云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁UN）等于（ ）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3}2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（ ）A．y=x﹣1B．y=|x﹣1|C．D．3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）A．B．C．D．5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（ ）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+第17页共17页,2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（ ）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[2，4]7．（5分）设奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时f（x）=2x+1，则f（x）在区间[﹣2，0]上的表达式为（ ）A．f（x）=2x+1B．f（x）=﹣2﹣x+4﹣1C．f（x）=2﹣x+4+1D．f（x）=2﹣x+18．（5分）正实数x1，x2及函数f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值为（ ）A．4B．2C．D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是 ．10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是 ．11．（5分）设g（x）=，则g（g（））= ．12．（5分）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（4）x2≠y2⇔x≠y或x≠﹣y；（5）命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的序号是 ．（把符合要求的命题序号都填上）13．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是 ．14．（5分）函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（2x﹣x2）的单调减区间为 ． 第17页共17页,三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a2﹣2a﹣2）＜3．19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+第17页共17页,f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2． 第17页共17页,云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁UN）等于（ ）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3}【解答】解：∵全集U=R，M={x|x＞2，或x＜﹣2}，N={x|﹣1＜x＜3}，∴CUN={x|x≤﹣1，或x≥3}，M∩（CUN）={x|x＜﹣2，或x≥3}，故选B． 2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（ ）A．y=x﹣1B．y=|x﹣1|C．D．【解答】解：函数y=10lg（x﹣1）的定义域为{x|x＞1}，且y=x﹣1对于A，它的定义域为R，故错；对于B，它的定义域为R，故错；对于C，它的定义域为{x|x＞1}，解析式也相同，故正确；对于D，它的定义域为{x|x≠﹣1}，故错；故选C． 3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第17页共17页,【解答】解：∵（a﹣1）（a﹣2）=0，∴a=1或a=2，根据充分必要条件的定义可判断：若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件，故选：A 4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A 5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（ ）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断【解答】解：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，第17页共17页,但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=，函数不是列出函数，定义域为R，没有零点．则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．故选：D． 6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（ ）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[2，4]【解答】解：∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴其对称轴是x=2，可设其方程为y=a（x﹣2）2+b∵f（0）=3，f（2）=1∴解得a=，b=1函数f（x）的解析式是y=（x﹣2）2+1∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，∴m≥2又f（4）=3，由二次函数的性质知，m≤4综上得2≤m≤4故选D 7．（5分）设奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时f（x）=2x+1，则f（x）在区间[﹣2，0]上的表达式为（ ）A．f（x）=2x+1B．f（x）=﹣2﹣x+4﹣1C．f（x）=2﹣x+4+1D．f（x）=2﹣x+1【解答】解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，第17页共17页,∴﹣x+4∈[4，6]，又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，∴f（﹣x+4）=2﹣x+4+1．又∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）的周期为T=4，∴f（﹣x+4）=f（﹣x），又∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=2﹣x+4+1，∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣2﹣x+4﹣1．故选：B． 8．（5分）正实数x1，x2及函数f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值为（ ）A．4B．2C．D．【解答】解：由已知得，由f（x1）+f（x2）=+=1于是可得：，所以得：=≥2，①设=t，则①式可得：t2﹣2t﹣3≥0，又因为t＞0，于是有：t≥3或t≤﹣1（舍），从而得≥3，即：≥9，所以得：f（x1+x2）===≥1﹣=．第17页共17页,所以有：f（x1+x2）的最小值为．故应选：C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是 ∃x∈R，x2+2x+2≤0 ．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故答案为：∃x∈R，x2+2x+2≤0 10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是 （﹣，1） ．