课时提升作业(四十三)直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=0【解析】选A.直线l的方程为y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0.2.(2022·枣庄模拟)将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位,再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线l′,此时直线l′与l重合,则直线l′的斜率为( )A.B.-C.D.-【解析】选B.结合图形,若直线l先沿y轴的负方向平移,再沿x轴正方向平移后,所得直线与l重合,这说明直线l和l′的斜率均为负,倾斜角是钝角.设l′的倾斜角为θ,则tanθ=-.3.(2022·成都模拟)若直线(a+1)x+2y=0与直线x-ay=1互相垂直,则实数a的值等于( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.由(-)×=-1,得a+1=2a,故a=1.4.(2022·嘉兴模拟)如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.5.(2022·石家庄模拟)已知b>0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab的最小值等于( )A.1B.2C.2D.2-7-\n【解题提示】先由两直线垂直可得到关于a,b的一个等式,再将ab用一个字母来表示,进而求出最值.【解析】选B.因为直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,所以(b2+1)-b2a=0,即a=所以ab=()b==b+≥2(当且仅当b=1时取等号),即ab的最小值等于2.6.经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( )A.8x+5y+20=0或2x-5y-12=0B.8x-5y-20=0或2x-5y+10=0C.8x+5y+10=0或2x+5y-10=0D.8x-5y+20=0或2x-5y-10=0【解析】选D.由题意设所求方程为y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0.由·|5k-4|·|-5|=5得,k=或k=.故选D.7.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是( )【解析】选B.直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,因为kMA=-7-\nkMB=由图可知:-a>-且-a<,所以a∈(-,).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·郑州模拟)已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°,则直线l2的斜率k2的值为 .【解析】设直线l2的倾斜角为α2,则由题意知:180°-α2+15°=60°,α2=135°,所以k2=tanα2=tan135°=-1.答案:-19.(2022·哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为 .【解析】设所求直线l的方程为=1,由已知可得解得所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0【误区警示】解答本题时易误以为直线在两坐标轴上的截距均为正而致误,根本原因是误将截距当成距离而造成的.-7-\n10.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α不是钝角,则实数a的取值范围是 .【解题提示】可先求出倾斜角α为钝角时,实数a的范围,其补集应为不是钝角时的范围.【解析】由题知过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的斜率k=若直线的倾斜角α为钝角,则k=<0,解得-2<a<1.所以满足直线的倾斜角α不是钝角的a的取值范围是a≤-2或a≥1.答案:a≤-2或a≥1(20分钟 40分)1.(5分)直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值为( )A.3或-1B.0或3C.0或-1D.-1或0或3【解析】选C.两直线无公共点,即两直线平行.当a=0时,这两条直线分别为x+6=0和x=0,无公共点;当a≠0时,由解得a=-1或a=3.若a=3,这两条直线分别为x+9y+6=0,x+9y+6=0,两直线重合,有无数个公共点,不符合题意,舍去;若a=-1,这两条直线分别为x+y+6=0和3x+3y+2=0,两直线平行,无公共点.综上,a=0或a=-1.【误区警示】本题易忽视对a=3时的验证.事实上,当两直线平行且斜率存在时,斜率相等;而当两直线的斜率相等时,两直线不一定平行,要注意两直线重合的情况.2.(5分)若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .【解析】根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1.又C(-2,-2)在该直线上,故所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0,根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4.又ab>0,得≥4,-7-\n故ab≥16,即ab的最小值为16.答案:16【一题多解】斜率法:因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,即以下同题目解析.距离法:由题意得a<0,b<0,且|AC|+|CB|=|AB|,所以解得2a+2b+ab=0,以下同题目解析.【方法技巧】研究三点共线的常用方法(1)方程法:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程.(2)斜率法:过其中一点与另外两点连线的斜率相等.(3)向量法:以其中一点为公共点,与另外两点连成的有向线段所表示的向量共线.(4)距离法:设B点在A,C点之间,如果|AB|+|BC|=|AC|,则A,B,C三点共线.3.(5分)设集合A={(x,y)|=2},B={(x,y)|4x+ay-16=0},若A∩B=,则a的值为 .【解析】显然集合A表示直线2x-y+1=0(除去点(1,3)),集合B表示直线4x+ay-16=0,因为A∩B=,所以两直线平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),因此a=-2或a=4.答案:-2或4【误区警示】本题易出现漏解的错误,错误原因是对集合A认识不正确,误认为是一条直线.4.(12分)已知两点A(-1,2),B(m,3).(1)求直线AB的方程.(2)已知实数m∈[--1,-1],求直线AB的倾斜角α的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1.当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1).(2)①当m=-1时,α=;②当m≠-1时,m+1∈[-,0)∪(0,],所以k=∈(-∞,-]∪[,+∞),-7-\n所以α∈[)∪(].综合①②知,直线AB的倾斜角α的取值范围为[].5.(13分)(能力挑战题)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.【解析】(1)方法一:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).方法二:设直线过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是k≥0.(3)依题意,直线l在x轴上的截距为在y轴上的截距为1+2k,且k>0,所以A(0),B(0,1+2k),故S=|OA||OB|=×(1+2k)=(4k++4)≥(4+4)=4.当且仅当4k=,即k=时,取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.【加固训练】已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.-7-\n【解析】设直线l的方程为=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),△ABO的面积S=ab,因为直线l过点P(3,2),所以即ab≥24.当且仅当即a=6,b=4时取等号.所以S=ab≥12,当且仅当a=6,b=4时有最小值12.此时直线l的方程为=1,即2x+3y-12=0.-7-
