8.5椭圆第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.3.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质,并能灵活运用.\n备考指导椭圆是高考中特别重要的内容,每年必考,甚至在解答题和客观题型中同时出现.关于椭圆的解答题具有较强的综合性,客观题为中等难度.在近几年的高考中,椭圆的考查方式越来越灵活.本节要注意椭圆的生成过程和实际应用问题,常用的方法有定义法、公式法、代入法、待定系数法、点差法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.温馨提示若F1,F2为两个定点,点M满足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数,则有如下结论:(1)若a>c,则点M的轨迹为椭圆;(2)若a=c,则点M的轨迹为线段;(3)若a<c,则点M的轨迹不存在.\n2.椭圆的标准方程和几何性质\n问题思考(1)点和椭圆的位置关系有几种?如何判断?\n(2)直线与椭圆的位置关系有几种?如何判断?直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交.判断方法为联立直线方程与椭圆方程,若消元后所得一元二次方程的判别式为Δ,则①直线与椭圆相离⇔Δ<0.②直线与椭圆相切⇔Δ=0.③直线与椭圆相交⇔Δ>0.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(4)椭圆的离心率e越大,椭圆越圆;e越小,椭圆越扁.()(5)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()√×√×√\nCB由题意及椭圆的定义可得,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a.∵|AB|=|AF1|+|BF1|,∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,解得a=2.故选B.\nACD\n设椭圆的左焦点为F',因为|AF'|=|BF|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=6,故A正确;△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,因为|AF|+|BF|=6,|AB|∈(0,6),所以△ABF的周长的取值范围为(6,12),故B错误;\n\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1椭圆的定义及应用C\n(2)一动圆与圆A:x2+y2+6x+5=0及圆B:x2+y2-6x-91=0都内切,则动圆圆心的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆A由已知得圆A的标准方程为(x+3)2+y2=4,圆B的标准方程为(x-3)2+y2=100.设动圆的半径为r,动圆圆心为P,因为动圆与圆A及圆B都内切,所以|PA|=r-2,PB=10-r.所以|PA|+|PB|=8>|AB|=6.所以动圆圆心的轨迹为椭圆.\n(3)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为.-5由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=10-|PF2|.则|PM|-|PF1|=|PM|-(10-|PF2|)=|PM|+|PF2|-10≥|MF2|-10,当且仅当点P在线段MF2上时取等号.故|PM|-|PF1|≥5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5.\n解题心得1.椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.有时需要结合椭圆的定义和余弦定理,求解关于焦点三角形的周长和面积的问题.\n对点训练1(1)如图,一圆形纸片的圆心为O,半径为R,F为圆内一定点,M为圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后复原,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆A由题意知,CD是线段MF的垂直平分线,∴|PM|=|PF|,|OF|<R,∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|.∴点P的轨迹为椭圆.\nC\n(3)已知点P为椭圆上一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1上的动点,则|PM|+|PN|的取值范围为.[7,13]依题意,椭圆的左、右两个焦点分别为圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1的圆心,因此(|PM|+|PN|)max=2×5+3=13,(|PM|+|PN|)min=2×5-3=7.故|PM|+|PN|的取值范围为[7,13].\n能力形成点2椭圆的标准方程命题角度1用定义法求椭圆的标准方程D\n\n(2)在△ABC中,点A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是()A由已知得|AC|+|BC|=18-8=10>8,则顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,不包含x轴上的两点.\n命题角度2用待定系数法求椭圆的标准方程\n\n解题心得1.求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.2.利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|,同时也要明确椭圆标准方程的形式;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.\n对点训练2(1)已知点A(-1,0),B是圆F:x2+y2-2x-11=0上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为()D\n(2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,为椭圆C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()C\n(3)已知一个椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦点F1,F2在x轴上,为该椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该椭圆方程为.\n能力形成点3椭圆的几何性质命题角度1求离心率的值(或取值范围)例4(1)已知O为椭圆C的中心,F为椭圆C的一个焦点,点M在椭圆C外,,经过点M的直线l与椭圆C的一个交点为N,△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形,则椭圆C的离心率为()B\n\n\n命题角度2求参数的值(或取值范围)例5设A,B是椭圆C:长轴的两个端点,若椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A\n\n\n解题心得1.求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.\n对点训练3D\nB\n由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,当且仅当直线l与x轴垂直时,等号成立.\n能力形成点4直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆过椭圆M的右顶点C,求△ABC面积的最大值.\n\n\n解题心得1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简成一元二次方程,再应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.2.设斜率为k(k≠0)的直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),\n对点训练4(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点(1,0),求实数k的取值范围.\n\n第三环节 学科素养提升\n思想方法——设而不求之点差法在椭圆中的应用答案:B\n\n\n\n\n解题心得点差法具有不等价性,使用时要注意直线和圆锥曲线是否有交点.有些题目从题干中就很容易判断这一条件是否满足,如典例2;但有些则没有明确这一条件,要注意检验或说明.
