圆的方程1．直线与圆的位置关系1．若直线与曲线有公共点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】曲线表示圆心，半径为的圆，由题意可知，圆心到直线的距离应小于等于半径，所以，，解得，故选C．2．若直线与曲线有公共点，则实数的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，直线为轴与曲线显然有公共点；时，经过原点，斜率为，曲线为圆心（2，2）半径为2的上半圆．当直线经过半圆的右端点A恰好有公共点，逆时针旋转至轴满足题意，如下图．由于，故，解得，综上，故选D．23
3．若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即，解得；当直线l过B点时，直线l的斜率，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为，故选A．4．已知，，在直线上存在点，使，则的最大值是（）A．9B．11C．15D．1923
【答案】B【解析】设以线段为直径的圆为圆，则圆心为，半径，故圆的方程为．因为，所以点在圆上．因为点在直线l上，所以圆心到直线的距离，解得，故选B．5．过点作圆的两条切线与圆C分别切于A，B两点，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得圆的标准方程为：，圆心为，过点作圆的两条切线与圆C分别切于A，B两点，则，，故点A，B在以MC为直径的圆上，而以MC为直径的圆的方程为，得，即直线的方程为，故选A．6．已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方法1：由知，圆心到直线的距离为，23
即，即，则“”是“”的必要不充分条件．方法2：设，联立，化为，，解得，，，∵，∴，，，，解得，符合，则“”是“”的必要不充分条件，故选B．7．（多选）已知圆和直线，则（）A．直线l与圆C的位置关系无法判定B．当时，圆C上的点到直线l的最远距离为C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，D．如果直线l与圆C相交于M、N两点，则的最小值是3【答案】BC【解析】由，得，所以圆心，半径为2，对A：由直线的方程可得，所以直线恒过定点，又，所以点在圆内，所以直线与圆相交，故选项A错误；对B：时，直线的方程为，即，设圆心到直线距23
离为，则，所以圆上的点到直线的最远距离为，故选项B正确；对C：当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线距离为1，即，解得，故选项C正确；对D：直线恒过定点，且在圆内，所以当时取得最小值，因为，所以，故选项D错误，故选BC．8．（多选）已知圆与直线，下列说法正确的是（）A．直线l与圆C一定相交B．若，则圆C上至少有两个不同的点到直线l的距离为1C．若，则圆C关于直线l对称的圆的方程是D．若，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为圆C上任意一点，当时，则最大或最小【答案】BCD【解析】对于A，直线是绕点(0,2)转动的动直线，和圆不一定相交，比如时，圆心到直线的距离为，直线和圆相离，故A错误；对于B，令，解得，此时圆C上至少有两个不同的点到直线l的距离为1，故B正确；对于C，设圆心(3,3)关于的对称点为，23
则，解得，故对称圆的方程为，故C正确；对于D，如图示，当PB和圆相切时，最大或最小，此时，故D正确，故选BCD．9．已知圆，直线，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“______”．【答案】3【解析】若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1，故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离，要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即，圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则，根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“”，故答案为3．10．若关于的方程有解，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】关于的方程有解等价于有解，23
等价于与的图象有公共点，等价于，等价于，其图象为为圆心2为半径的圆的上半部分，作图可得当平行直线介于两直线之间时满足题意，易得直线的截距为0，设直线的截距为，由直线与圆相切可得直线到点的距离为2，可得，解得或（舍去），，解得，故答案为．2．圆与圆的位置关系1．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（）A．内含B．相交C．外切D．外离【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，23
