9.5椭圆\n-2-知识梳理双基自测211.椭圆的定义平面内到两个定点F1,F2的距离的和(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的.注:若点M满足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)当时,点M的轨迹是椭圆;(2)当时,点M的轨迹是线段;(3)当时,点M的轨迹不存在.等于常数焦点2a>|F1F2|2a=|F1F2|2a<|F1F2|\n-3-知识梳理双基自测212.椭圆的标准方程和几何性质\n-4-知识梳理双基自测212a2b2cc2=a2-b2\n2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.()(3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()×√√×√\n-6-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-7-知识梳理双基自测234153.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测23415自测点评1.要熟练掌握椭圆中的参数a,b,c的内在关系及椭圆的基本性质.2.理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化情况来判断椭圆的扁圆程度.3.解决椭圆中的焦点三角形问题要充分运用椭圆的定义、三角形的有关知识,对于其面积公式要熟记,以避免计算量太大而出错.\n-11-考点1考点2考点3C\n-12-考点1考点2考点3\n-13-考点1考点2考点3(2)已知点M是圆E:(x+1)2+y2=8上的动点,点F(1,0),O为坐标原点,线段MF的垂直平分线交ME于点P,则动点P的轨迹方程为.解析:(2)因为点P在线段MF的垂直平分线上,所以|PF|=|PM|,\n-14-考点1考点2考点3(3)设F1,F2为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.思考如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?解析:(3)∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),\n-15-考点1考点2考点3\n-16-考点1考点2考点3解题心得1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a>|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的焦点三角形中的数量关系.2.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.(2)待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).\n-17-考点1考点2考点3其一般步骤为:①判断:根据已知条件确定椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能;②设:根据①中判断设出所需的未知数或标准方程;③列:根据题意列关于a,b,c的方程或方程组;④解:求解得到椭圆方程.\n-18-考点1考点2考点3A.10B.12C.14D.15(2)与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-19-考点1考点2考点3例2(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()B\n-20-考点1考点2考点3解析:(1)由题意得A(a,0),B(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0).\n-21-考点1考点2考点3\n-22-考点1考点2考点3M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()思考如何理清椭圆的几何性质之间的内在联系?A\n-23-考点1考点2考点3解析:(2)由题意知,当M在短轴顶点时,∠AMB最大.①如图1,当焦点在x轴上,即m<3时,\n-24-考点1考点2考点3解题心得1.求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.2.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下:\n-25-考点1考点2考点3(4)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e,一般步骤如下:①建立方程:根据已知条件得到齐次方程Aa2+Bac+Cc2=0;②化简:两边同时除以a2,化简齐次方程,得到关于e的一元二次方程A+Be+Ce2=0;③求解:解一元二次方程,得e的值;④验算取舍:根据椭圆离心率的取值范围e∈(0,1)确定离心率e的值.若得到齐次不等式,可以类似求出离心率e的取值范围.\n-26-考点1考点2考点3[0,12]A\n-27-考点1考点2考点3解析:(1)如图所示,\n-28-考点1考点2考点3(2)因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.\n-29-考点1考点2考点3例3设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.思考解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是什么?\n-30-考点1考点2考点3解(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,所以∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,所以|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为\n-31-考点1考点2考点3\n-32-考点1考点2考点3\n-33-考点1考点2考点3解题心得1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,再应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.\n-34-考点1考点2考点3(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.\n-35-考点1考点2考点3\n-36-考点1考点2考点3\n-37-考点1考点2考点31.椭圆中的参数a,b,c三者之间的关系为a2-b2=c2.2.求离心率常用的两种方法(2)列出a,b,c的方程或不等式,根据b2=a2-c2将b消掉,转化为含有a和c的关系,最后转化为关于e的方程或不等式.\n-38-考点1考点2考点31.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小.2.关于离心率的范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为0<e<1.3.注意椭圆的范围,在设椭圆(a>b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.\n-39-高频考点——高考中椭圆的离心率问题离心率是椭圆的重要几何性质之一,是高考中常考的问题.此类问题要么直接求出参数a和c,进而通过公式求离心率;要么先列出参数a,b,c的关系式,再转化为只含有a和c的关系,进而得出离心率.求解离心率的取值范围除了借助椭圆本身的属性,有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点.\n-40-答案：D\n-41-解析：①当点P与短轴的顶点重合时,△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰三角形F1F2P;②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,以F2P作为等腰三角形的底边为例,∵F1F2=F1P,∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上.因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有两个交点时,存在2个满足条件的等腰三角形F1F2P.\n-42-\n-43-\n-44-\n-45-\n-46-\n-47-(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.\n-48-
