第九章解析几何\n-2-\n9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程\n-4-知识梳理双基自测23411.直线的倾斜角(1)定义:x轴与直线方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.(2)倾斜角的取值范围为.正向向上0°[0,π)\n-5-知识梳理双基自测23412.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα,倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式\n-6-知识梳理双基自测23413.直线方程的五种形式y=kx+by-y0=k(x-x0)\n-7-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的特殊直线方程①当x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1;②当x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1;③当x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为x=0;④当x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0.(2)直线系方程①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C);②与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).\n2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.()(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.()(4)若直线在x轴、y轴上的截距分别为m,n,则方程可记为(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.()××××√×\n-9-知识梳理双基自测234152.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234153.直线x+y+m=0(m∈R)的倾斜角为()A.30°B.60°C.150°D.120°答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭kx+y+2=-k可化为y+2=-k(x+1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(-1,-2).答案解析关闭(-1,-2)4.已知直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点.\n-12-知识梳理双基自测234155.已知直线l过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测23415自测点评1.斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式,也可以通过求倾斜角的正切值来实现.2.对于直线方程的五种形式,一定要理解其结构特点及适用范围.3.直线的点斜式、斜截式是最常用的形式,点斜式主要体现点和斜率,斜截式主要体现斜率及在y轴上的截距,都具有非常鲜明的几何特点.\n-14-考点1考点2考点3(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是.思考直线倾斜角的取值范围和斜率的取值范围的关系有哪些?例1(1)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是()C\n-15-考点1考点2考点3\n-16-考点1考点2考点3\n-17-考点1考点2考点3解题心得1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tanx在[0,π)内的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)内并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率的取值范围时,应注意当倾斜角为时,直线无斜率.\n-18-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭\n-19-考点1考点2考点3例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为.(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为.思考求直线方程时应注意什么?\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3\n-22-考点1考点2考点3解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.\n-23-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知直线x+a2y-a=0(a>0,a是常数),当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时,a的值是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-24-考点1考点2考点3思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-25-考点1考点2考点3考向二与圆相结合的问题例4在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是.思考直线方程与圆的方程相结合的问题常见解法是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-26-考点1考点2考点3解题心得直线方程综合问题的两大类型及解法:(1)与函数的导数的几何意义相结合的问题,解决这类问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来解决相关问题;(2)直线方程与圆的方程相结合的问题,一般是利用直线和圆的位置关系,或通过联立直线方程与圆的方程所构成的方程组等来解决相关问题.\n-27-考点1考点2考点3(2)已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直线x+2y+3=0垂直,则l的方程为.对点训练3(1)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()D2x-y+2=0\n-28-考点1考点2考点3\n-29-考点1考点2考点3\n-30-考点1考点2考点31.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,要想到k=tanα,必要时可结合正切函数的图象求解.2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法:(1)已知直线的纵截距,常设方程的斜截式;(2)已知直线的横截距和纵截距,常设方程的截距式(截距均不为0);(3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在情况;(4)仅知道直线的横截距,常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距,m是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.\n-31-考点1考点2考点31.斜率公式k=(x1≠x2)与两点的顺序无关,且两点的横坐标不相等,若题目中无明确两点的横坐标不相等,则要分类讨论.2.设直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后处理常规情况.\n-32-易错警示——都是漏掉“过原点”惹的祸典例求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.\n-33-反思提升本题易出现的错误有:(1)直接设出截距式方程,而忘记过原点的情况;(2)利用点斜式方程形式而忘记分析直线斜率情况.
