活页作业 幂函数与二次函数一、选择题1．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)解析：由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)图象关于x＝对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f(0)<f(2)<f(－2)．答案：D3．(理)(2022·枣庄模拟)当0<a<b<1时，下列不等式正确的是( )A．(1－a)>(1－a)b B．(1＋a)a>(1＋b)bC．(1－a)b>(1－a) D．(1－a)a>(1－b)b解析：由条件知0<1－a<1,0<1－b<1,1<1＋a<2,1<1＋b<2.A中，(1－a)<(1－a)b，不正确；B中，(1＋a)a<(1＋a)b<(1＋b)b，不正确；C中，(1－a)b<(1－a)，不正确；D中，(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，正确．答案：D3．(文)(2022·绍兴模拟)x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )5\nA．2x>x>lgx B．2x>lgx>xC．x>2x>lgx D．lgx>2x>x解析：当x∈(0,1)时，2x>1,0<x<1，lgx<0，所以有2x>x>lgx.答案：A4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x＝a≤1，故“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：A5．(文)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m＋1)的值( )A．正数 B．负数 C．非负数 D．与m有关解析：方法一：∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝，而－m，m＋1关于对称，∴f(m＋1)＝f(－m)<0，方法二：∵f(－m)<0，∴m2＋m＋a<0，∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a<0.答案：B6．(金榜预测)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5\n解析：函数f(x)＝的图象如图．知f(x)在R上为增函数．∵f(2－a2)>f(a)，即2－a2>a.解得－2<a<1.答案：C二、填空题7．(理)已知函数f(x)＝x，且f(2x－1)<f(3x)，则x的取值范围是________．解析：由条件知f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数．∵f(2x－1)<f(3x)，∴f(|2x－1|)<f(|3x|)，∴|2x－1|<|3x|.两边平方整理得5x2＋4x－1>0解得x<－1或x>.答案：{x|x<－1或x>}7．(文)已知函数f(x)＝x，且f(2x－1)<f(3x)，则x的取值范围是________．解析：由<得：∴x≥.答案：8．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．解析：由题意得：x＝1－2y≥0，∴0≤y≤，∴2x＋3y2＝3y2＋2(1－2y)＝3y2－4y＋2＝32－＋2∴当y＝时2x＋3y2有最小值.答案：9．(2022·合肥模拟)已知函数f(x)＝|x2－2x－t|，其中t为常数且t∈R，5\n(1)若t＝0，则方程f(x)－log2(x＋2)＝0的解的个数为______；(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝______.解析：(1)当t＝0时，方程f(x)－log2(x＋2)＝0，即|x2－2x|＝log2(x＋2)，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝|x2－2x|与y＝log2(x＋2)的图象，结合图象可知，这两个函数的图象有两个不同的交点，此时方程|x2－2x|＝log2(x＋2)有两个实数解．由题意可知，函数f(x)的最大值只可能在x＝1或x＝3处取得．(2)若在x＝1处取得最大值，则有|1－2－t|＝2，t＝1或t＝－3，当t＝1，x＝3时，y＝2；当t＝－3，x＝3时，y＝6(舍去)．若在x＝3处取得最大值，则有|9－6－t|＝2，t＝1或t＝5，当t＝1，x＝1时，y＝2；当t＝5，x＝1时，y＝6(舍去)．综上所述，t＝1.答案：2,1∴f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝＝1－.又a≥1，故1－∈，1，∴M＝f(－2)＝9a－2，5\nm＝f＝1－.g(a)＝M＋m＝9a－－1.又g(a)在区间[1，＋∞)上为单调递增的，∴当a＝1时，g(a)min＝.10．(文)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．5
