2021年甘肃省白银市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。1．（3分）（2021•白银）3的倒数是 A．B．3C．D．2．（3分）（2021•白银）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是 A．B．C．D．3．（3分）（2021•白银）下列运算正确的是 A．B．C．D．4．（3分）（2021•白银）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为 A．B．C．D．5．（3分）（2021•白银）将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为 A．B．C．D．第39页（共39页）\n6．（3分）（2021•白银）如图，直线，的顶点在上，若，则 A．B．C．D．7．（3分）（2021•白银）如图，点，，，，在上，，，则 A．B．C．D．8．（3分）（2021•白银）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为 A．B．C．D．第39页（共39页）\n9．（3分）（2021•白银）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则 A．B．C．2D．310．（3分）（2021•白银）如图1，在中，，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为 A．3B．6C．8D．9二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。11．（3分）（2021•白银）因式分解： ．12．（3分）（2021•白银）关于的不等式的解集是 ．13．（3分）（2021•白银）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．14．（3分）（2021•白银）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：体温36.336.436.536.636.736.8天数（天233411这14天中，小芸体温的众数是 ．15．（3分）（2021•白银）如图，在矩形中，是边上一点，，第39页（共39页）\n，是边的中点，，则 ．16．（3分）（2021•白银）若点，在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”或“”17．（3分）（2021•白银）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一圆心角为的扇形，则此扇形的面积为 ．18．（3分）（2021•白银）一组按规律排列的代数式：，，，，，则第个式子是 ．三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19．（4分）（2021•白银）计算：．20．（4分）（2021•白银）先化简，再求值：，其中．21．（6分）（2021•白银）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；第39页（共39页）\n①作线段的垂直平分线，分别交于点，于点，连接，；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点，两点不重合），连接，，．（2）直接写出引理的结论：线段，的数量关系．22．（6分）（2021•白银）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取，两处分别测得和的度数，，在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上，两点的距离为，，．问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）．参考数据：，，，，，．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．第39页（共39页）\n23．（6分）（2021•白银）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。24．（7分）（2021•白银）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：第39页（共39页）\n等级成绩（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？25．（7分）（2021•白银）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示．（1）小刚家与学校的距离为 ，小刚骑自行车的速度为 ；第39页（共39页）\n（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？26．（8分）（2021•白银）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径及的值．27．（8分）（2021•白银）问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．（1）求证：四边形是正方形；第39页（共39页）\n（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．28．（10分）（2021•白银）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．（1）求抛物线的表达式；（2）当时，连接，求的面积；（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．第39页（共39页）\n2021年甘肃省白银市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。1．（3分）（2021•白银）3的倒数是 A．B．3C．D．【分析】根据倒数的定义进行答题．【解答】解：设3的倒数是，则，解得，．故选：．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）（2021•白银）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是 A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．是轴对称图形，故此选项符合题意；第39页（共39页）\n．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：．【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．3．（3分）（2021•白银）下列运算正确的是 A．B．C．D．【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．【解答】解：、原式，所以选项的计算错误；、原式，所以选项的计算错误；、原式，所以选项的计算正确；、原式，所以选项的计算错误．故选：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．4．（3分）（2021•白银）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为 A．B．C．D．第39页（共39页）\n【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：将50亿用科学记数法表示为．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．5．（3分）（2021•白银）将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为 A．B．C．D．【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【解答】解：将直线向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为．故选：．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．6．（3分）（2021•白银）如图，直线，的顶点在上，若，则 A．B．C．D．第39页（共39页）\n【分析】根据角的和差得到,再根据两直线平行，同位角相等即可得解．【解答】解：,，,，,故选：．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．7．（3分）（2021•白银）如图，点，，，，在上，，，则 A．B．C．D．【分析】连接、，可得，由圆周角定理即可得．【解答】解：连接、，，，第39页（共39页）\n，．故选：．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．（3分）（2021•白银）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为 A．B．C．D．【分析】设共有人，辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设共有人，辆车，依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（3分）（2021•白银）对于任意的有理数，，如果满足第39页（共39页）\n，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则 A．B．C．2D．3【分析】根据是“相随数对”得出，再将原式化成，最后整体代入求值即可．【解答】解：是“相随数对”，，，即，，故选：．【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．10．（3分）（2021•白银）如图1，在中，，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为 第39页（共39页）\nA．3B．6C．8D．9【分析】先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，，再由运动结合的面积的变化，得出点和点重合时，的面积最大，其值为3，即，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．【解答】解：由图2知，，，，，，，，在中，①，设点到的距离为，，动点从点出发，沿折线方向运动，当点运动到点时，的面积最大，即，由图2知，的面积最大为3，，②，第39页（共39页）\n①②得，，，（负值舍去），③，将③代入②得，，或，，，，故选：．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出和点和点重合时，的面积为3是解本题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。11．（3分）（2021•白银）因式分解： ．【分析】提取公因式进行因式分解．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式的技巧准确计算是解题关键．12．（3分）（2021•白银）关于的不等式的解集是 ．第39页（共39页）\n【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：，故答案为：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．13．（3分）（2021•白银）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 1 ．【分析】根据根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，△，解得：．