5.1数列的概念第五章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数.备考指导本节内容是数列的基础,复习时要注意数列的函数特征,理解Sn与an的关系,能根据已知的递推公式特点选择恰当的方法求数列的通项公式.对逻辑推理和数学运算素养有一定的要求.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.数列的相关概念(1)定义:把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.(2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an},an是数列的第n项.\n温馨提示对数列概念的理解(1)多项性:数列概念中强调了“一列数”,即数列不止一个数,也就是说数列不止一项.(2)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,注意与集合中元素的无序性区别开来.(3)重复性:数列的项可重复出现,注意与集合中元素的互异性区别开来.(4)标准性:数列有固定的标准表示形式,例如数列中项与项之间用“,”隔开,不能用“、”隔开;an与{an}也不同,an表示数列{an}的第n项,其中下标n表示项的位置序号,而{an}表示数列a1,a2,…,an,….\n2.数列与函数的关系由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号123…n…↓↓↓↓项a1a2a3…an…所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).\n3.数列的分类温馨提示有穷数列的最后一项也叫数列的末项,无穷数列没有末项.\n4.数列的表示方法5.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.\n问题思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系?数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.\n6.数列的递推公式像an=3an-1(n≥2)这样,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项.7.数列的前n项和及前n项和公式我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示.()(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.()(3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.()(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.()(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.()××√××\n3.已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是数列{an}的项的是()A.21B.33C.152D.153B根据数列的前5项归纳总结可得,或根据选项检验,B选项符合题意.C依次令an=21,33,152,153,若能得到正整数解,则是数列中的项,否则不是.\n5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,则an=.D2n+1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.当n=1时,a1=S1=3,也适合上式.综上,an=2n+1.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1由数列的前几项求数列的通项公式解(1)偶数项为正数,奇数项为负数,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故该数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).\n\n解题心得1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式(分数)中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征,进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.2.若此类问题为选择题,则可以利用给出数列的前几项进行检验排除,即可得到正确的选项.\nC(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,故a1的分母为1,an的分母为2n-1.由第2,3,4项的分子可知,通项公式的分子为偶数0,2,4,6,…,故a1的分子为0,an的分子为2(n-1).综上,该数列的一个通项公式为,故选C.\nCD\n能力形成点2由an与Sn的关系求通项公式例2(1)在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列{an}的通项公式an=.(2)设Sn是数列{an}的前n项和(Sn≠0),且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.-2n-1由题意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,两式相减,得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an.又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以数列{an}是以a1=-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1.(2)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1.\n解题心得1.已知数列{an}的前n项和Sn,则通项公式当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.2.已知Sn与an的关系式,则应根据所求选择变化方向.若求通项公式,则将已知的n用n-1代替,两式作差,转化为项之间的关系再求解;若求和,则直接利用an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)将已知转化为和之间的关系再求解.\n对点训练2(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式an=.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.因为n=1时,a1=1≠2×1-3,所以数列{an}的通项公式为\n(3)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=2,an+1=2Sn,则Sn=.(-2)n-12×3n-1因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn,所以Sn+1-Sn=2Sn,即Sn+1=3Sn.因为S1=a1=2,所以{Sn}是首项为2,公比为3的等比数列.故Sn=2×3n-1.\n能力形成点3由数列的递推关系式求通项公式命题角度1形如an+1=anf(n),求an例3在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.\n命题角度2形如an+1=an+f(n),求an例4在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公式.解∵an+1=an+3n+2,∴an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2\n拓展延伸本例改为:在数列{an}中,已知a1=3,,则数列{an}的通项公式an=.\n命题角度3形如an+1=pan+q,求an例5已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.解∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∴数列{an+1}为等比数列,且公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1.∴an=2·3n-1-1.\n命题角度4由含an+1与an的二次三项式求an例6已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,(1)求a2,a3;(2)求数列{an}的通项公式.\n\n\n\n(3)在数列{an}中,a1=1,若an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式an=.(4)已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1=an-2an+1an,若,则a8=.3n-2n由an+1=2an+3n,得an+1-3n+1=2(an-3n).则数列{an-3n}是首项为a1-31=-2,公比q=2的等比数列,于是an-3n=-2×2n-1,即an=3n-2n.\n第三环节 学科素养提升\n思想方法——用函数的思想求数列中项的最值数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项公式及前n项和公式的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.\n典例1已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是.答案:(-3,+∞)(方法二)因为{an}是递增数列,所以an<an+1对任意的n∈N*恒成立,即n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),解得λ>-2n-1.由于(-2n-1)max=-3,则λ>-3.\n典例2已知数列{an}.(1)若an=n2-5n+4,①数列{an}中有多少项是负数?②当n为何值时,an取最小值?请求出最小值.(2)若an=-n2+kn+4,且对于n∈N*,都有an+1<an,求实数k的取值范围.\n解:(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列{an}中有两项是负数,即为a2,a3.∴当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1<an知,该数列是一个递减数列.∵通项公式an=-n2+kn+4,可以看作关于n的二次函数,考虑到n∈N*,∴实数k的取值范围是(-∞,3).\n反思提升1.如果数列的通项公式可以看作一个定义在正整数集N*上的二次函数,那么可以利用二次函数图象的对称轴来研究其单调性.2.不要忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.3.数列是一种特殊的函数,但数列an=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的,如典例1中定义在正整数上的函数f(n)在满足时即单调递增,但定义在R上的f(x)不是增函数.