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）． 11．（5分）设g（x）=，则g（g（））= ．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．第17页共17页,故答案为：． 12．（5分）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（4）x2≠y2⇔x≠y或x≠﹣y；（5）命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的序号是 （2）（6） ．（把符合要求的命题序号都填上）【解答】解：对于（1），梯形的对角线不一定相等，∴（1）错误；对于（2），无理数是无限不循环小数，无理数是实数，∴（2）正确；对于（3），△=22﹣4×1×3＜0，方程x2+2x+3=0无实根，∴（3）错误；对于（4），x2≠y2⇔x≠y且x≠﹣y，∴（4）错误；对于（5），命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，∴（5）错误；对于（6），“若p或q”为假命题，则它的否定“非p且非q”是真命题，（6）正确；对于（7），a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，则必有a＞0且△＜0，∴（7）错误；综上，以上真命题的序号是（2）（6）．故答案为：（2）（6）． 13．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是 ．【解答】解：如图所示：曲线，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（3≤y≤5，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，第17页共17页,可得=2，∴b=1+2，或b=1﹣2．结合图象可得﹣1≤b≤1+2，故答案为：． 14．（5分）函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（2x﹣x2）的单调减区间为 （0，1） ．【解答】解：由y=g（x）=（）x，得x=，∴函数g（x）=（）x的反函数为，该函数为定义域内的减函数，由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2，函数y=2x﹣x2在（0，1）内为增函数，由复合函数的单调性可得，f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）．故答案为：（0，1）． 第17页共17页,三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？【解答】解：（1）f（x）=sin2x+x，=，=，=，函数的最小正周期为：T=．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），函数的单调递减区间为：（k∈Z）．（2）函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，再将函数图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+）+的图象． 16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）【解答】解：（I）当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，第17页共17页,所以（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则此函数在[0，450]上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元． 17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【解答】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=2，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴=（0，0，2），=（2，2，0），=（﹣2，2，0）∴•=0，•=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（2）解：由（1）得=（0，2，﹣2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），第17页共17页,即，故平面PCD的法向量可取为=（0，1，1）∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得cosθ=，∴二面角P﹣CD﹣B的大小是45°．（3）解：由（1）得=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），同理，可得平面PBD的法向量为=（1，1，1）．∵=（2，2，﹣2），∴C到面PBD的距离为d=||=． 18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a2﹣2a﹣2）＜3．【解答】解：（1）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵x＞0，f（x）＞2；∴f（x2﹣x1）＞2；又f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2＞2+f（x1）﹣2=f（x1），第17页共17页,即f（x2）＞f（x1）．所以：函数f（x）为单调增函数（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）﹣2=[f（1）+f（1）﹣2]+f（1）﹣2=3f（1）﹣4=5∴f（1）=3．即f（a2﹣2a﹣2）＜3⇒f（a2﹣2a﹣2）＜f（1）∴a2﹣2a﹣2＜1⇒a2﹣2a﹣3＜0解得：﹣1＜a＜3． 19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，∴f（x）+f（﹣x）=2，即，所以2m=2，∴m=1．（2）因为函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，则g（x）+g（﹣x）=2，第17页共17页,∴g（x）=2﹣g（﹣x），∴当x＜0时，则﹣x＞0，∴g（﹣x）=x2﹣ax+1，∴g（x）=2﹣g（﹣x）=﹣x2+ax+1；（3）由（1）知，，∴f（t）min=3，又当x＜0时，g（x）=﹣x2+ax+1∴g（x）=﹣x2+ax+1＜3，∴ax＜2+x2又x＜0，∴，∴． 20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．【解答】解：（1）证明：令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h（x）是单调递减函数，所以，方程h（x）=0，即f（x）﹣x=0至多有一解，又由题设①知方程f（x）﹣x=0有实数根，所以，方程f（x）﹣x=0有且只有一个实数根…..（4分）第17页共17页,（2）易知，，满足条件②；令，则，…..（7分）又F（x）在区间[e，e2]上连续，所以F（x）在[e，e2]上存在零点x0，即方程g（x）﹣x=0有实数根，故g（x）满足条件①，综上可知，g（x）∈M…（9分）（3）证明：不妨设α＜β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，∴f（α）＜f（β），即f（β）﹣f（α）＞0，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h（x）是单调递减函数，∴f（β）﹣β＜f（α）﹣α，即f（β）﹣f（α）＜β﹣α，∴0＜f（β）﹣f（α）＜β﹣α，则有|f（α）﹣f（β）|＜|α﹣β|≤|α﹣2012|+|β﹣2012|＜2．（14分） 第17页共17页
