云南省玉溪市高考数学模拟试卷（10） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）=（ ）A．﹣2﹣iB．﹣2+iC．2﹣iD．2+i2．（5分）集合A={x||x﹣2|≤2}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B=（ ）A．{x|﹣4≤x≤4}B．{x|x≠0}C．{0}D．∅3．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（ ）A．﹣2B．2C．﹣4D．44．（5分）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A．﹣1＜x＜0或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x＞﹣1D．x＞15．（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n6．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（ ）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形7．（5分）等比数列{an}中a1=512，公比，记（即表示数列{an}的前n项之积），，，，中值为正数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．48．（5分）定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf′（x）＜第16页共16页,0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），则（ ）A．a＞c＞bB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞b＞c 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为 ．高一高二高三女生600y650男生xz75010．（5分）如果实数x，y满足条件那么2x﹣y的最大值为 ．11．（5分）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则cosA= ．12．（5分）右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ？13．（5分）由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有 第16页共16页,个．14．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是 ． 三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（x）•f'（x）的最小值及相应的x值的集合；（2）若f（x）=2f′（x），求的值．16．（12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；第16页共16页,（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．17．（14分）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y﹣12=0的距离最小．18．（14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x）．（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；（2）求f（x）的最大值；（3）当f（x）取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（14分）数列{an}中，前n项和，n=1，2，…．（1）证明数列是等差数列；（2）求Sn关于n的表达式；（3）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（14分）二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）设常数，求直线：y=t2﹣t与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S（t）；（3）已知m≥0，n≥0，求证：． 第16页共16页,云南省玉溪市高考数学模拟试卷（10）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）=（ ）A．﹣2﹣iB．﹣2+iC．2﹣iD．2+i【解答】解：===2﹣i，故选C． 2．（5分）集合A={x||x﹣2|≤2}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B=（ ）A．{x|﹣4≤x≤4}B．{x|x≠0}C．{0}D．∅【解答】解：∵|x﹣2|≤2，∴﹣2≤x﹣2≤2，∴0≤x≤4，即A={x|0≤x≤4}；又B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，∴A∩B={0}．故选C． 3．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（ ）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），第16页共16页,即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D． 4．（5分）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A．﹣1＜x＜0或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x＞﹣1D．x＞1【解答】解：由x＞1能推出x﹣＞0；但由x﹣＞0不能推出x＞1（如x=﹣时），故不等式成立的一个充分不必要条件是x＞1，故选D． 5．（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n【解答】解：对于平面α和共面的直线m、n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．故选C． 6．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（ ）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【解答】解：∵，∴即，可得线段AB、CD平行且相等第16页共16页,∴四边形ABCD是平行四边形又∵，∴⊥，即⊥，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B 7．（5分）等比数列{an}中a1=512，公比，记（即表示数列{an}的前n项之积），，，，中值为正数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：等比数列{an}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数．∴，，，．故选B． 8．（5分）定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），则（ ）A．a＞c＞bB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞b＞c【解答】解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，a=3f（3）=g（3），b=（logπ3）•f（logπ3）=g（logπ3），c=﹣2f（﹣2）=g（﹣2）=g（2）．又logπ3＜1＜2＜3，故a＞c＞b．故选A． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）第16页共16页,9．（5分）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为 30 ．高一高二高三女生600y650男生xz750【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，由抽到高一男生的概率是0.2=，解得x=800，故高二年级的人数为4000﹣600﹣800﹣650﹣750=1200，故在高二抽取的学生人数为1200×=30，故答案为30． 10．（5分）如果实数x，y满足条件那么2x﹣y的最大值为 1 ．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故答案为：1． 