云南省玉溪市高考数学模拟试卷（05） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．13．（5分）设a=30.5，b=log32，c=cos2，则（ ）A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a4．（5分）设向量，若，则=（ ）A．﹣3B．3C．D．5．（5分）已知集合，集合N={y|y=3x，x＞0}，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A．（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）第21页共21页,6．（5分）由曲线xy=1，直线y=x，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（ ）A．B．C．D．4﹣ln37．（5分）函数y=1﹣2sin2（x+）是（ ）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为2π的奇函数8．（5分）下列命题正确的是（ ）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9．（5分）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为（ ）A．﹣1B．﹣C．D．111．（5分）以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）A．B．（x﹣3）2+y2=3C．=3D．（x﹣3）2+y2=912．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）第21页共21页,A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.13．（4分）设非零向量满足，则= ．14．（4分）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是 ．15．（4分）已知F是抛物线y=x2的焦点，M、N是该抛物线上的两点，|MF|+|NF|=3，则线段MN的中点到x轴的距离为 ．16．（4分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：x﹣10245f（x）12021①函数y=f（x）在x=2取到极小值；②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；④如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．其中所有正确命题是 （写出正确命题的序号）．第21页共21页, 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且（I）求角C；（II）求的最大值．18．（12分）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且．（I）求an与bn；（II）设，求Tn的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．（I）求证：CD⊥平面PBD；（II）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．第21页共21页,20．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值． 第21页共21页,云南省玉溪市高考数学模拟试卷（05）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=1时，两直线的方程分别为x﹣y=0，与x+y=0，可得出此两直线是垂直的；当两直线垂直时1×1+（﹣1）×m=0，可解得，m=1，所以“m=1”可得出“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”，由“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”可得出“m=1”所以“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件，故选C 2．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．1【解答】第21页共21页,解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为V=×1×1×1=．故选A． 3．（5分）设a=30.5，b=log32，c=cos2，则（ ）A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a【解答】解：∵，0=log31＜log32＜log33=1，又∵，∴cos2＜0，所以c＜b＜a．故选A． 4．（5分）设向量，若，则=（ ）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：∵=（cosα，﹣1），=（2，sinα），⊥，∴2cosα﹣sinα=0，∴tanα=2．∴tan（α﹣）===．故选C． 第21页共21页,5．（5分）已知集合，集合N={y|y=3x，x＞0}，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A．（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）【解答】解：，N={y|y=3x，x＞0}={y|y＞1}，则阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}，M∪N={x|x≥0}，M∩N={x|1＜x≤2}，所以，即阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}={x|0≤x≤1或x＞2}，即[0，1]∪（2，+∞），故选C． 6．（5分）由曲线xy=1，直线y=x，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（ ）A．B．C．D．4﹣ln3【解答】解：由xy=1得，由得xD=1，所以曲边四边形的面积为：，故选C．第21页共21页, 7．（5分）函数y=1﹣2sin2（x+）是（ ）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为2π的奇函数【解答】解：因为函数y=f（x）=1﹣2sin2（x+）=cos2（x+）=﹣sin2x，x∈R；所以函数y=f（x）的最小正周期为T==π，且f（﹣x）=﹣sin2（﹣x）=sin2x=﹣f（x），所以f（x）是定义域R上的奇函数．故选：B． 8．（5分）下列命题正确的是（ ）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b第21页共21页,∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C． 9．（5分）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C． 10．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为（ ）A．﹣1B．﹣C．D．1【解答】解：∵不等式组所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点（2，0），∵y=kx﹣1，与x轴的交点为（，0），y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为（），三角形的面积为：=，第21页共21页,解得：k=1．故选D． 11．（5分）以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）A．B．（x﹣3）2+y2=3C．=3D．