9.3圆的方程\n-2-知识梳理双基自测211.圆的定义及方程一定点定长(a,b)r\n-3-知识梳理双基自测212.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆内.=><\n2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.()(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是B=0,D2+E2-4F>0.()×××√√\n-5-知识梳理双基自测234152.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-6-知识梳理双基自测234153.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案解析解析关闭设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案解析关闭x2+y2-2x=0\n-7-知识梳理双基自测234154.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234155.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.答案解析解析关闭设C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和(-1,-1)).答案解析关闭x2+y2=2(除去点(1,1)和(-1,-1))\n-9-知识梳理双基自测23415自测点评1.求圆的标准方程,一定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素.2.配方法在圆的一般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握.3.求轨迹方程时,一定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解.\n-10-考点1考点2考点3例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2(2)圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程为.思考求圆的方程有哪些常见方法?B(x+3)2+(y-3)2=10\n-11-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可.即|a|=|a-2|,解得a=1,故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离;圆心是直线x+y=0被这两条平行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.(方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项C,D,再验证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径2即可.\n-12-考点1考点2考点3∴圆的方程是(x+3)2+(y-3)2=10.\n-13-考点1考点2考点3(方法二)由方法一,知两圆交点为A(-4,0),B(0,2).∴圆的方程是(x+3)2+(y-3)2=10.\n-14-考点1考点2考点3方法三(圆系法):设经过两圆交点的圆系方程为(x2+y2-2x+10y-24)+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),即1-λ-5-λ=0,∴λ=-2,∴所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.\n-15-考点1考点2考点3解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.\n-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.(2)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为.(x-3)2+y2=2(x-3)2+(y-1)2=9\n-17-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.①过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.\n-18-考点1考点2考点3(方法二)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为点A(4,1),B(2,1)在圆上,\n-19-考点1考点2考点3例2如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?\n-20-考点1考点2考点3解:设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),\n-21-考点1考点2考点3解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.\n-22-考点1考点2考点3对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.\n-23-考点1考点2考点3解(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.\n-24-考点1考点2考点3考向一斜率型最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.\n-25-考点1考点2考点3解:原方程可化为(x-2)2+y2=3,如图所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,\n-26-考点1考点2考点3考向二截距型最值问题例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.思考如何求解形如ax+by的最值问题?\n-27-考点1考点2考点3\n-28-考点1考点2考点3考向三距离型最值问题例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?解如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.\n-29-考点1考点2考点3考向四建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为.思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?x+y-2=0\n-30-考点1考点2考点3\n-31-考点1考点2考点3解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:(1)借助几何性质求最值①形如的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.\n-32-考点1考点2考点3(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为,最小值为.(3)已知P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为.(4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为.\n-33-考点1考点2考点3\n-34-考点1考点2考点3\n-35-考点1考点2考点3求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距、半径,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.\n-36-易错警示——轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.\n-37-\n-38-反思提升1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致不能除去两个特殊点.2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,要知道,求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.
