云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁UA）∩B=（ ）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{3}2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（ ）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d等于（ ）A．1B．C．2D．34．（5分）（理）的展开式中的常数项为（ ）A．﹣24B．﹣6C．6D．245．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（ ）A．B．C．（1，2）D．（2，3）6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A．5100B．2550C．5050D．1007．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（ ）第18页共18页,A．6+2B．6+C．6+4D．108．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=（ ）A．B．C．D．29．（5分）下列命题：①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；③若，则a=e；④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．其中所有的真命题是（ ）A．①②B．③④C．②④D．①③10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）A．0B．1C．2D． 二．填空题（本题共4小题，满分共25分）11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为 辆．第18页共18页,12．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想： ．13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为 ．14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ． [几何证明选做题]15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE= ． [坐标系与参数方程选做题]16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为 ． [不等式选做题]17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1第18页共18页,（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．20．（12分）已知：等比数列{an}的首项为a1，公比为q（1）写出数列{an}的前n项和Sn的公式；（2）给出（1）中的公式的证明．21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．22．（13分）已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2．（1）求抛物线C的方程；第18页共18页,（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由． 第18页共18页,云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁UA）∩B=（ ）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{3}【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则∁UA={2，4}，又由集合B={3，4}，则（CUA）∩B={4}，故选A． 2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（ ）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：复数==，所以复数所对应的点的坐标（1，﹣1）故选D． 3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d等于（ ）A．1B．C．2D．3【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选C． 第18页共18页,4．（5分）（理）的展开式中的常数项为（ ）A．﹣24B．﹣6C．6D．24【解答】解：设的二项展开式的通项公式为Tr+1，则Tr+1=（﹣1）r••（2x）4﹣r•x﹣r=（﹣1）r••24﹣r•x4﹣2r，令4﹣2r=0，解得r=2．∴展开式中的常数项为T3=（﹣1）2••22=24．故选D． 5．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（ ）A．B．C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续f（）=，f（1）=log21﹣1＜0，由根的存在性定理可得，f（1）•f（2）＜0故选：C 6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A．5100B．2550C．5050D．100【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，第18页共18页,再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=S=2+4+…+2×50又∵S=2+4+…+2×50=2×=2550故选B． 7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（ ）A．6+2B．6+C．6+4D．10【解答】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，∴它的表面积为3×2×1+2××22×=6+2．故选：A． 8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=（ ）A．B．C．D．2【解答】解：∵A、B、C依次成等差数列∴B=60°∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB得：c=2∴由正弦定理得：S△ABC=故选C 9．（5分）下列命题：第18页共18页,①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；③若，则a=e；④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．其中所有的真命题是（ ）A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：对于①∵f（x）=sin4x﹣cos4x=（cos2x+sin2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，∴f（x）的最小正周期是T==π，所以①正确．对于②∵向量，，，∴=（λ﹣1，1+λ2），∴⇒（λ﹣1）+（1+λ2）=0⇒λ=0或λ=﹣1；λ=﹣1⇒=（﹣2，2）⇒（）∥，∴（）∥的充分不必要条件是λ=﹣1．故命题是假命题；对于③，，转化为：，解得a=e，③正确；对于④，圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充要条件是：圆的圆心坐标在直线方程⇒c=0，④不正确．正确命题是①③．故选D． 10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）A．0B．1C．2D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||第18页共18页,当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C 二．填空题（本题共4小题，满分共25分）11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为 76 辆．【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故答案为：76 12．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想： 第18页共18页, ．【解答】解：观察下列式子：，，，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得：．故答案为：． 13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为 6 ．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线x+y=z过点A（2，4）时，z最大，z最大是6，故答案为：6． 14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ．【解答】解：∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列第18页共18页,∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6．共有6×2=12种情况，也可全相同，有6种情况∴共有18种情况若不考虑限制，有63=216落地时向上的点数依次成等差数列的概率为=故答案为： [几何证明选做题]15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE= ．【解答】解：∵PC是圆O的切线，∴由切割线定理得：PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8，∴PA=2，∴OA=OB=3，连接OC，OC=3，在直角三角形POC中，利用面积法有，∴CE==．故填：．第18页共18页, [坐标系与参数方程选做题]16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为 ．【解答】解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：． [不等式选做题]17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为 m∈[﹣3，5] ．【解答】解：|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣1和3对应点的距离之和，它的最小值等于4，由不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立知，|m﹣1|≤4，m∈[﹣3，5]故答案为m∈[﹣3，5]． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1第18页共18页,（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∴f（）=sin（2×﹣）+1=×+1=2；…（6分）（2）由f（x）=sin（2x﹣）+1，当2x﹣=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为+1，最小正周期为T==π．…（12分） 19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SD=D，∴AB⊥平面SAD，…（6分）（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，第18页共18页,设AB=2，则A（2，0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0，﹣2），=（2，2，0），=（1，0，1），…（8分）设平面BED的一个法向量为=（x，y，z），由得，取=（1，﹣1，﹣1），…（10分）设直线SA与平面BED所成角为θ，因为cos==，所以sinθ=，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为…（12分） 20．（12分）已知：等比数列{an}的首项为a1，公比为q（1）写出数列{an}的前n项和Sn的公式；（2）给出（1）中的公式的证明．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∴当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=，第18页共18页,∴数列{an}的前n项和Sn=．…（4分）（2）证明：由等比数列及其前n项和的定义知：Sn=a1+a2+…+an=，①当q=1时，Sn=na1，…（7分）当q≠1时，给①式两边同乘q，得qSn=+…+，②由①﹣②，得（1﹣q）Sn==a1（1﹣qn），…（10分）综上：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，，即Sn=．…（12分） 21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）按比例计算得，抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；（2）从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率为=；（3）分析知ξ的取值可以为0，1，2，3，故有，，，．第18页共18页,∴ξ的分布列为：ξ0123p=． 22．（13分）已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）﹣a（x﹣1）=xlnx﹣a（x﹣1），则g′（x）=lnx+1﹣a，由g′（x）＜0，得lnx+1﹣a＜0，解得：0＜x＜ea﹣1；由g′（x）＞0，得lnx+1﹣a＞0，解得：x＞ea﹣1．所以g（x）在（0，ea﹣1）上单调递减，在（ea﹣1，+∞）上单调递增．（2）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1．所以切线l的方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），又切线l过点（0，﹣1），所以有﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（0﹣x0），即﹣1﹣x0lnx0=﹣x0lnx0﹣x0，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为y=x﹣1． 23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2．（1）求抛物线C的方程；第18页共18页,（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），由其定义知，又|AF|=2，所以p=2，y2=4x；（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x=my+n（m≠0），把DE方程代入C，并整理得y2﹣4my﹣4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即﹣4n+2×4m=4，所以n=2m﹣1，代入DE方程得：x=my+2m﹣1，即（y+2）m=x+1，故直线DE过定点（﹣1，﹣2）． 第18页共18页
