9.8直线与圆锥曲线\n-2-知识梳理双基自测23411.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有两个不同的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.\n-3-知识梳理双基自测2341如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.当Δ0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点;当Δ0时,直线和圆锥曲线相切于一点;当Δ0时,直线和圆锥曲线没有公共点.>=<\n-4-知识梳理双基自测23412.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=或|P1P2|=.(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间的距离公式).\n-5-知识梳理双基自测2341\n-6-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切.(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切.(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.(4)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.(5)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.(6)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条与渐近线平行的直线.\n-7-知识梳理双基自测2341(7)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(8)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(9)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,该直线是一条与对称轴平行或重合的直线.\n2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式Δ>0.()√××√×\n-9-知识梳理双基自测234152.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案解析解析关闭结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0)答案解析关闭C\n-10-知识梳理双基自测234153.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30B.25C.20D.15答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测23415自测点评1.弦长公式使用时要注意直线的斜率情况,对于斜率不存在的直线要单独处理,对于抛物线中的过焦点的弦要使用其特定的公式.2.直线与双曲线或与抛物线的交点问题比直线与椭圆的交点问题更为复杂,除了利用方程分析,还可以结合图象更为直观.\n-14-考点1考点2考点3考点4例1已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.思考如何灵活应用直线与圆锥曲线位置关系?\n-15-考点1考点2考点3考点4解:(1)C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∴抛物线E的方程为y2=12x.\n-16-考点1考点2考点3考点4(2)设直线l的方程为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).与抛物线方程联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1·y2=-12t,∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CP⊥l,且MP经过圆心C(-1,1)时,M到动直线l的距离取得最大值.\n-17-考点1考点2考点3考点4解题心得直线与圆锥曲线位置关系的判断方法:用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.\n-18-考点1考点2考点3考点4(1)求C1的离心率;(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.\n-19-考点1考点2考点3考点4\n-20-考点1考点2考点3考点4\n-21-考点1考点2考点3考点4思考如何求圆锥曲线的弦长?\n-22-考点1考点2考点3考点4\n-23-考点1考点2考点3考点4\n-24-考点1考点2考点3考点4考向二中点弦问题思考解中点弦问题常用的求解方法是什么?\n-25-考点1考点2考点3考点4\n-26-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求弦长的方法及特殊情况:(1)求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后进行整体代入弦长公式求解.(2)注意两种特殊情况:直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;直线过圆锥曲线的焦点.\n-27-考点1考点2考点3考点42.处理中点弦问题常用的求解方法:(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.\n-28-考点1考点2考点3考点4\n-29-考点1考点2考点3考点4\n-30-考点1考点2考点3考点4\n-31-考点1考点2考点3考点4\n-32-考点1考点2考点3考点4\n-33-考点1考点2考点3考点4考向一定点问题(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的右顶点为A,不过点A的直线l与椭圆E相交于P,Q两点,若以PQ为直径的圆经过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.思考如何解决直线过定点问题?\n-34-考点1考点2考点3考点4(2)证明:由(1)得A(2,0).设直线l的方程为my+t=x,P(x1,y1),Q(x2,y2).\n-35-考点1考点2考点3考点4∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,即(my1+t-2)(my2+t-2)+y1y2=0,化为(m2+1)y1y2+(mt-2m)(y1+y2)+(t-2)2=0,\n-36-考点1考点2考点3考点4考向二定值问题例5如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.思考求圆锥曲线中定值问题常见的方法有哪些?\n-37-考点1考点2考点3考点4证明:(1)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,因此动点D在定直线y=-2(x≠0)上.\n-38-考点1考点2考点3考点4(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.即|MN2|2-|MN1|2为定值8.\n-39-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求定值问题常见的两种方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程的解为坐标的点即所求定点;(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.\n-40-考点1考点2考点3考点4对点训练3已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交椭圆于A,B两点,△ABF1的周长为8,且当△AF1F2的面积最大时,△AF1F2为正三角形.(1)求椭圆C的方程;\n-41-考点1考点2考点3考点4(1)解:由已知A,B在椭圆上,可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,又△ABF1的周长为8,所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,即a=2.由椭圆的对称性可得,△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点,则a=2c,即c=1,b2=a2-c2=3,\n-42-考点1考点2考点3考点4(2)证明:若直线l的斜率不存在,即l:x=1,\n-43-考点1考点2考点3考点4\n-44-考点1考点2考点3考点4(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.思考圆锥曲线中最值问题的解法有哪些?\n-45-考点1考点2考点3考点4(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),\n-46-考点1考点2考点3考点4解题心得圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.\n-47-考点1考点2考点3考点4(1)求椭圆C的标准方程;\n-48-考点1考点2考点3考点4(2)根据已知,得M(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),\n-49-考点1考点2考点3考点4解得-2<m<-1或1<m<2.综上所述,实数m的取值范围为(-2,-1)∪(1,2).\n-50-考点1考点2考点3考点41.涉及直线与圆锥曲线的位置关系的判断有两种方法:(1)代数法,即联立直线与圆锥曲线的方程,组成方程组,通过方程组的解来解决;(2)几何法,即利用数形结合思想并找出关键点或关键线.2.弦长问题(1)弦长公式:设直线与圆锥曲线相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则可结合一元二次方程根与系数关系得到如下弦长公式:\n-51-考点1考点2考点3考点4(2)弦的中点问题的解决有点差法、设而不求法.1.直线与椭圆有且只有一个交点,则直线与椭圆相切;直线与双曲线或直线与抛物线有且只有一个交点,则直线与双曲线或直线与抛物线不一定相切.2.利用圆锥曲线中的弦长公式时要注意直线斜率情况,还要注意在抛物线中的焦点弦及其特殊的结论.\n-52-审题答题指导——圆锥曲线中的综合性问题(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.\n-53-\n-54-\n-55-