（x﹣3）2+y2=9【解答】解：由已知，双曲线中，c2=6+3，c=3，焦点在x轴上，故圆心（3，0），渐近线方程：y=±x，又圆与渐近线相切，∴圆心到渐近线距离即为半径长，r==，∴所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=3，故选B． 12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）第21页共21页,A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.13．（4分）设非零向量满足，则= 120° ．【解答】解：因为，所以，所以，第21页共21页,所以，即，所以，由向量夹角的范围可得．故答案为：120° 14．（4分）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是 ．【解答】解：∵a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…an﹣an﹣1=n，等式两边同时累加得an﹣a1=2+3+…+n，即，所以第n个图形中小正方形的个数是．故答案为 15．（4分）已知F是抛物线y=x2的焦点，M、N是该抛物线上的两点，|MF|+|NF|=3，则线段MN的中点到x轴的距离为 ．【解答】解：抛物线的焦点为（0，），准线为y=﹣，过M，N分别作准线的垂线，则|MM'|=|MF|，|NN'|=|NF|，所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=3，所以中位线|PP′|==，所以中点P到x轴的距离为|PP′|﹣=﹣=．第21页共21页,故答案为：． 16．（4分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：x﹣10245f（x）12021①函数y=f（x）在x=2取到极小值；②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；④如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．【解答】解：由图象可知当﹣1＜x＜0，2＜x＜4时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜2，4＜x＜5时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，所以当x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．所以①正确．②函数在[0，2]上单调递减，所以②错误．③因为x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．第21页共21页,所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）=0，因为f（﹣1）=f（5）=1，所以由函数图象可知当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；正确．④因为函数在[﹣1，0]上单调递增，且函数的最大值为2，所以要使当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t≥0即可，所以t的最小值为0，所以④正确．故答案为：①③④． 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且（I）求角C；（II）求的最大值．【解答】解：（I）∵∴即由余弦定理cosC==∵C∈（0，π）∴（II）由题意可得====2sin（A）∵A∈（0，π）∴第21页共21页,∴∴的最大值为2 18．（12分）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且．（I）求an与bn；（II）设，求Tn的值．【解答】解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且，∴，即，解得：．∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）•3=3n，．（Ⅱ）Tn=anb1+an﹣1b2+an﹣2b3+…+a1bn=3n•1+3（n﹣1）•3+3（n﹣2）•32+…+3×2×3n﹣2+3•3n﹣1=n•3+（n﹣1）•32+（n﹣2）•33+…+2•3n﹣1+3n．∴．∴=（32+33+…+3n+1）﹣3n==．∴． 第21页共21页,19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．（I）求证：CD⊥平面PBD；（II）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，所以AB⊥BC．PB⊥底面ABCD．而CD⊂底面ABCD，所以PB⊥CD．在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=BC，所以BD=CD=BC，所以BD⊥CD．又因为PB∩BD=B，所以CD⊥平面PAC（Ⅱ）解：设平面EBD的法向量为=（x，y，1），B（0，0，0），E，，D（1，1，0），则，即，又∵平面ABE的法向量为=（0，1，0），∴cos==．即二面角A﹣BE﹣D的大小的余弦值为．第21页共21页, 20．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；第21页共21页,（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．【解答】解：（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，∴椭圆C的标准方程为：；（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x﹣1），将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=，故y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣2k=，∵四边形OAPB为平行四边形，∴=+，从而，，第21页共21页,又P（x0，y0）在椭圆上，∴，整理得：，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4﹣4k2﹣4=0，解得k=±，故所求直线l的方程为：y=±（x﹣1）． 22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥﹣1﹣lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴﹣1﹣lnx∈（﹣∞，﹣3]．∴a≥﹣3；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即x•lnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，也就是k（x﹣1）＜x•lnx+ax﹣ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为k对任意x∈（1，+∞）恒成立，设函数h（x）=，则，第21页共21页,再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1﹣ln1﹣2=﹣1，m（2）=2﹣ln2﹣2=﹣ln2，m（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，m（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣ln4＞0．∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，∴在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0+1=x0﹣1，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3． 第21页共21页