，圆的圆心为，半径为1，，两圆相交，故选B．2．已知圆平分圆的周长，则（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】由圆平分圆的周长可知，圆经过圆的一条直径的两个端点，所以圆的圆心在圆与圆的公共弦上，两圆方程相减整理得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，又圆心，所以，所以，故选C．3．圆与圆的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定【答案】A【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，∴，而，∴两圆相交，故选A．4．已知点，，若点A，B到直线l的距离分别为1，3，则符合条件的直线l的条数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D23
【解析】由题意可知直线l是圆与的公切线，因为，所以这两个圆外离，所以它们有4条公切线，故选D．5．（多选）若圆（）上总存在到原点距离为3的点，则实数a的取值可以是（）A．1B．C．2D．3【答案】BC【解析】根据题意，到原点距离为3的点的轨迹方程为，若圆（）上总存在到原点距离为3的点，则圆（）与圆有公共点，所以，即，解得，故选BC．6．（多选）若圆和圆恰有三条公切线，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由圆，可得，圆心为，半径为2，由圆，可得，其圆心为，半径为4，由题可得，∴，取则，故A错误；由，可得，23
∴，当且仅当时取等号，∴，故B正确；由可知为圆心半径为3的圆上任意一点，则，即，故C正确；由，可得，当且仅当时取等号，∴，故D错误，故选BC．7．（多选）已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（）A．圆恒过原点B．圆与圆内切C．直线被圆所截得弦长的最大值为D．直线与圆相离【答案】ABC【解析】A．代入点得恒成立，A正确；B．，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；C．直线被圆所截得弦长为，23
，即直线被圆所截得弦长的最大值为，C正确；D．圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，D错误，故选ABC．8．设与相交于两点，则________．【答案】【解析】将和两式相减：得过两点的直线方程：，则圆心到的距离为，所以，故答案为．9．已知圆与圆相交于，两点，则实数的取值范围为_________；若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为__________．【答案】，或或【解析】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径．23
，因为圆和圆相交于，两点，所以，两圆的方程相减，可得直线的方程为．因为圆上存在点，使得为等腰直角三角形，①当为直角顶点时，则直线过圆的圆心，所以，即；②当或为直角顶点时，则直线或直线过圆的圆心，则，即到直线的距离为，所以，解得或，故答案为；或或．10．已知两圆和．求：（1）取何值时两圆外切？（2）取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？（3）求时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【答案】（1）；（2），；（3），．【解析】（1）解：由题意，两圆和，可化为和，23
可得圆心坐标分别为，半径分别为，当两圆相外切时，可得，即，解得．（2）解：由圆心距，当两圆内切时，可得，即，解得，因为，可得两圆公切线的斜率是，设切线方程为，则有，解得，当时，直线与圆相交，舍去；故所求公切线方程为，即．（3）解：由圆和，两圆的方程相减，可得，可得，即两圆的公共弦的方程为，则圆心到公共弦的距离为，又由弦长公式，可得弦长为．11．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．（1）若l被圆O截得弦长为，求l方程；（2）若直线l上存在两点M､N，满足，在圆O上存在点P使得，求k的取值范围．23
【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题干可知，，将圆心代入表达式得，故，若l被圆O截得弦长为，则弦心距，将代入得，解得，又，故直线方程为．（2）当直线与圆有公共点时，即，时，当点与点重合时，满足，符合题意；当直线与圆无公共点时，即，因为，所以在以为直径的圆上，设中点为，则圆的方程为，此时圆与圆，则圆心距，即，故只需到直线距离，解得，故，综上所述，．12．在平面直角坐标中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，设点，在圆上是否存在点使，若有请求出点的坐标，若没有请说明理由．23
【答案】存在，或．【解析】由题设，与y轴的交点为，对称轴为，若与x轴交点横坐标分别为，则，，∴，若圆半径为，圆心为，∴，解得，∴圆半径为，圆心为，则圆的方程为，设，由题意有，整理得．∴圆心为，半径为2，故两圆的圆心距离，∴两圆相交，作差可得，联立，整理得，∴，即或．3．与圆有关的综合性问题1．直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为（）A．6B．4C．2D．【答案】C【解析】由直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，得，，所以，由圆得圆心，半径，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，23
