2.6幂函数与二次函数\n-2-知识梳理双基自测211.幂函数(1)幂函数的定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是,α是.(2)五种幂函数的图象y=xα自变量常数\n-3-知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质RRR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}增x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0)时,减增增x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减\n-4-知识梳理双基自测212.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2\n-5-知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质\n-6-知识梳理双基自测21\n2-7-知识梳理双基自测3415×××√√\n-8-知识梳理双基自测234152.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测23415A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234154.若幂函数的图象不经过原点,则实数m的值为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点则此函数的解析式为,在区间上单调递减.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测23415自测点评1.幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不出现在第四象限.至于是否出现在第二、第三象限内,要看函数的奇偶性;若幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.2.幂函数y=xα的系数为1,系数不为1的都不是幂函数;当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)内都是增函数,当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)内都是减函数,而不能说在定义域上是增函数或减函数.3.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0;当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况;二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关,不能盲目利用配方法得出结论.4.数形结合的方法是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.\n-13-考点1考点2考点3例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②④D.②③CD\n-14-考点1考点2考点3A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?A\n-15-考点1考点2考点3\n-16-考点1考点2考点3解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在区间(0,+∞)内单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在区间(0,+∞)内单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.\n-17-考点1考点2考点33.比较幂值大小的常见类型及解决方法:(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较;(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较;(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.\n-18-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭\n-19-考点1考点2考点3例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.思考求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3\n-22-考点1考点2考点3解法三(利用交点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.\n-23-考点1考点2考点3对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-24-考点1考点2考点3考向一二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(x),求g(x).思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?\n-25-考点1考点2考点3解:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1.x=1不一定在区间[-2,a]上,当-2<a≤1时,函数在区间[-2,a]上单调递减,则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;当a>1时,函数在区间[-2,1]上单调递减,在区间[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.\n-26-考点1考点2考点3考向二与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.思考如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-27-考点1考点2考点3考向三二次函数中的恒成立问题例5已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.思考由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?\n-28-考点1考点2考点3解(1)∵函数f(x)的最小值为f(-1)=0,∴a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-∞,-1],单调递增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,等价为x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在区间[-3,-1]上单调递减.故g(x)min=g(-1)=1.因此k<1,即k的取值范围为(-∞,1).\n-29-考点1考点2考点3解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[a,b],使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在区间[a,b]上的取值范围是f(x0)在区间[a,b]上的取值范围的子集,即3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值.\n-30-考点1考点2考点3对点训练3(1)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关(2)已知当x∈[0,1]时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a有最大值2,则a的值为.(3)已知a是实数,当x∈[-1,1]时,函数f(x)=2ax2+2x-3恒小于零,则a的取值范围为.B-1或2\n-31-考点1考点2考点3所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.(2)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,其对象的对称轴方程为x=a.当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,则1-a=2,即a=-1.当0≤a≤1时,f(x)max=a2-a+1,则a2-a+1=2,即a2-a-1=0,当a>1时,f(x)max=f(1)=a,则a=2.综上可知,a=-1或a=2.\n-32-考点1考点2考点3(3)由题意知2ax2+2x-3<0在区间[-1,1]上恒成立.当x=0时,-3<0,符合题意;\n-33-考点1考点2考点31.幂函数y=xα(α∈R)的图象的特征:当α>0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限图象从左往右是逐渐上升;当α<0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限图象从左往右是逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表达式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.
