8.8直线与圆锥曲线第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.能从联立方程的角度理解直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系.2.会求有关圆锥曲线的弦长、过焦点的弦、中点弦等问题.3.能解决直线与圆锥曲线的综合性问题(定点、定值、最值、探索类问题).\n备考指导直线与圆锥曲线是高考中特别重要的内容,每年必考,尤其是直线与椭圆的解答题出现频率相当高.题目具有较强的综合性,该部分内容在客观题型中主要考查直线与圆锥曲线的关系及应用,有时与向量、不等式、函数等内容相融合.本节要注重通性通法的积累和应用,常用的方法有方程法、几何法、点差法、设而不求法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点、仅有一个公共点、有两个不同的公共点.(2)从代数角度看,将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程,通过消元后所得方程解的情况来判断.设直线的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线的方程为f(x,y)=0.消去y后得ax2+bx+c=0.\n①若a=0,则当圆锥曲线为双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线为抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,则Δ=b2-4ac.当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交于不同的两点;当Δ=0时,直线与圆锥曲线相切于一点;当Δ<0时,直线与圆锥曲线没有公共点.\n2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间的距离公式求解弦长.\n\n1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切.(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切.(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条与渐近线平行的直线.\n3.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个交点,为一条与对称轴平行或重合的直线.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)若直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB|=.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l的方程与抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式Δ>0.()√××√×\n2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是()CD\nB\n5.已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦|AB|=.16\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为()A.1B.1或3C.0D.1或0D\nC\n(3)已知直线y=kx-k+1与椭圆x2+my2=3恒有公共点,则实数m的取值范围是_____________.(0,1)∪(1,2]由题意可知直线恒过定点(1,1),且该点在椭圆内或在椭圆上,所以有1+m≤3,解得m≤2.因为方程x2+my2=3表示椭圆,所以m>0,且m≠1.所以0<m≤2,且m≠1.故实数m的取值范围为(0,1)∪(1,2].\n解题心得直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.\n对点训练1A\n\n(2)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x2-x1的最小值为()A\n\n能力形成点2圆锥曲线中的弦长、中点弦问题命题角度1弦长问题\n\n\n命题角度2中点弦问题例3(1)已知双曲线C:(a>0,b>0),斜率为1的直线与双曲线C交于A,B两点,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程为()B\n(2)已知P(1,1)为椭圆内一定点,经过P引一条弦,使此弦被点P平分,则此弦所在的直线方程为.x+2y-3=0\n解题心得1.求弦长的方法及特殊情况(1)求弦长时可利用弦长公式,首先根据联立直线方程与圆锥曲线方程并消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式求解.(2)注意两种特殊情况:直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;直线过圆锥曲线的焦点.2.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:即联立直线方程与圆锥曲线方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.\n对点训练2(1)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.①若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;②若|AB|=20,求直线l的方程.\n\n①求实数m的取值范围;②O为坐标原点,求△AOB面积的最大值.\n\n能力形成点3圆锥曲线中的定点或定值问题命题角度1定点问题例4双曲线Γ:的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l垂直于双曲线Γ的实轴,且交双曲线Γ于不同的两点M,N,直线A1N与直线A2M的交点为P.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点H(1,0)作轨迹C的两条互相垂直的弦DE,FG,证明:过两弦DE,FG中点的直线恒过定点.\n\n\n\n命题角度2定值问题例5如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任意作一条直线与抛物线C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作抛物线C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.\n\n(2)解依题意,切线l的斜率存在且不等于0.设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),将其代入x2=4y,得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0.由Δ=0,得(4a)2+16b=0,整理得b=-a2.故切线l的方程为y=ax-a2.\n解题心得1.求定值问题常见的两种方法(1)先从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可先设直线方程为y=kx+b,再利用条件建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.\n对点训练3①求椭圆C的方程;②设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=1上的动点,直线PA与椭圆的另一交点为M,直线PB与椭圆的另一交点为N.求证:直线MN经过一定点.\n\n(2)已知A(1,2)为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,E,F为抛物线上异于点A的两点,且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.①求直线EF的斜率;\n\n能力形成点4圆锥曲线中的最值或取值范围问题例6已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l'与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.解(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,则动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程为y2=4x.\n\n解题心得圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的相关定理、性质等进行求解;二是代数法,即首先把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个变量的函数,然后利用函数、不等式或导数等知识进行求解.\n对点训练4有一种曲线画图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=,DM=1.栓子D在滑槽AB内做往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图②所示.图①图②\n(1)求曲线C的轨迹方程.(2)设F2为曲线C的右焦点,P为曲线C上一动点,直线PF2的斜率为k(k≠0),且PF2与曲线C的另一个交点为Q,则是否存在点T(0,t),使得∠TPQ=∠TQP?若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.\n\n\n第三环节 学科素养提升\n答题模板——直线与圆锥曲线问题的求解策略典例已知抛物线C:y=mx2(m>0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P为线段AB的中点,过点P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值.(2)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.\n\n\n\n答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步:联立方程,消元得关于x或y的一元二次方程;第二步:设出交点的坐标,写出根与系数的关系,并求出当Δ>0时参数的取值范围(或指出直线过曲线内一点);第三步:根据题目要求列出关于x1x2,x1+x2(或y1y2,y1+y2)的关系式,求得结果;第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况.