11．（5分）在△第16页共16页,ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则cosA= ．【解答】解：在△ABC中，∵（2b﹣c）cosA=acosC，由正弦定理可得2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，化简可得2sinBcosA=sin（A+C），化简求得cosA=，故答案为． 12．（5分）右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 i＞10 ？【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11．在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞10？．故答案为：i＞10． 第16页共16页,13．（5分）由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有 36 个．【解答】解：由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位奇数，各位上的数字情况分析如下：万位可用数字：1、2、3、4千位可用数字：0、1、2、3、4百位可用数字：0、1、2、3、4十位可能数字：0、1、2、3、4个位可用数字：1、3由于题目要求5位数的奇数，所以各位可用的数的个数为：万位可用3个数，千位可用3个数，百位可用2个数，十位可用1个数，个位可用2个数，所以组成的五位数的奇数的个数为：3×3×2×1×2=36个．故答案为：36． 14．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是 ．【解答】解：由已知中三视图，可得这是一个正三棱柱底面的高为2，则底面面积S==4棱柱的高H=2则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：8 第16页共16页,三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（x）•f'（x）的最小值及相应的x值的集合；（2）若f（x）=2f′（x），求的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx﹣sinx，∴g（x）=f（x）•f'（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴当2x=﹣π+2kπ（k∈Z），即时，g（x）取得最小值﹣1，相应的x值的集合为．（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx﹣2sinx，∴cosx=3sinx，故，∴． 16．（12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；第16页共16页,（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．【解答】解：（1）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．…（1分）=0.01+0.16+0.16=0.33．…（4分）答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33；…（5分）（2）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率．故低碳族的概率P=1﹣0.32=0.68．…（9分）随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即，故．…（12分） 17．（14分）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y﹣12=0的距离最小．【解答】解：（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），∴，，．…（3分）由，得，…（4分）∴（x2﹣8x+16）=4（x2﹣2x+1）+4y2，故3x2+4y2=12，即，∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；…（7分）评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣（1分）．（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y﹣12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离．设直线l1的方程为x+2y+m=0（m≠﹣12）．…（8分）第16页共16页,由，消去y得4x2+2mx+m2﹣12=0（*）．依题意得△=0，即4m2﹣16（m2﹣12）=0，故m2=16，解得m=±4．当m=4时，直线l1：x+2y+4=0，直线l与l1的距离．当m=﹣4时，直线l1：x+2y﹣4=0，直线l与l1的距离．由于，故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为．…（12分）当m=﹣4时，方程（*）化为4x2﹣8x+4=0，即（x﹣1）2=0，解得x=1．由1+2y﹣4=0，得，故．…（13分）∴曲线C上的点到直线l的距离最小．…（14分） 18．（14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x）．（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；（2）求f（x）的最大值；（3）当f（x）取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足H，连结BH、GH，∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊂平面EBCF，∴DH⊥平面EBCF，结合EG⊂平面EBCF，得EG⊥DH，∵，EF∥BC，∠ABC=90°．第16页共16页,∴四边形BGHE为正方形，得EG⊥BH．又∵BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH．∵BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD．∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x，又∵．∴三棱锥D﹣BCF的体积为V=f（x）====．∴当x=2时，f（x）有最大值为．（3）由（2）知当f（x）取得最大值时AE=2，故BE=2，结合DH∥AE，可得∠BDH是异面直线AE与BD所成的角．在Rt△BEH中，，∵DH⊥平面EBCF，BH⊂平面EBCF，∴DH⊥BH在Rt△BDH中，，∴．∴异面直线AE与BD所成的角的余弦值为． 19．（14分）数列{an}中，前n项和，n=1，2，…．（1）证明数列是等差数列；第16页共16页,（2）求Sn关于n的表达式；（3）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】证明：（1）由，得．∴，故．…（2分）∴数列由是首项2S1=2a1=1，公差d=1的等差数列；…（4分）解：（2）由（1）得．…（6分）∴；…（8分）（3）由（2），得bn===．…（10分）∴数列{bn}的前n项和…（12分）=．…（14分） 20．（14分）二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）设常数，求直线：y=t2﹣t与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S（t）；（3）已知m≥0，n≥0，求证：．【解答】解：（1）由二次函数图象的对称性，可设f（x）=a（x﹣）2﹣，又f（0）=0，∴a=1，故f（x）=x2﹣x．（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t2﹣t），由定积分的几何意义知，第16页共16页,g（t）=S1（t）+S2（t）=﹣[（t2﹣t）﹣（x2﹣x）]dx﹣[（x2﹣x）﹣（t2﹣t）]dx=[（x2﹣x）﹣（t2﹣t）]dx+[（t2﹣t）﹣（x2﹣x）]dx=[（﹣）﹣（t2﹣t）x]+[（t2﹣t）x﹣（﹣）]=﹣t3+t2﹣t+．（3）∵f（x）的最小值为﹣，∴m﹣≥﹣①n﹣≥﹣②①+②得：m+n+≥+③又（m+n）2+（m+n）=（m+n）（m+n+）由均值不等式和③知：（m+n）≥；m+n+≥+，故（m+n）2+（m+n）=（m+n）（m+n+）≥（+）=m+n． 第16页共16页