则，所以，，故选C．2．若点是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为（）A．5B．6C．D．【答案】C【解析】由题知，直线过定点，所以圆心到定点的距离为，所以点到直线距离的最大值为，故选C．3．若点为圆的弦的一个三等分点，则弦的长度为（）A．B．4C．D．【答案】A【解析】不妨设P为靠近A的一个三等分点，设AB的中点为Q，原点为O，，则，由，，得，所以，故，故选A．4．已知圆，过直线上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆中，圆心，半径，设，则，即，23
则（当且仅当时等号成立），故选A．5．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆O的切线PA、PB，切点为A、B．当四边形PAOB面积最小时，直线AB的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵的圆心为，半径，当点P与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形PAOB的面积最小，∴直线l，则PO的方程为，联立，解得，∴，∴以OP为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减可得，故选B．6．已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆，设，则，因为，所以，又，所以，23
又，所以，即，又，所以，故选D．7．（多选）已知圆与圆交于不同的两点，下列结论正确的有（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】①②①－②即得公共弦AB所在直线方程，将A的坐标代入得：③，故B正确；将B的坐标代入得：④③－④得：，故A错误；两圆圆心分别为，因为两圆半径相等，所以中点和AB中点为同一点，故，C正确；，D错误，故选BC．8．（多选）已知圆，点在圆O外，以线段OP为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点，则（）A．直线PA，PB均与圆O相切B．当时，点P在圆上运动C．当时，点M在圆上运动23
D．若，则直线AB的方程为【答案】ACD【解析】由题意知，线段为圆的直径，则，可得，即原点到直线的距离等于半径，所以直线均与圆O相切，所以A正确；当时，因为，且，则，所以点P在圆上运动，所以B错误；当时，，则圆M的半径为，所以点M在圆上运动，所以C正确；若，则点，则圆，又由圆，将这两圆的方程两端分别相减并整理，得直线AB的方程为，所以D正确，故选ACD．9．设，直线与直线相交于点，点是圆上的一个动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意得：，，恒过定点，恒过定点，又，点轨迹是以为直径的圆，即为圆心，为半径的圆，点轨迹为，圆与圆的圆心距，23
两圆相离，的最小值是两圆圆心距减去两圆半径之和，即，故答案为．10．设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线PA，PB（切点为A，B），若的最大值为，则该圆的半径r等于______．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，若最大值为时，则，也为最大值，又，最大时，则最小，点P是直线上的动点，为圆点，故的最小值即为点到直线的距离，，故答案为．11．已知圆，，则圆与圆的位置关系是___________；若点P在直线上运动，点Q在圆与圆的圆周上运动，则|PQ|的最小值为___________．【答案】外切，23
【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，即圆与圆的位置关系为外切．因为，，所以直线与直线平行，由于，所以的最小值为两圆中，任意一个圆的圆心到直线与半径的差．因为圆的圆心为到直线的距离为，所以的最小值为，故答案为外切，．12．已知，，，且．（1）求动点C的轨迹E；（2）若点为直线上一动点，过点P引轨迹E的两条切线，切点分别为A、B，两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求面积的最小值．【答案】（1）动点C的轨迹E是以（2，0）为圆心，1为半径的圆；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴动点C的轨迹E是以(2，0)为圆心，1为半径的圆．（2）设切线方程为，即，PA，PB的斜率为，，故圆心C到切线的距离，得，∴，，在切线方程中令可得，23
故，∴，当时，等号成立，故面积的最小值．13．已知圆，点，直线．（1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；（2）在直线上(为坐标原点)，是否存在定点(不同于点)，满足：对于圆上任一点，都有为一常数，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）存在点，使得对于圆上任一点，都有为常数，理由见解析．【解析】（1）所求直线与直线垂直，所求直线的斜率为．设所求直线方程为，即．直线与圆相切，，，所求直线方程为或．（2）设，则，假设存在这样的点，使得为常数，且．23
则，所以，将代入上式消去，得对恒成立，，解得或(舍去)．存在点，使得对于圆上任一点，都有为常数．23
