8.2直线的交点坐标与距离公式第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能结合二元一次方程组的解的情况(唯一解、无解、无穷多解)理解两条直线相交、平行、重合的条件,解决有关两条直线位置关系的问题.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.\n备考指导直线的交点坐标与距离公式在高考中一般不单独命题,多与圆、圆锥曲线的知识相融合,主要体现在两条直线的交点坐标的求解,三种距离公式的应用.要重视本节知识的基础地位,比如解析几何方面的选择题、填空题和圆锥曲线的解答题中往往会用到交点坐标和距离公式.本节要注意公式的正确理解,尤其注意公式的适用条件,常用的思想方法有:转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、代入验证法、直线系法等.应加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.两条直线的交点坐标\n2.三种距离\n温馨提示应用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意:(1)将直线方程化为最简的一般形式;(2)利用两条平行直线间的距离公式时,应使两条平行直线的方程中x,y的系数分别对应相等.1.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).2.与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).3.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.\n【知识巩固】×√√\n2.已知直线l1:x-y=0与l2:2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为()A.3B.5C.-5D.-83.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为()A.-3B.3或-3C.3D.1DB\n4.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标为(3,4),则AB的长为.5.直线2x+2y+1=0与x+y+2=0之间的距离是.10根据题意,设A(a,0),B(0,b).因为线段AB的中点M的坐标为(3,4),所以a=6,b=8,所以A(6,0),B(0,8),\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1两条直线的交点与距离问题例1(1)若直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是()A\n(2)若直线l经过点(-1,-2),且原点到直线l的距离为1,则直线l的方程为()A.3x-4y-5=0B.x=-1或3x-4y-5=0C.y=-1D.3x+4y-5=0B当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,满足原点到直线l的距离为1.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0.\n(3)已知直线y=kx+2k+1与直线的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是.\n(方法二)如图,直线与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).直线方程y=kx+2k+1可化为y-1=k(x+2),则该直线过定点P(-2,1),斜率为k.因为两条直线的交点在第一象限,所以两条直线的交点必在线段AB上(不包括端点),所以k需满足kPA<k<kPB.\n解题心得1.求过两条直线交点的直线方程的方法先求出两条直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)使用两条平行线间的距离公式时,要保证两个直线方程中x,y的系数对应相等.\n对点训练1(1)若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离为,则m+n的值为()A.3或-17B.-17C.-3D.17或-3A所以|m+3|=10,解得m=-13或m=7.当m=-13时,m+n=-13-4=-17;当m=7时,m+n=7-4=3.所以m+n的值为3或-17.\n(2)已知点A(-2,1)和点B关于直线l:x+y-1=0对称,斜率为k的直线m过点A交直线l于点C,若△ABC的面积为2,则k的值为()B\n能力形成点2对称问题命题角度1点关于点对称例2过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.x+4y-4=0设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,则有-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为,即x+4y-4=0.\n命题角度2点关于直线对称例3如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()C由已知得直线AB的方程为x+y=4.如图,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0).易知点C,D在直线MN上,\n命题角度3直线关于点对称例4直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线方程为.4x+y-21=0(方法一)设P(x,y)为所求直线上任意一点,Q(x0,y0)为点P关于点M(2,3)的对称点,则点Q在直线y=-4x+1上.所以y0=-4x0+1,所以6-y=-4(4-x)+1,即4x+y-21=0.故所求直线方程为4x+y-21=0.\n(方法二)由题意可知,所求直线与直线y=-4x+1平行,且点M到两条直线的距离相等.将直线方程y=-4x+1化为4x+y-1=0.设所求直线方程为4x+y+c=0(c≠-1),解得c=-21或c=-1(舍去).故所求直线方程为4x+y-21=0.\n命题角度4直线关于直线对称例5直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是.x-2y+3=0设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),又点P'在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直线方程为x-2y+3=0.\n解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A'(x0,y0)的坐标,主要依据直线l是线段AA'的垂直平分线,分别以垂直和平分关系列出方程,得到关于x0,y0的方程组.3.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要依据直线l'上的任意一点T(x,y)关于点M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)在直线l上.4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决.其中有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.\n对点训练2已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;(3)直线l关于点(1,2)对称的直线方程.解(1)设点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标为(x,y),故点P关于直线l的对称点的坐标为(-2,7).\n(2)设点A(x,y)为所求直线上任意一点,点A关于直线l的对称点为A'(x0,y0),(3)设点P(x,y)为所求直线上任意一点,因为点P关于点(1,2)的对称点(2-x,4-y)在直线l上,所以3(2-x)-(4-y)+3=0,即3x-y-5=0.故所求直线方程为3x-y-5=0.\n第三环节 学科素养提升\n方法技巧——妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中,可采用设直线系方程的方式简化运算.常见的直线系有平行直线系,垂直直线系和过直线交点的直线系.1.平行直线系典例1求与直线3x+4y+1=0平行,且过点A(1,2)的直线的方程.解:由题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠1),因为所求直线过点A(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11.故所求直线方程为3x+4y-11=0.\n2.垂直直线系典例2求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程.解:因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C=0,又所求直线过点A(2,1),所以2-2×1+C=0,解得C=0,故所求直线方程为x-2y=0.\n3.过直线交点的直线系典例3求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.(方法二)由题意可知l2与l3不垂直.∵直线l过直线l1和l2的交点P,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.又l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.\n解题心得设直线系方程求直线方程属于待定系数法的范畴,能很大程度上简化计算步骤,减少运算量.要注意利用直线系方程解题时,应理解参数的特点,比如典例3方法二中,当λ∈R时,直线系x-2y+4+λ(x+y-2)=0不包含直线x+y-2=0,因此要检验直线x+y-2=0是否符合题意.
