云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01） 一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a＞4”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（ ）A．①③B．②③C．①④D．②④3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）A．B．4C．D．64．（5分）已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（ ）A．﹣B．1C．﹣或1D．﹣1或5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（ ）第19页共19页,A．11B．10C．8D．76．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（ ）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（ ）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（ ）A．2：3B．1：3C．1：4D．1：6第19页共19页,10．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是 ．12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有 个零点．13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是 ．14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是 ．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是 ．第19页共19页, 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值（2）求点E到平面A1DB的距离．20．（13分）在数列{an}中，a1=1，an=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）（1）当n≥2时，求证：=（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；（1）讨论f（x）的单调性；第19页共19页,（2）设g（x）=（a2+）ex（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围． 第19页共19页,云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a＞4”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：集合A={x||x|≤4，x∈R}={x|﹣4≤x≤4}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，由A⊆B，可得B≠∅，即有（5﹣4）（﹣4﹣a）≤0且（5+4）（4﹣a）≤0，解得a≥4，则则“A⊆B”是“a＞4”的必要不充分条件，故选B． 2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（ ）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面考察①选项，此命题正确，若m⊥α，则m垂直于α中所有直线，由n∥α，知m第19页共19页,⊥n；考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面；考察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ，再由m⊥α，得到m⊥γ．故选C． 3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）A．B．4C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C． 4．（5分）已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（ ）A．﹣B．1C．﹣或1D．﹣1或第19页共19页,【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2﹣q3﹣1=0，解得q3=，故选：A． 5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（ ）A．11B．10C．8D．7【解答】解：根据框图的流程，当输入x1=6，x2=9时，不满足|x1﹣x2|=3＜2，当输入x3＜7.5时，满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x2=x3．输出P==8.5⇒x3=11（舍去）；当输入x3≥7.5时，不满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x1=x3，输出P==8.5⇒x3=8．第19页共19页,故选：C． 6．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A． 第19页共19页,7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（ ）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）【解答】解：存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2﹣2x+5）min．令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5∴m＞5故选：B． 8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（ ）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ），故选：D． 第19页共19页,9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（ ）A．2：3B．1：3C．1：4D．1：6【解答】解：如图所示，∵点P满足++=，∴=，∴．∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：AC=1：3．故选：B． 10．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C正确；第19页共19页,D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确．故选A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是 （﹣∞，0） ．【解答】解：∵命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，∴p为真时，m=﹣（2x）2﹣2×2x，存在x∈R成立∴m的取值范围是：m＜0又∵非p”是假命题∴p是真命题∴m∈（﹣∞，0）故答案为：（﹣∞，0） 12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有 1 个零点．【解答】解：当a＞3时，由于次二次函数f（x）=x2﹣ax+1，可得f（0）=1＞0，f（2）=5﹣2a＜0，即f（0）f（2）＜0，故函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有一个零点，故答案为：1． 13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是 ＜＜ ．第19页共19页,【解答】解：函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，设g（x）==，g′（x）=，可得0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增，由0＜a＜b＜c＜1，可得g（a）＜g（b）＜g（c），即＜＜．故答案为：＜＜． 14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是 （2，10） ．【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个…∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴第57个数对在第11组之中的第2个数，从而两数之和为12，应为（2，10）；故答案为：（2，10）． 15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是 2 ．第19页共19页,【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体ABCDEF，其中面ABCD为等腰梯形，EF∥BC∥AD，EF在平面ABCD上的射影在梯形ABCD的中位线上，分别过E、F作BC、AD的垂线，把原几何体分割为两个四棱锥及一个三棱柱，则几何体的体积V=．故答案为：2． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα【解答】解：∵α∈（0，π），∴，又，∴，∴=． 17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+第19页共19页,m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）依题意，以O为坐标原点建立直角坐标系，则A（3，﹣4），B（6，﹣3），C（5﹣m，﹣3﹣m），∵A，B，C能构成三角形，则A、B、C三点不共线，若A、B、C三点共线，则=t⇔（3，1）=t（2﹣m，1﹣m），即，解得；∴当m≠时，A，B，C能构成三角形；（2）∵=（2﹣m，1﹣m），m∈[1，2]，∴2=（2﹣m）2+（1﹣m）2=2m2﹣6m+5=2（m﹣）2+，其对称轴为m=，当m∈[1，]时，该函数单调递减，当m∈[，2]时，该函数单调递增，∴当m=1或m=2时，2取得最大值1．∵对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，∴﹣x2+x+3≥=1，即x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2．∴x的取值范围为[﹣1，2]． 18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=第19页共19页,）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？【解答】解：因为，所以…（4分）≥2=，当且仅当v=40时取等号；当v0≥40时，Q≤50，所以v=40，Qmax=50…（8分）当0＜v0＜40时，…（12分） 19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值（2）求点E到平面A1DB的距离．【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，a，），A1（a，0，a）．…（3分）（1）设直线A1E与平面BDD1B1所成的角为α．因为AC⊥平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的法向量为，又．，第19页共19页,所以s．…（6分）（2）设=（x，y，1）为平面A1DB的法向量，∵，∴x=﹣1，y=1…（8分）∴又…（11分）即点E到平面A1DB的距离为．…（12分） 20．（13分）在数列{an}中，a1=1，an=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）（1）当n≥2时，求证：=（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．【解答】（1）证明：当n≥2时，，…（1分）所以…（4分）故…（5分）（2）证明：当n≥2时，…（6分）第19页共19页,=…（8分）=…（10分）=．…（11分）当n=1时，…（12分）综上所述，对任意n∈N*，不等式都成立．…（13分） 21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=（a2+）ex（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．【解答】．解：（1）f'（x）=﹣[x2+（a﹣2）x﹣3a﹣3]e3﹣x=﹣（x﹣3）（x+a+1）e3﹣x由﹣a﹣1=3得a=﹣4，当a=﹣4时，f′（x）=﹣（x﹣3）2e3﹣x≤0，此时函数在（﹣∞，+∞）上为减函数，当a＜﹣4时，﹣a﹣1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒3＜x＜﹣a﹣1．∴f（x）单调减区间为（﹣∞，3），（﹣a﹣1，+∞），单调增区间为（3，﹣a﹣1）．当a＞﹣4时，﹣a﹣1＜3，f'（x）＜0⇒x＞3或x＜﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒﹣a﹣1＜x＜3．∴f（x）单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1），（3，+∞第19页共19页,），单调增区间为（﹣a﹣1，3）．（2）由（1）知，当a＞0时，﹣a﹣1＜0，f（x）在区间[0，3]上的单调递增，在区间[3，4）]单调递减，而f（0）=﹣（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e﹣1＞0，f（3）=a+6．那么f（x）在区间[0，4]上的值域是F=[﹣（2a+3）e3，a+6]又g（x）=（a2+）ex（a＞0），在[0，4]上是增函数，对应的值域为G=[a2+，（a2+）e4]，∵a＞0，∴﹣（2a+3）e3＜a+6≤a2+＜（a2+）e4，|f（x1）﹣g（x2）|＜1等价为g（x2）﹣f（x1）＜1若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，只需要gmin（x）﹣fmax（x）＜1，∴a2+﹣a﹣6＜1，得4a2﹣4a﹣3＜0，得﹣＜a＜∵a＞0，∴0＜a＜∴a的取值范围为（0，）． 第19页共19页