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．14．（3分）（2021•白银）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：体温36.336.436.536.636.736.8天数（天233411这14天中，小芸体温的众数是 36.6 ．第39页（共39页）\n【分析】根据众数的定义就可解决问题．【解答】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．故答案为：36.6．【点评】本题主要考查了众数的定义，正确理解众数的意义是解决本题的关键．15．（3分）（2021•白银）如图，在矩形中，是边上一点，，，是边的中点，，则 6 ．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出长，再根据矩形的性质得出,,然后解直角三角形即可．【解答】解：是边的中点，，,,,又四边形是矩形，,,,在中，,故答案为：6．第39页（共39页）\n【点评】本题考查了矩形的性质直角三角形斜边上的中线以及解直角三角形，关键是利用直角三角形斜边上的中线求出的长．16．（3分）（2021•白银）若点，在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”或“”【分析】反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，判断出的值的大小关系．【解答】解：，反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，点，同在第三象限，且，，故答案为．【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，17．（3分）（2021•白银）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一圆心角为的扇形，则此扇形的面积为 ．【分析】连接，根据圆周角定理得出为圆的直径，解直角三角形求出，根据扇形面积公式求出即可．【解答】解：连接,第39页（共39页）\n从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，即，为直径，即，（扇形的半径相等），，，阴影部分的面积是．故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．18．（3分）（2021•白银）一组按规律排列的代数式：，，，，，则第个式子是 ．【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中的次数是式子的序号；第二项的符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中的次数是序号的2倍减1，据此即可写出．【解答】解：观察代数式，得到第个式子是：．故答案为：．【点评】本题考查了探索规律，根据所排列的代数式，总结出规律是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第39页（共39页）\n19．（4分）（2021•白银）计算：．【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记是解题的关键．20．（4分）（2021•白银）先化简，再求值：，其中．【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将的值代入求出答案．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．21．（6分）（2021•白银）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段的垂直平分线，分别交于点，于点，连接，；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点，两点不重合），连接，，．（2）直接写出引理的结论：线段，的数量关系．第39页（共39页）\n【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②根据要求作出图形即可．（2）证明可得结论．【解答】解：（1）①如图，直线，线段，线段即为所求．②如图，点，线段，，即为所求作．（2）结论：．理由：垂直平分线段，，，，，，，．，，在和中，第39页（共39页）\n，，．【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题．22．（6分）（2021•白银）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取，两处分别测得和的度数，，在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上，两点的距离为，，．问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）．参考数据：，，，，，．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．第39页（共39页）\n【分析】设设，在中，可得出，在中,，再由,列式计算即可得出答案．【解答】解：设，在中，,在中,,,,解得，．答：宝塔的高度约为．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．23．（6分）（2021•白银）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1第39页（共39页）\n个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．【分析】（1）设白球有个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于的方程，解之即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计摸到红球的概率为0.75，设白球有个，根据题意，得：，解得，经检验是分式方程的解，估计箱子里白色小球的个数为1；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第39页（共39页）\n24．（7分）（2021•白银）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：等级成绩（1）本次调查一共随机抽取了 200 名学生的成绩，频数分布直方图中 ；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？【分析】（1）由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以第39页（共39页）\n等级对应百分比可得的值；（2）总人数乘以等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解即可；（4）总人数乘以样本中、等级人数和所占比例即可．【解答】解：（1）一共调查学生人数为，等级人数，故答案为：200，16；（2）等级人数为，补全频数分布直方图如下：（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在等级，所以所抽取学生成绩的中位数落在等级；故答案为：．（4）估计成绩优秀的学生有（人．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（7分）（2021•白银）如图1第39页（共39页）\n，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示．（1）小刚家与学校的距离为 3000 ，小刚骑自行车的速度为 ；（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？【分析】（1）根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为，小刚骑自行车的速度为；（2）先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；（3）把代入（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）由题意得，小刚家与学校的距离为，小刚骑自行车的速度为：，故答案为：3000；200；（2）小刚从图书馆返回家的时间：，总时间：，设小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式为，第39页（共39页）\n把，代入得：，解得,；（3）小刚出发35分钟时，即当时，．答：此时他离家．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用该数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．26．（8分）（2021•白银）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径及的值．【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到,设,则,,在中，根据勾股定理求出,即的半径为3，由平行线的性质得到,在中，可求得,即．第39页（共39页）\n【解答】（1）证明：,,,,是的直径，,,,即,,是的半径，是的切线；（2）解：，,，，,设,则,,,是直角三角形，在中，,,第39页（共39页）\n解得，,,即的半径为3，,,在中，,．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．27．（8分）（2021•白银）问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．【分析】（1）根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形；第39页（共39页）\n（2）根据矩形的性质得，，利用可得，由全等三角形的性质得，由已知可得，即可得是等腰三角形；（3）延长到点，使，连接，利用可得，由全等三角形的性质得，，由已知可得，可得是等边三角形，则，等量代换可得．【解答】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，，，，，四边形是矩形，四边形是正方形；第39页（共39页）\n（2）解：是等腰三角形，理由：四边形是矩形，，，，，，，，是等腰三角形；（3）解：延长到点，使，连接，四边形是菱形，,,,,，，，,第39页（共39页）\n，是等边三角形，，．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（10分）（2021•白银）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．（1）求抛物线的表达式；（2）当时，连接，求的面积；（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）求出点的坐标，可得结论．第39页（共39页）\n（3）①过点作于,证明,推出,,由,可得,由题意直线的解析式为,设,,根据,构建方程求解，可得结论．②因为的周长,所以要使得的周长最小，只要的值最小，因为,所以当点在上时，的值最小．【解答】解：（1）抛物线过，两点，,解得,．（2）,,,,轴，轴，在和中，,即,,,第39页（共39页）\n当时，,,即,,．①如图1中，过点作于,四边形是矩形，,,,,,,,,第39页（共39页）\n,,,直线的解析式为,设,,由得到，,,,,,,,,．②如图2中，第39页（共39页）\n,,的周长,要使得的周长最小，只要的值最小，,当点在上时，的值最小，,的周长的最小值为．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．第39页（共39页）
