6.2等差数列及其前n项和\n-2-知识梳理双基自测23411.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为(n∈N*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=.第2项差同一个常数公差an+1-an=d等差中项a1+(n-1)dam+(n-m)d\n-3-知识梳理双基自测23412.等差数列及其前n项和的性质(1)若m+n=p+q,则(m,n,p,q∈N*);m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N*).(2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为的等差数列.(3)若{an},{bn}是等差数列,p,q∈R,则{pan+qbn}也是等差数列.(4)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列也是数列.(5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).am+an=ap+aqmd等差\n-4-知识梳理双基自测2341(2)当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列.\n-5-知识梳理双基自测23414.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最值;若a1<0,d>0,则Sn存在最值.大小\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()×√×√√×\n-7-知识梳理双基自测234152.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是()A.25日B.40日C.35日D.30日答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234153.在等差数列{an}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为()A.-14B.-7C.7D.14答案解析解析关闭∵a3+a6=11,a5+a8=39,∴4d=28,解得d=7.故选C.答案解析关闭C\n-9-知识梳理双基自测234154.(2020全国Ⅱ,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.25解析:设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.\n-10-知识梳理双基自测234155.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415自测点评1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.2.等差数列与函数的区别:当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式.\n-12-考点1考点2考点3考点4例1(1)在等差数列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,则公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6思考求等差数列基本量的一般方法是什么?BC\n-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵在等差数列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,∴公差d的值是3.故选B.(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.\n-14-考点1考点2考点3考点4\n-15-考点1考点2考点3考点4(方法三)∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,经检验m=5是原方程的解.故选C.\n-16-考点1考点2考点3考点4解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程(组)解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.\n-17-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.C100\n-18-考点1考点2考点3考点4\n-19-考点1考点2考点3考点4(2)设等差数列{an}的公差为d,\n-20-考点1考点2考点3考点4例2已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些?\n-21-考点1考点2考点3考点4(1)证明由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又因为b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.故an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.因为a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.\n-22-考点1考点2考点3考点4解题心得等差数列的判定方法:(1)证明数列{an}为等差数列的基本方法有两种:①利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*);②利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).(2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接判断:①通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.②前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}是等差数列.(3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.\n-23-考点1考点2考点3考点4对点训练2设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列{an}的通项公式;\n-24-考点1考点2考点3考点4\n-25-考点1考点2考点3考点4考向一等差数列项的性质的应用例3(1)在等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则{an}的前9项和等于()A.-18B.9C.18D.36(2)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-26-考点1考点2考点3考点4考向二等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列{an}中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.思考本例题应用什么性质求解比较简便?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-27-考点1考点2考点3考点4解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,p∈N*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N*)相结合,可减少运算量.2.在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列\n-28-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)已知等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17D.51(2)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分(3)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.AD45\n-29-考点1考点2考点3考点4\n-30-考点1考点2考点3考点4(3)∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.\n-31-考点1考点2考点3考点4例5在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法?\n-32-考点1考点2考点3考点4\n-33-考点1考点2考点3考点4∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.\n-34-考点1考点2考点3考点4解题心得求等差数列(公差不为0)前n项和Sn最值的三种方法(1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.②利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.\n-35-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为()A.5B.6C.5或6D.11答案解析解析关闭(1)依题意得2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.(2)由题意,得S6=6a1+15d=5a1+10d,∴a6=0,故当n=5或n=6时,Sn最大,选C.答案解析关闭(1)B(2)C\n-36-考点1考点2考点3考点41.等差数列的判断方法(1)定义法;(2)等差中项法;(3)利用通项公式判断;(4)利用前n项和公式判断.2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列.3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解.\n-37-考点1考点2考点3考点4注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n≥2”;否则,当n=1时,a0无定义.\n-38-思想方法——整体思想在等差数列中的应用整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,若要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.\n-39-典例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为.答案:28解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a3+a5=2a4,∴由a3+a4+a5=12得3a4=12,即a4=4.\n-40-典例2在等差数列{an}中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=.答案:-(m+n)解析:设{an}的公差为d,则由Sn=m,Sm=n,
