5.2等差数列及其前n项和第五章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.备考指导等差数列是最重要的基本数列,也是高考必考内容.高考既可能在解答题中考查,也可能在选择题或填空题中出现.复习时要牢记基本公式,能准确进行基本量的运算,并且掌握相关性质以简化运算.还要注重数学文化在等差数列中的渗透以及对函数与方程思想运用较多,培养数学运算的核心素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项如果三个数a,A,b组成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,由等差数列的定义知2A=a+b.温馨提示1.a,A,b是等差数列的充要条件是2A=a+b.2.数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2).\n3.等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.4.等差数列的前n项和公式\n5.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d),当d=0时,an=a1为常数函数,当d≠0时,an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上的一群均匀分布的孤立的点.(2).当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).温馨提示当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列.\n1.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.2.若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.4.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.6.若{an}是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列.\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()(4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()×√√√×\n2.已知等差数列{an}满足a3=13,a13=33,则a7等于()A.19B.20C.21D.22CD由题意可得,2a11=a9+a13,即a13=7.由等差数列前n项和公式,\n4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.5.在100以内(包括100)的正整数中有个能被6整除.14设等差数列{an}的公差为d.∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,16由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列{an},则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)×6=6n.由an=6n≤100,即,则在100以内(包括100)的正整数中有16个能被6整除.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1等差数列基本量的运算例1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6C设等差数列{an}的公差为d.(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.\n(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,则等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1.\n(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于()A.12B.13C.14D.15B\n(3)(2020全国Ⅱ,文14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.25设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,则可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,则可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.\n对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于()A.100B.99C.98D.97C\n(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.(3)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=.-72\n能力形成点2等差数列的判定与证明例2已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)·an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式.解由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.\n\n解题心得等差数列的判定方法(1)证明数列{an}为等差数列的基本方法有两种:①利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d;②利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1.(2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接判断:①通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.②前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}是等差数列.(3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.\n对点训练2(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.\n能力形成点3等差数列的性质与应用命题角度1等差数列项的性质的应用例3(1)在等差数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于()A.95B.100C.135D.80B由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1+a2)]=40+3×20=100.\n(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8等于()A.72B.88C.92D.98C(方法一)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列{an}是公差d=3的等差数列.又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,(方法二)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列{an}是公差为3的等差数列,\n(3)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=.21因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.\n命题角度2等差数列前n项和的性质的应用例4(1)在等差数列{an}中,a1=-2021,其前n项和为Sn,若,则S2021的值等于()A.-2020B.-2018C.-2021D.-2019C\nA\n(3)在等差数列{an}中,若前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.210设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列前n项和的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-成等差数列,则2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).又Sm=30,S2m=100,S2m-Sm=100-30=70,则S3m-S2m=2(S2m-Sm)-Sm=110,故S3m=110+100=210.\n解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,p∈N*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N*)相结合,可减少运算量.2.在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列Sm,-Sm,S3m-,…也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.\n对点训练3(1)已知等差数列{an},若a2=2,a3+a5+a7=15,则数列{an}的公差d等于()A.0B.1C.-1D.2B根据等差数列的性质,a3+a5+a7=3a5=15,得a5=5,即a5-a2=3=3d,可得d=1,故选B.(2)已知等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17D.51A由题意知,S17==17a9=51,得a9=3.根据等差数列的性质a5+a13=a7+a11,故a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.\nD\n(4)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.45∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.\n能力形成点4等差数列前n项和的最值问题例5(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为()A.6B.7C.8D.9C在等差数列{an}中,∵a4<0,a5>|a4|,∴a5>0,a5+a4>0,∴使Sn>0成立的最小正整数n为8.故选C.\n(2)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.\n\n解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)利用函数的性质:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.②利用相关性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.\n对点训练4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是()A.5B.6C.7D.8B依题意得2a6=4,2a7=-2,则a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.\n(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.①求数列{an}的通项公式;②求Sn,并求Sn的最小值.解①设数列{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7,得d=2.故数列{an}的通项公式为an=2n-9.②由①得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.故当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.\n第三环节 学科素养提升\n思想方法——整体思想在等差数列中的应用整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有整体代入、整体加减、整体代换、整体联想等.在等差数列中,当要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.\n典例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为.答案:28解析:设等差数列{an}的公差为d.∵a3+a5=2a4,∴由a3+a4+a5=12,得3a4=12,即a4=4.∴a1+3d=4,故S7=7a1+=7(a1+3d)=7×4=28.\n典例2在等差数列{an}中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=.答案:-(m+n)
