课时提升作业(九)幂函数与二次函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·南阳模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点则k+α=( )A.B.1C.D.2【解析】选C.因为f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点所以所以α=,所以k+α=1+=.2.(2022·唐山模拟)设y1=0.,y2=0.,y3=0.,则 ( )A.y3<y2<y1B.y1<y2<y3C.y2<y3<y1D.y1<y3<y2【解析】选B.幂函数y=是定义域上的单调递增函数,所以0.<0.,指数函数y=0.5x是定义域上的单调递减函数,所以0.<0.,故y1<y2<y3.【加固训练】(2022·淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是( )A.2a>>(0.2)aB.(0.2)a>>2aC.>(0.2)a>2aD.2a>(0.2)a>【解析】选B.若a<0,则幂函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>>0.所以(0.2)a>>2a.3.(2022·西安模拟)函数y=x-x的图象大致为( )-7-\n【解析】选A.函数y=x-x为奇函数.当x>0时,由x-x>0,即x3>x可得x2>1,即x>1,结合选项,选A.4.(2022·天津模拟)抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,与x轴的两个交点分别位于原点两侧,则a,b,c的取值范围是( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b>0,c<0【解析】选B.由题意,抛物线开口向下,故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧,得ac<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得->0,所以b>0.5.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( )A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a≠0时,需解得-3≤a<0,综上可得-3≤a≤0.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.【加固训练】设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]【解析】选D.二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1],所以a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.6.(2022·松原模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0-7-\n【解题提示】画出f(x)的大致图象,根据f(m)<0确定m的范围,从而确定m+1与0的关系,再根据f(x)的单调性判断.【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.7.若x≥0,y≥0,且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为( )A.2B.C.D.0【解题提示】把2x+3y2转化为关于y的二次函数求解.【解析】选B.由x≥0,y≥0,且x+2y=1得x=1-2y≥0,所以0≤y≤,设t=2x+3y2,把x=1-2y代入,得t=2-4y+3y2=所以t=2x+3y2在上递减,所以当y=时,t取到最小值,tmin=.【误区警示】解答本题时易忽视“x≥0”,导致y的取值范围错误,从而得不到正确答案.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·兰州模拟)已知函数f(x)=x,且f(2x-1)<f(3x),则x的取值范围是 .【解析】f(x)=x在[0,+∞)上为增函数,f(2x-1)<f(3x),则0≤2x-1<3x,所以x≥.答案:x≥【加固训练】若(a+1)<(3-2a),则a的取值范围是 .-7-\n【解析】因为函数y=x在定义域(0,+∞)上递减,所以即答案:9.(-6≤a≤3)的最大值为 .【解析】因为所以当a=-时,的值最大,最大值为.答案:10.(2022·江苏高考)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 .【解析】由题意得解得-<m<0.答案:-<m<0(20分钟 40分)1.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( )A.B.C.D.1【解析】选D.当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,因为x∈,所以f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,所以m≥1,n≤0,m-n≥1,-7-\n所以m-n的最小值是1.2.(5分)(2022·湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③;④.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③【解析】选D.设幂函数为y=xn,则有,得n=,则幂函数为y=,由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x增大而减小,即,所以②③正确.3.(5分)(2022·嘉兴模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选C.当x≥0时,f(x)=x2+2x为增函数,由于f(x)是奇函数,故f(x)在R上为增函数.由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,解得-2<a<1.故实数a的取值范围是(-2,1).4.(12分)(2022·大连模拟)指出函数f(x)=的单调区间,并比较f(-π)与的大小.【解析】f(x)==1+=1+(x+2)-2,其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.所以该函数在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数,且其图象关于直线x=-2对称(如图).-7-\n又因为-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-,所以f(-π)>f（-）.5.(13分)(能力挑战题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值.(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.【解析】(1)由f(0)=2可知c=2.又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+2=0的两实根.所以解得a=1,b=-2.所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2].当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1.当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x=1.所以即所以f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x=又a≥1,故所以M=f(-2)=9a-2.m=-7-\ng(a)=M+m=9a--1.又g(a)在区间[1,+∞)上单调递增,所以当a=1时,g(a)min=.【加固训练】(2022·沈阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间.(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.【解析】(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.(2)设x>0,则-x<0,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),所以f(x)=(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为最小值.综上,g(x)min=-7-
