8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式,体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.4.掌握两条直线平行和垂直的判定和应用.\n备考指导本节内容在高考中主要以选择题或填空题的形式出现,难度中等.主要考查直线的倾斜角与斜率、直线方程的几种形式及直线平行和垂直的应用.本节知识也常和圆、椭圆、双曲线或抛物线的知识相联系,特别是常出现于圆锥曲线的解答题中.新高考强调数学文化背景下的知识考查,因此要注重知识在实际情境中的理解和应用,要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tanα.倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为\n问题思考1直线都有倾斜角,是不是都有斜率?倾斜角越大,其斜率就越大吗?\n3.直线方程的五种形式\n问题思考2“截距”与“距离”有何区别?当截距相等时应注意什么?“截距”是直线与坐标轴交点的对应坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.当截距相等时,应注意考虑过原点的特殊情况.\n4.两条直线的位置关系(1)平面内两条直线有两种位置关系:相交、平行.(2)两条直线平行的判定:①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.②当直线l1,l2不重合,且斜率都不存在时,l1∥l2.(3)两条直线垂直的判定:①当两条直线l1,l2的斜率存在时,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1k2=-1.②当两条直线l1,l2中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.()(2)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.()(3)若直线在x轴、y轴上的截距分别为m,n,则直线方程可记为.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,其方程都可以用(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()(5)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇔l1∥l2.()×××√×\n2.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4A3.(多选)下列关于直线l:x+my-1=0(m∈R)的说法不正确的是()A.直线l的斜率为-mB.直线l的斜率为C.直线l过定点(0,1)D.直线l过定点(1,0)ABC当m≠0时,直线l的方程为y=(x-1),其斜率为,过定点(1,0);当m=0时,直线l的方程为x=1,其斜率不存在,过点(1,0),故A,B不正确,D正确.将点(0,1)的坐标代入直线l的方程得m-1=0,即m=1,故只有当m=1时,直线l才会过点(0,1),故C不正确.\n4.过点P(2,-2),且平行于直线2x+y+1=0的直线的方程为()A.2x+y-2=0B.2x-y-2=0C.2x+y-6=0D.2x+y+2=05.若直线l1:(a+1)x+ay-1=0与l2:ax+(3-2a)y=0互相垂直,则实数a的值为.A设与直线2x+y+1=0平行的直线的方程为2x+y+m=0(m≠1),代入点P的坐标,可得2×2-2+m=0,即m=-2.因此过点P(2,-2),且平行于直线2x+y+1=0的直线的方程为2x+y-2=0.故选A.0或4因为直线l1:(a+1)x+ay-1=0与l2:ax+(3-2a)y=0互相垂直,所以a(a+1)+a(3-2a)=0,解得a=0或a=4.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1直线的倾斜角与斜率例1(1)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是()C\n(2)已知直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为.\n拓展延伸若将例1(2)中点P(1,0)改为点P(-1,0),其他条件不变,则直线l的斜率的取值范围为.\n解题心得1.由直线倾斜角的取值范围求直线斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tanx在区间内的单调性求解.2.已知过一定点的直线与已知线段相交,求直线斜率的取值范围时,注意当直线倾斜角为时,直线斜率不存在.\n对点训练1(1)若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a等于()A(2)已知点A(-2,-3)和点B(-1,0)是平面直角坐标系中的定点,直线y=kx+1与线段AB始终相交,则实数k的取值范围是()A\n能力形成点2求直线的方程例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为.x+2y+1=0或2x+5y=0\n解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.2.若采用截距式,则应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,则应先考虑斜率不存在的情况.\n对点训练2B\n(2)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为.5x-2y-5=0\n能力形成点3两条直线的平行与垂直例3(1)已知直线mx+2y+3=0与直线3x+(m-1)y+m=0平行,则实数m等于()A.-2B.3C.5D.-2或3A由题意可知m≠0.∵直线mx+2y+3=0与直线3x+(m-1)y+m=0平行,\n(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①当l1∥l2时,求a的值;②当l1⊥l2时,求a的值.解①若l1∥l2,则a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1.当a=2时,l1:2x+2y+6=0,即x+y+3=0,l2:x+y+3=0,此时l1与l2重合,不符合题意,舍去.当a=-1时,l1∥l2.故a的值为-1.\n解题心得1.当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线平行、垂直时,也可直接利用直线的一般式方程的系数间的关系得出结论.\n对点训练3(1)直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8,则“m=-1或m=-7”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B\n(2)(多选)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是()A.l2始终过定点B.若l1∥l2,则a=1或a=-3C.若l1⊥l2,则a=0或a=2D.当a>0时,l1始终不过第三象限ACD\n能力形成点4直线方程的综合应用命题角度1与基本不等式相结合的最值问题例4已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,则当取得最小值时,直线l的方程是.x+y-3=0\n命题角度2与函数的导数的几何意义相结合的问题例5设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为()A\n命题角度3与圆相结合的问题例6已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直线x+2y+3=0垂直,则直线l的方程为.2x-y+2=0\n解题心得1.解决与基本不等式相结合的最值问题,注意“1”的代换技巧的应用,并且注意等号成立条件的验证.2.解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.3.解决直线方程与圆的方程相结合的问题,一般是利用直线和圆的位置关系求解.\n对点训练4D(方法一)如图,过点P作圆x2+y2=1的切线PA,PB,切点为A,B.由题意知|OP|=2,|OA|=1,\n\n(2)经过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,当△AOB面积最小时,直线l的方程为.x+2y-4=0\n(3)已知点P为曲线上任意一点,则当曲线在点P处的切线的斜率最小时,该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.\n\n第三环节 学科素养提升\n易错警示——忽略过原点的情况致错典例过点A(3,-1),且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B解析:①当所求的直线在两坐标轴上的截距都不为0时,设该直线的方程为x+y=a(a≠0),把点A(3,-1)的坐标代入所设的方程得a=2,则所求直线的方程为x+y=2,即x+y-2=0.②当所求的直线在两坐标轴上的截距都为0时,设该直线的方程为y=kx,把点A(3,-1)的坐标代入所设的方程得k=-,则所求直线的方程为y=-x,即x+3y=0.综上,所求直线的方程为x+y-2=0或x+3y=0.故选B.\n解题心得解决此类问题易出现的错误有:(1)直接设出截距式方程,忘记过原点的情况;(2)混淆截距与距离.因此,涉及截距、距离等直线问题,要注意分类讨论思想的应用,考虑直线过原点这一特殊情形.\n变式训练经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为.x-y-1=0或x+y-5=0或2x-3y=0\n
