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证：（1）EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．25
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）如图所示，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB，又因为SB⊂平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图所示，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD，又因为SD⊂平面BDD1B1，且FG平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又由EG∥平面BDD1B1，EG⊂平面EFG，FG平面EFG，EG∩FGG，所以平面EFG∥平面BDD1B1．4．如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q，它就是点．【解析】（1）证明：、、分别是，，的中点，，四边形为平行四边形，可得，25
因为平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面平面．（2）假设在线段上存在一点使平面．四边形是正方形，因此点为点．不妨取，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，．所以，，又，平面，所以平面，在线段上存在一点，使平面，其中点为点．5．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．25
（1）证明：平面BMN∥平面PCD；（2）若AD＝6，求三棱锥PBMN的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．∵M为AD的中点，∴BM⊥AD．∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD．又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD．∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD．又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．（2）在（1）中已证BM⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BM⊂平面ABCD，∴BM⊥平面PAD．又AD＝6，∠BAD＝60°，∴．在△PAD中，∵PA＝PD，PA⊥PD，∴．∵M，N分别为AD，PA的中点，25
∴△PMN的面积，∴三棱锥PBMN的体积．6．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点到面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）设与交于点，连接，，如下图所示：因为底面为矩形，则为和的中点，因为，分别为棱，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理，平面，因为，且平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．（2）由，易得，的面积，因为平面，平面，所以，25
故的面积为，设点到面的距离为，由得，即，从而，故点到面的距离为．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．（1）证明：直线PF//平面ACG；（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，因为BC//AD，且，AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，所以OG为△PBE的中位线，即OG∥PE，因为OG平面PEF，PE⊂平面PEF，所以OG//平面PEF，因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF//AC，因为AC平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC//平面PEF，25
因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因为PF⊂平面PEF，所以PF//平面GAC．（2）因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，所以PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，设平面ACG的法向量为，则，所以，令，可得，，所以，设直线PD与平面ACG所成角为θ，则，所以直线PD与平面ACG所成角的正弦值为．25
8．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【答案】存在，点F是PB的中点，证明见解析．【解析】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD．又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA∥PB且PB＝2MA，∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM．又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD．25
9．如图，在长方体中，，P是中点．（1）求证：直线平面PAC；（2）在棱上求一点Q，使得平面平面，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）取的中点Q，则平面平面，证明见解析．【解析】（1）连接BD交AC于O点，连接OP，因为O为矩形对角线的交点，则O为BD的中点，又P为的中点，则，又因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC．（2）取的中点Q，则平面平面，证明：因为P为的中点，Q为的中点，四边形与长方体的上下底面相交AC，，则，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，25
同理可得平面PAC，又，平面，平面，所以平面平面．10．在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面；（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）∵分别是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，∴平面平面．（2）连接交于O，连接，25
由平面平面，且平面平面，平面平面，∴，则，又由题设，∴，即．25
